湖南省2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题

2024年高三10月联考卷数学本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合A=xlnx-1≥0A．0,2 B．2,3 C．0,+∞ D．2．已知i为虚数单位，复数z满足|z+1|=|z+iA．1 B．2 C．2或22 D．1或3．已知向量a=2,0，b=λ,32，若向量b在向量aA．3 B．7 C．104 D．4．已知函数f(x)满足f(x)=f(2-x)，且在区间[1,+∞A．a>b>C．c>b>5．已知圆锥的母线长为定值R，当圆锥的体积最大时，圆锥的底面半径为（

）A．33R B．63R C．6．已知函数f(x)的图象如图所示，则不等式(A．(-∞,-1)∪1C．(-1,1)∪(3,+∞) D7．若正项等比数列an满足anan+1=22nA．152 B．1524 C．88．已知小明射箭命中靶心的概率为35，且每次射击互不影响，则小明在射击4A．36625 B．925 C．144625二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）9．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，AB=BC=1A．直三棱柱的侧面积是4+2B．直三棱柱的外接球表面积是4C．三棱锥E-AAD．AE+E10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，cA．若a2tanB．若cos2C．若a=3,D．若△ABC是锐角三角形，则11．已知数列an的首项为a1=1，且9anan+1=an-4A．an+1an<15 B．三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）12．已知x>1，y>0，且x+2y13．已知函数fx=sin2πωx(ω>0)14．设函数fx=①当m=0时，函数fx在②若函数fx有且仅有两个零点，则m③当m<0时，若存在实数a,b，使得fa=④已知点P-m,0，函数fx的图象上存在两点Q1x1,y1,其中所有正确结论的序号是．四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S5(1)求数列{an}(2)令cn=an1+bn16．（15分）如图，在三棱锥P-ABC中，A1，B1，C1分别是侧棱PA，PB，PC的中点，AB(1)求证：平面A1B1(2)如果A1C=B1C17．（15分）近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了A,B(1)该校学生甲､乙､丙三人某周均从A,B两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲､乙､丙该周选择A健身中心健身的概率分别为12(2)该校学生丁每周六､日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择A健身中心的概率为12.若丁周六选择A健身中心，则周日仍选择A健身中心的概率为14；若周六选择B健身中心，则周日选择A健身中心的概率为23.(3)现用健身指数kk∈0,10来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定k值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其k值低于1分的概率为0.02.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过n.若抽取次数的期望值不超过23，求参考数据：0.918．（17分）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>1>b>0)(1)求椭圆C的方程；(2)记椭圆C的左焦点为F，若过F,A,B三点的圆的圆心恰好在y19.对于四个正数m、n、p、q，若满足，则称有序数对是的“下位序列”．（1）对于2、3、7、11，有序数对是的“下位序列”吗？请简单说明理由；（2）设a、b、c、d均为正数，且是的“下位序列”，试判断、、之间的大小关系；（3）设正整数n满足条件：对集合内的每个m，总存在正整数k，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数n的最小值．数学参考答案1．【答案】C【解析】由lnx-1≥0可得：由x2-3x<0所以A∪B=故选：C.2．【答案】C【解析】设z=a+bi，a因为|z所以a+12+b2=5当a=b=1时，z=2故选：C3．【答案】D【解析】解：由已知可得，b在a上的投影向量为a⋅又b在a上的投影向量c=12所以b=λ2故选：D.4．【答案】D【解析】由f(x)=f(2-而1<20.4<2+ln1.1<则f20.4>f(2+故选：D5．【答案】B【解析】设圆锥的底面半径为r，高为h，则r2可得r2则圆锥的体积Vh=1当0<h<33R时，V'则Vh在0,33可知当h=33R故选：B.6．【答案】A【解析】由函数f(当x∈(-∞,当x∈(12当x∈(2,+∞)时，函数单调递增，则f由(x+1)f'解①得，x<-1，解②得，1综上，不等式(x+1)f故选：A．7．【答案】A【解析】设正项等比数列an的公比为q因为anan解得q=2，所以a所以an=2所以S4所以数列an的前4项的和S4的值为故选：A.8．【答案】D【解析】由已知命中的概率为35，不命中的概率为25，射击故概率P=故选：D.9．【答案】ACD【解析】A.△ABC中，AC所以直棱柱的侧面积为1+1+3×2=4+23B.△ABC外接圆的半径r所以直棱柱外接球的半径R=则直三棱柱外接球的表面积S=4πRC.因为BB1//AA1，且BB1⊄平面A点E在BB1上，所以点E到平面AA1C且△AA1则三棱锥E-AA1O的体积为定值1D.将侧面展开为如图长方形，连结AC1,交BB此时AE+EC1最小，最小值为2故选：ACD10．【答案】BD【解析】对于A：因为a2tanB则sin2又A,B∈0,π，则sin可得sinAcosB又因为A+可得2A=2B或2A+2所以a=b或a2对于B：因为1+cosA2所以cosA所以sinA在三角形中，sinA＞0，所以cos则此三角形为直角三角形，故B正确；对于C：因为a=3,b=4,B=则解此三角形只有一解，故C错误；对于D：因为△ABC所以0＜C＜所以0＜π2-B同理cosA则sinA+sin故选：BD.11．【答案】BCD【解析】若数列an中存在某项ak=0，由9进而an所有项均为0，与a1=1由9anan+1所以1a故数列1an+3是以4为首项，公比为4的等比数列，所以1对于A，因为an=14n对于B，由Sn=4所以Sn<4对于C，由4n所以Rn=1对于D，因为nan1+3错位相减得34Tn则Tn=4故选：BCD12．【答案】3+22/2【解析】由x+2y因为x>1，y所以x-所以1x当且仅当(x-1)y=所以1x-1故答案为：3+2213．【答案】1【解析】因为fx=sin2π因为fx在区间0,18上有5所以2T≤18<5可得19故答案为：1914．【答案】②③④【解析】当m=0时，x≥0时，fx=0，故在对于②，当m=0显然不成立，故m当x≥0时，令fx=0，即-2m2x=0，得x=0，x对于③,当m<0时,fx=-x-m,

若fa=fb，由-m=-2m2对于④,由①③可知：m≤0时，显然不成立,故m要使Q1x1,y1,则只需要x>0,y=-

故x1PQ由对称可得f-化简可得x1+m+f-x所以-由于-x1,-x2均大于0因此x=由于m>0，fm=12此时x2-x1=故答案为：②③④15．【解析】（1）由题意知，S5=62S解得a1=2q由b1得b1两式相减，得nb所以bn当n=1时，b故bn（2）由（1）知，an=2n，Tn2T两式加减，得-T所以Tn16．【答案】(1)证明见解析；(2)2【解析】（1）因为A1，B1，C1分别是侧棱PA，PB所以A1因为AB⊥BC，所以因为A1C⊥平面BB1所以A1又A1C∩所以B1C1又因为B1C1所以平面A1B1（2）因为A1C⊥平面BB1所以A1因为AB=BC=4所以A1因为B1C1⊥平面所以BC⊥平面A又B1C⊂平面A所以CA如图，以点C为原点，建立空间直角坐标系，则B4,0,0故A1设平面A1BB则有n⋅A1因为A1C⊥所以CA1=故cosn所以二面角A1-B17．【解析】（1）由题意得这三人中这一周恰好有一人选择A健身中心健身的概率P=（2）记事件C：丁周六选择A健身中心，事件D：丁周日选择B健身中心，则P(由全概率公式得P(故丁周日选择B健身中心健身的概率为1324（3）设从全校学生中随机抽取1人，抽取到的学生是健身效果不佳的学生的概率为p，则p=0.02设抽取次数为X，则X的分布列为X123⋯nnPp1-(1-⋯(1-(1-故EX又1-p两式相减得pEX所以E=1-所以EX=1-0.可知当n=29时，E当n=30时，E当n=31时，E若抽取次数的期望值不超过23，则n的最大值为30.18．【解析】（1）椭圆C的方程为x2当l⊥x轴时，AB=依题意e=ca=321∴椭圆