03挑战压轴题（解答题一）2

（挑战压轴题）2023年中考数学【三轮冲刺】专题汇编（杭州专用）—03挑战压轴题（解答题一）1．（2022·浙江杭州·统考中考真题）设二次函数y1=2x2+bx+c（b，c是常数）的图像与x(1)若A，B两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数y1(2)若函数y1的表达式可以写成y1=2x-h(3)设一次函数y2=x-m（m是常数）．若函数y1的表达式还可以写成y1=2【答案】(1)y1=2(2)-(3)x0-【分析】（1）利用待定系数法计算即可．（2）根据等式的性质，构造以b+c为函数的二次函数，求函数最值即可．（3）先构造y的函数，把点x0,0代入解析式，转化为【详解】（1）由题意，二次函数y1=2x2+bx+c（b，c是常数）经过(1，0)∴2+b+c解得b=-∴抛物线的解析式y1∴图像的对称轴是直线x=-（2）由题意，得y1∵y1∴b=4h，c=2∴b+c=2h∴当时，b+c的最小值是-4．（3）由题意，得=2x因为函数y的图像经过点x0所以x0所以x0-m=0【点睛】本题考查了二次函数的待定系数法，二次函数的最值，对称性，熟练掌握二次函数的最值，对称性是解题的关键．2．（2021·浙江杭州·统考中考真题）在直角坐标系中，设函数y=ax2+bx+1（a，b（1）若该函数的图象经过1,0和2,1两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．（2）写出一组a，b的值，使函数y=ax2+bx+1（3）已知a=b=1，当x=p,q（，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q=2，求证P+Q>6．【答案】（1）y=x2-2x+1，顶点坐标是1,0；（2）a=1，【分析】（1）把点1,0和2,1代入二次函数解析式进行求解，然后把一般式化为顶点式即可求解顶点坐标；（2）根据二次函数的图象与系数的关系可直接进行求解；（3）由题意，得P=p2+p+1，Q=【详解】解：（1）把点1,0和2,1代入得：a+b+1=04a+2b+1=1解得a=1b=∴y=x2-∴该函数图象的顶点坐标是1,0；（2）例如a=1，b=3，此时y=x因为b2所以函数y=x2+3x+1（3）由题意，得P=p2+p+1∵p+q=2，∴P+Q====2q由题意，知q≠所以P+Q>6．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．3．（2020·浙江杭州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝x2+bx+a，y2＝ax2+bx+1（a，b是实数，a≠0）．（1）若函数y1的对称轴为直线x＝3，且函数y1的图象经过点（a，b），求函数y1的表达式．（2）若函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，求证：函数y2的图象经过点（1r，0（3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n＝0，求m，n的值．【答案】（1）y1＝x2﹣6x+2或y1＝x2﹣6x+3；（2）见解析；（3）m＝n＝0．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，可得r2+br+a＝0，推出1+br+ar2＝0，即a（1r）2+b•1r+1＝0，推出1（3）由题意a＞0，可得m＝，n＝，根据m+n＝0，构建方程可得结论．【详解】解：（1）由题意，得到﹣b2＝3，解得b＝﹣6∵函数y1的图象经过（a，﹣6），∴a2﹣6a+a＝﹣6，解得a＝2或3，∴函数y1＝x2﹣6x+2或y1＝x2﹣6x+3．（2）∵函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，∴r2+br+a＝0，∴1+br+a即a（1r）2+b•1r+1＝∴1r是方程ax2+bx+1即函数y2的图象经过点（1r，0（3）由题意a＞0，∴m＝，n＝，∵m+n＝0，∴+＝0，∴（4a﹣b2）（a+1）＝0，∵a+1＞0，∴4a﹣b2＝0，∴m＝n＝0．【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、待定系数法的运用及一元二次方程的求解方法．4．（2019·浙江杭州·中考真题）方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时.⑴求v关于t的函数表达式；⑵方方上午8点驾驶小汽车从A出发.①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围.②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由.【答案】（1）；（2）①，②方方不能在11点30分前到达B地.【分析】（1）根据题意，得，由题意，得t≥4，从而得到答案；（2）①根据一元一次不等式，结合题意即可得到答案；②根据不等式，即可求解答案．【详解】（1）根据题意，得，所以，因为，所以当时，t≥4所以（2）①根据题意，得，因为，所以，所以②方方不能在11点30分前到达B地.理由如下：若方方要在11点30分前到达B地，则，所以，所以方方不能在11点30分前到达B地．【点睛】本题考查反比例函数的解析式、一元一次不等式，解题的关键是掌握反比例函数、一元一次不等式．5．（2018·浙江杭州·中考真题）如图，△OAB是边长为2+的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴正方向上，将△OAB折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF．(1)当A′E∥x轴时，求点A′和E的坐标；(2)当A′E∥x轴，且抛物线y=﹣16x2+bx+c经过点A′和E时，求抛物线与x(3)当点A′在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形？若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由．【答案】(1)A′、E的坐标分别是（0，1）与（，1）；(2)与x轴的两个交点坐标分别是（，0）与（2，0）；(3)不可能使△A′EF成为直角三角形，理由见解析.【分析】（1）当A′E∥x轴时，△A′EO是直角三角形，可根据∠A′OE的度数用O′A表示出OE和A′E，由于A′E=AE，且A′E+OE=OA=2+，由此可求出OA′的长，也就能求出A′E的长．据此可求出A′和E的坐标；（2）将A′，E点的坐标代入抛物线中，即可求出其解析式．进而可求出抛物线与x轴的交点坐标；（3）根据折叠的性质可知：∠FA′E=∠A，因此∠FA′E不可能为直角，因此要使△A′EF成为直角三角形只有两种可能：①∠A′EF=90°，根据折叠的性质，∠A′EF=∠AEF=90°，此时A′与O重合，与题意不符，因此此种情况不成立．②∠A′FE=90°，同①，可得出此种情况也不成立．因此A′不与O、B重合的情况下，△A′EF不可能成为直角三角形．【详解】（1）由已知可得∠A′OE=60°，A′E=AE，由A′E∥x轴，得△直角三角形，∠OEA′=30°，设A′的坐标为（0，b），则OE=2b，AE=A′E=b，b+2b=2+，所以b=1，所以A′、E的坐标分别是（0，1）与（，1）．（2）因为A′、E在抛物线上，所以{1所以{c=1函数关系式为y=16x2+36x令y=0得到：16x2+36x解得：x1=，x2=2，与x轴的两个交点坐标分别是（−，0）与（2，0）．（3）不可能使△A′EF成为直角三角形．理由如下：∵∠FA′E=∠FAE=60°，若△A′EF成为直角三角形，只能是∠A′EF=90°或∠A′FE=90°若∠A′EF=90°，利用对称性，则∠AEF=90°，A、E、A三点共线，O与A重合，与已知矛盾；同理若∠A′FE=90°也不可能，所以不能使△A′EF成为直角三角形．【点睛】本题考查了一次函数综合题．解题时利用了待定系数法求一次函数的解析式、等边三角形的判定与性质、菱形的性质等知识点，综合性比较强．1．（2023·浙江杭州·杭州育才中学校考一模）已知函数y=ax2+1-3ax-4(1)若点1,-1在二次函数①求该函数的表达式和顶点坐标；②若点和Q5,n在函数的图象上，且m<n，求x0(2)若函数y的图象过x1,y1和x2,y【答案】(1)①二次函数的表达式为y=-x2+4x-4，顶点坐标2,0；②(2)a【分析】（1）①把1,-②先求出n=-9，再求出y=-x-22=-9的解，即可根据m<n（2）根据二次函数的增减性计算即可，注意分类讨论．【详解】（1）①∵点1,-1在二次函数y=ax∴-1=a+解得：a=-∴二次函数的表达式为y=∵y=∴顶点坐标2,0；②∵Q5,n∴n=-当y=-x-22=-9∵y=-x2+4x-4开口向下，且点和Q5,n∴或x0（2）二次函数y=ax2+∵当x1<x∴当x≤43时，y随当a>0时，在对称轴左边y随x的增大而减小，即x此时32-1当a<0时，在对称轴右边y随x的增大而减小，即3此时32综上所述，当x1<x2≤43【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．2．（2021·浙江杭州·校联考一模）已知二次函数y1=ax2+bx+1，（a，b是实数，(1)若b≠0，且函数y1和函数y2的对称轴关于y轴对称，求(2)若函数y2的图像过点(b,9a)，求函数y1的图像与(3)设函数y1，y2的图像两个交点的纵坐标分别为m，n．求证：m-【答案】(1)a=-(2)函数y1的图像与x轴有1(3)证明见详解；【分析】（1）根据函数y1和函数y2的对称轴关于（2）由二次函数图像上点的坐标及与x轴交点与判别式关系，即可得到答案；（3）求出交点坐标，代入解析式即可得到答案；【详解】（1）解：由抛物线的对称轴公式可得，，∵b=0，解得：a=-（2）解：将点(b,9a)代入解析式可得，b2整理得，b2当y1ax∴△=∴函数y1的图像与x轴有1（3）证明：当y1，解得：x=±∴两个交点的横坐标为1和，∴m=a+b+1，，∴m-∴m-n的值与【点睛】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，关于y轴对称点的坐标等知识点．3．（2023·浙江杭州·模拟预测）小李、小王分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加公益活动．如图，折线OAB和线段CD分别表示小李、小王离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)求小王的骑车速度，点C的横坐标；(2)求线段AB对应的函数表达式；(3)当小王到达乙地时，小李距乙地还有多远？【答案】(1)18千米/小时，0.5(2)y=9x+4.50.5(3)4.5千米【分析】（1）根据函数图象中的数据先求出小王的骑车速度，再求出点C的坐标；（2）用待定系数法可以求得线段AB对应的函数表达式；（3）将x=2代入（2）中的函数解析式求出相应的y的值，再用27减去此时的y值即可求得当小王到达乙地时，小李距乙地的距离．【详解】（1）解：由图可得，小王的骑车速度是：27-9÷2-1=18点C的横坐标为：1-（2）设线段AB对应的函数表达式为y=kx+bk∵A0.5,9，B∴0.5k+b=92.5k+b=27解得：k=9b=4.5∴线段AB对应的函数表达式为y=9x+4.50.5（3）当时，y=18+4.5=22.5，∴此时小李距离乙地的距离为：27-答：当小王到达乙地时，小李距乙地还有4.5千米．【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，以及一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．4．（2022·浙江杭州·杭州绿城育华学校校考二模）设二次函数y=mx2+nx-m-n（m，n(1)判断该抛物线与x轴的交点的个数，并说明理由．(2)若m+n<0，点P2,aa>0(3)设Mx1,y1，Nx2,y【答案】(1)1个或2个，见解析(2)见解析(3)x【分析】（1）首先求出△=（2）把x＝2代入用m、n表示a，由a的范围结合m+n<0可解．（3）通过作差法，根据y1<y【详解】（1）解：该二次函数图象与x轴交点的个数是1个或2个，理由如下：∵△=∴该二次函数图象与x轴交点的个数是1个或2个．（2）当时，a=4m+2n-m-∵m+n<0，∴-m-①②相加得：2m>0，∴m>0．（3）∵Mx1,∴y1=mx∴y1∵x1∴x1∵y1∴x1∴mx∴mx∵m+n=0，m≠∴m=-∴x1+x∴x1【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．5．（2022·浙江杭州·校考一模）在平面直角坐标系内，二次函数y1=x(1)若函数的图象经过点（1，0），求函数的表达式；(2)若的图象与一次函数y2=x+b（b为常数）的图象有且仅有一个交点，求b(3)已知（x0，n）x0>0在函数的图象上，当时，求证：n＞﹣54【答案】(1)或(2)-(3)见解析【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）利用已知条件可得方程x-a2+a-1=x+b有两个相等的实数根，则（3）由题意可得当x=0时的函数值小于当x=【详解】（1）解：∵函数的图象经过点（1，0），∴1-解得：a＝0或1，∴函数的表达式为或；（2）解：∵若的图象与一次函数y2=x+b（b∴方程x-∴x2∴Δ=2a+1解得：b=-（3）证明：∵，∴0+x∵抛物线的对称轴为直线x=a，抛物线开口方向向上，∴x=0和x=2a∴由图象可知当x=0时的函数值小于当x=即：，∵a2∴，∴．【点睛】本题主要考查二次函数图像与交点，能够运用函数图像的性质列式是解题关键．6．（2022·浙江杭州·杭州采荷实验学校校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2＋2ax﹣a2﹣a＋2（a是常数）上．(1)若该二次函数图象的顶点在第二象限时，求a的取值范围；(2)若抛物线的顶点在反比例函数y＝﹣8x（x＜0）的图象上，且y1＝y2，求x1＋x2(3)若当1＜x1＜x2时，都有y2＜y1＜1，求a的取值范围．【答案】(1)a＜0(2)x1+x2＝﹣4(3)a≤0或a＝1【分析】（1）先将抛物线解析式化成顶点式，求出抛物线顶点坐标为（a，﹣a+2），再根据第二象限内点的坐标特征得出不等式组a<0-（2）将抛物线顶点坐标为（a，﹣a+2）代入反比例函数解析式即可求得a=2，从而得出抛物线顶点坐标（﹣2，4），再利用抛物线的对称性和中点坐标公式求解即可；（3）根据当1＜x1＜x2时，都有y2＜y1＜1，得出不等式组a<1-1+2a-a2（1）解：∵y＝﹣x2+2ax﹣a2﹣a+2＝﹣（x﹣a）2﹣a+2，∴抛物线y＝﹣x2+2ax﹣a2﹣a+2的顶点为（a，﹣a+2），∵抛物线的顶点在第二象限，∴a<0-解得a＜0；（2）解：∵抛物线y=﹣x2+2ax﹣a2﹣a+2=﹣（x﹣a）2﹣a+2的顶点坐标为(a,a+2)，又∵抛物线y=﹣x2+2ax﹣a2﹣a+2=﹣（x﹣a）2﹣a+2的顶点坐标在反比例函数y=﹣8x（x＜0∴a（﹣a+2）＝﹣8，解得a＝4或a＝﹣2，∵a＜0，∴a＝﹣2，∴顶点为（﹣2，4），∵y1＝y2，∴点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线x＝﹣2对称，∴x1+x∴x1+x2＝﹣4；（3）解：∵当1＜x1＜x2时，都有y2＜y1＜1，∴a<1-1+2a-a2解得a≤0或a＝1，故a的取值范围为a≤0或a＝1．【点睛】本题考查了二次函数的性质，反比例函数图形上点的坐标特征，二次函数与不等式的关系，解题关键是熟练掌握二次函数图象的性质．7．（2022·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校联考模拟预测）已知抛物线（a，b为常数，且a≠0(1)已知点A1,4，B-1,0，(2)点Mm,n为（1）中抛物线上一点，且0<m<4，求n(3)若抛物线与直线y=ax+3b都经过点2,m，设t=a2+4b【答案】(1)y=(2)-(3)见解析【分析】（1）先求出抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），从而确定抛物线经过A、B两点，利用待定系数法求解即可；（2）根据（1）所求函数解析式利用二次函数的性质求解即可；（3）根据抛物线与直线y=ax+3b都经过点2,m，可以推出b=2a+3，得到t=a【详解】（1）解：∵抛物线解析式为，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），∴抛物线不可能经过点C（0，2），即抛物线经过点A（1，4）、B（1，0），∴a+b+3=4a∴a=-∴抛物线解析式为y=-（2）解：由（1）得抛物线解析式为y=-∴抛物线的函数值最大值为4，∵-1<0∴当x<1时，y随x增大而增大，当x≥1时，y随当x=0时，，当x=4时，y=-5∴当时，-5<y≤∵点Mm,n为抛物线上一点，且0<m<4∴-5<n（3）解：∵抛物线与直线y=ax+3b都经过点2,m，∴4a+2b+3=m2a+3b=m∴b=2a+3，∵t=a∴t=a∵1>0，∴t≥-又∵a≠∴t≠又∵当a=-8，t=-∴t≥-【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．8．（2022·浙江杭州·校联考模拟预测）北京冬奥会的召开燃起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1:y=-112x2+43(1)当小雅滑到离A处的水平距离为6米时，其滑行达到最高位置为172米．求出a，c(2)小雅若想滑行到坡顶正上方时，与坡顶距离不低于103米，请求出a【答案】(1)a=-18(2)-【分析】（1）根据题意，抛物线C2的顶点坐标为（6，172），设C2的解析式为：y=ax-6（2）求出山坡的顶点坐标为（8，203），根据题意列出不等式，解不等式即可求得a【详解】（1）解：根据题意，抛物线C2的顶点坐标为（6，17设C2：y=ax代入x=0,y=4，得36a+17解得a=-∴y=-1∴a=-18，（2）解：抛物线C1：y=-因此抛物线C1的顶点坐标为（8，203即当x=8时，运动员到达坡顶，此时a×82+32解得a≥-根据实际情况，a<0，∴-【点睛】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．9．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图1，抛物线y=12x2+bx+cc<0与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，与抛物线交于另一点D，直线(1)已知点C的坐标是0，-4，点B的坐标是(2)若，求证：AD⊥BC(3)如图2，设第（1）题中抛物线的对称轴与x轴交于点G，点P是抛物线上在对称轴右侧部分的一点，点P的横坐标为t，点Q是直线BC上一点，是否存在这样的点P，使得△PGQ是以点G为直角顶点的直角三角形，且满足∠GQP=∠OCA【答案】(1)(2)证明见解析(3)t=13或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出当时，抛物线的解析式为y=12x2+12c+1x+c，由此求出设直线AD与y轴交于点E，则E0，-2，得到OA=OE=2，则∠OAE=45°，同理得∠OBC=45°，从而得到∠AMB=90°（3）如图所示，连接AC，PQ，求出抛物线对称轴为直线x=1，则A-2，0，推出tan∠GQP=tan∠OCA=12，求出直线BC的解析式为y=x-4，设Pt，12t2-t-4，Qs，s-4，然后分当点Q在点P下方时，如图31所示，过点Q、P分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，证明△QMG∽△GNP，得到4-st-1【详解】（1）解：把B4，0，C0，∴b=-∴抛物线解析式为；（2）解：∵，∴抛物线解析式为y=1令y=12x解得或x=-2∴A-∴抛物线对称轴为直线x=-∵CD∥∴D-设直线AD的解析式为y=kx+2∴k-解得k=-∴直线AD的解析式为y=-设直线AD与y轴交于点E，∴E0∴OA=OE=2，∴∠OAE=45∵OC=OB=c，∴∠OBC=45∴∠AMB=90∴AD⊥（3）解：如图所示，连接AC，∵抛物线解析式为y=1∴抛物线对称轴为直线x=1，∴A-∴OA=2，∴tan∠∵∠GQP=∴tan∠设直线BC的解析式为y=k∴-4∴k1∴直线BC的解析式为y=x-设Pt当点Q在点P下方时，如图31所示，过点Q、P分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，∵∠QGP=90∴∠MGQ+∠MQG=90°=∠MGQ+∠NGP，tan∠∴∠MQG=又∵∠QMG=∴△QMG∴QMGN∴4-∴4-s=2t-2，1-∴1-解得t=13当点Q在点P上方时，如图32所示，过点G作MN∥y轴，过点P、Q分别作直线MN的垂线，垂足分别为N、M，同理可得QMGN∴s-∴s-4=2t-2，s-∴2t+2-解得t=7综上所述，t=13或t=【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，解直角三角形等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．10．（2023·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2mx+m2(1)求抛物线的对称轴；（用含m的式子表示）(2)记抛物线在A，B之间的部分为图象F（包括A，B两点），y轴上一动点C0,a，过点C作垂直于y轴的直线l与F有且仅有一个交点，求a(3)若点M2,y3也是抛物线上的点，记抛物线在A，M之间的部分为图象G（包括M，A两点），记图形G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为t，若t≥【答案】(1)(2)a=1或2<a(3)m≤2-3或【分析】（1）将一般式转化为顶点式即可得解；（2）将Am-1,y1，B（3）分点M在点A的左侧；点A的右侧，对称轴的左侧；以及对称轴的右侧，结合图象进行分类讨论求解即可．【详解】（1）解：，∴对称轴为：；（2）解：由可知：抛物线的顶点坐标为：m,1，当x=m-1时：y1当x=m+2时：y1∴Am∵C0,a∴过点C垂直于y轴的直线l：y=a，如图：由图象可知：当a=1或2<a≤5时，直线l与F有且仅有一个交点，∴a的取值范围为：a=1或2<a≤5；（3）解：∵Am-1,2∴t≥当时，y3=∴M①当M在点A的左侧，即：m-1>2，m>3时：在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，∴M点的纵坐标最大，A点的纵坐标最小，∴t=m解得：m≥4或m≤②当M在点A的右侧，对称轴的左侧时，此时t<2-1=1，不符合题意；③当M对称轴的右侧，即m<2时，当y3此时A点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小：t=2-1=1<3不符合题意；③当M对称轴的右侧，即m<2时，当y3>2此时M点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小，∴t=m解得：m≥2+3（舍），或m≤2-∴m≤综上：m≤2-3或m【点睛】本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．11．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x(1)若直线y＝mx+n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标；(3)设P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．【答案】(1)y=-x2-2x+3(2)M的坐标为（﹣1，2）(3)点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，3+172）或（﹣1，【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小，进而求解；（3）分点B为直角顶点、点C为直角顶点、P为直角顶点三种情况，分别求解即可．【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），故点B的坐标为（﹣3，0），设抛物线的表达式为y＝ax-x1将点C坐标代入上式得：3＝a（﹣3），解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y=-x把B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝mx+n得：n=30=-3m+n，解得n=3∴直线的解析式为y＝x+3；（2）解：设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x＝﹣1代入直线y＝x+3得y＝2，故M（﹣1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；（3）解：设P（﹣1，t），B（﹣3，0），C（0，3），则BC2＝18，PB2＝-1+32若点B为直角顶点时，则BC即18+4+t2＝解得t＝﹣2；若点C为直角顶点时，则BC2+PC2＝PB2，即4+t2＝18+解得t＝4，若P为直角顶点时，则BC2=PB2+PC解得t＝3±17综上，点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，3+172）或（﹣1，【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、点的对称性等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．12．（2023·浙江杭州·模拟预测）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于n(n≥0)的点叫做这个函数图像的“n阶方点”．例如，点13,13是函数y=x图像的“12阶方点”；点(2,1)是函数y=(1)在①-2,-12；②；③(1,1)三点中，是反比例函数y=1x图像的“1阶方点”(2)若y关于x的一次函数y=ax-3a+1图像的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；(3)若y关于x的二次函数y=-(x-n)2-2n+1图像的“n阶方点”【答案】(1)②③(2)3或；(3)1【分析】（1）根据“n阶方点”的定义逐个判断即可；（2）如图作正方形，然后分a＞0和a＜0两种情况，分别根据“2阶方点”有且只有一个判断出所经过的点的坐标，代入坐标求出a的值，并舍去不合题意的值即可得；（3）由二次函数解析式可知其顶点坐标在直线y＝－2x＋1上移动，作出简图，由函数图象可知，当二次函数图象过点（n，－n）和点（－n，n）时为临界情况，求出此时n的值，由图象可得n的取值范围．【详解】（1）解：∵点-2,-12到x轴的距离为2，大于∴不是反比例函数y=1x图象的“1阶方点∵点和点(1,1)都在反比例函数y=1x的图象上，且到两坐标轴的距离都不大于1∴和(1,1)是反比例函数y=1x图象的“1阶方点”故答案为：②③；（2）如图作正方形，四个顶点坐标分别为（2，2），（－2，2），（－2，－2），（2，－2），当a＞0时，若y关于x的一次函数y=ax-3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，则y=ax-3a+1过点（－2，2）或（2，－把（－2，2）代入y=ax-3a+1得：2=-2a-3a+1，解得：a=-1把（2，－2）代入y=ax-3a+1得：-2=2a-3a+1，解得：a=3；当a＜0时，若y关于x的一次函数y=ax-3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，则y=ax-3a+1过点（2，2）或（－2，－2），把（2，2）代入y=ax-3a+1得：2=2a-3a+1，解得：a=-1；把（－2，－2）代入y=ax-3a+1得：-2=-2a-3a+1，解得：a=3综上，a的值为3或；（3）∵二次函数y=-(x-n)2-2n+1图象的顶点坐标为（n∴二次函数y=-(x-n)2-2n+1图象的顶点坐标在直线y＝－2x∵y关于x的二次函数y=-(x-n)2-2n+1图象的“n∴二次函数y=-(x-n)2-2n+1的图象与以顶点坐标为（n，n），（－n，n），（－n，－n），（n如图，当y=-(x-n)2-2n+1过点（n将（n，－n）代入y=-(x-n)2-2n+1解得：n=1，当y=-(x-n)2-2n+1过点（－n将（－n，n）代入y=-(x-n)2-2n+1解得：n=14或由图可知，若y关于x的二次函数y=-(x-n)2-2n+1图象的“n阶方点”一定存在，n【点睛】本题考查了新定义，反比例函数图象上点的坐标特点，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，正确理解“n阶方点”的几何意义，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．13．（2022·浙江杭州·统考二模）设二次函数y=x-ax-a+2，其中(1)若二次函数的图象经过点P2,-1(2)把二次函数的图象向上平移k个单位，使图象与x轴无交点，求k的取值范围；(3)若二次函数的图象经过点Am,t，点Bn,t，设m-n=d【答案】(1)y=(2)k>1(3)t的最小值为0【分析】（1）把P2,-1代入解析式，即可解得a（2）先由二次函数交点式求出抛物线的对称轴，从而求得顶点纵坐标为1，则将二次函数图象向上平移k个单位可得顶点纵坐标为，因为图象与x轴无交点，所以k-1>0，即可求解；（3）因为二次函数的对称轴为直线x=x1+x22=a-1，设m<n，则m=a-1-d2，n=a-1+d2【详解】（1）解：把，y=-1代入y=x-ax-a+2-1=2-a2-a+2，解得∴二次函数的表达式为y=x（2）解：由二次函数的交点式得二次函数与x轴交点横坐标x1=a，∴二次函数的对称轴为直线x=x把x=a-1代入解析式得顶点纵坐标为1．∴将二次函数图象向上平移k个单位可得顶点纵坐标为，∵图象与x轴无交点，∴k-1>0，∴k>1．（3）解：∵二次函数的对称轴为直线x=x1+∴m=a-1-d2，把x=a-1-d2，y=t代入函数解析式，得因为d≥2，所以t的最小值为0．【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象平移，二次函数的最值，熟练掌握二次函数图象性质是解题词的关键．14．（2022·浙江杭州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣4，0），（0，8），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE＝AO，设点P运动的时间为t秒．(1)当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；(2)当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；(3)在线段PE上取点F，使PF＝3，过点F作MN⊥PE，截取FM＝，FN＝1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，直接写出所有满足条件的t的值．【答案】(1)t=2；E（6，0）；(2)证明见解析；(3)t1＝28﹣16，t2＝2，t3＝4+2，t4＝12【分析】（1）由运动的路程OC的长和运动速度，可以求出运动时间t的值；再求线段OE的长和点E的坐标；（2）证△AOC≌△EPD即可；（3）点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，分类讨论即可求解．【详解】（1）∵点A，B的坐标分别是（﹣4，0），（0，8），∴OA=4，OB=8，∵点C运动到线段OB的中点，∴OC=BC=12OB=4∵动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，∴2t=4解之：t=2；∵PE=OA=4，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，∴OE=OP+PE=t+4=2+4=6∴点E（6，0）（2）证明：∵四边形PCOD是平行四边形，∴OC=PD，OC∥PD，∴∠COP=∠OPD，∴∠AOC=∠DPE在△AOC和△EPD中OC=PD∴△AOC≌△EPD（SAS）∴AC=DE，∠CAO=∠DEP，OC=PD，∴AC∥DE，∴四边形ADEC是平行四边形．（3）由题意得：C(0，82t)，P(t，0)，F(t+3，0)，E(t+4，0)，D(t，2t8)，设CE的解析式为y=kx+b，则b=8-2t0=k(t+4)+b解得：k=2t-8∴CE的解析式为y=2t-8同理，DE的解析式为y=4-t①当M在CE上时，M(t+3，)，则2t-8解得，t=28-163②当N在DE上时，N(t+3，1)，则-1=解得，t=2，当点C在y轴的负半轴上时，③如果点M在DE上时，3=解得，t=4+23④当N在CE上时，2t-8t+4解得，t=12，综上分析可得，满足条件的t的值为：t1＝28﹣16，t2＝2，t3＝4+2，t4＝12．【点睛】本题考查了一次函数的动态问题，平行四边形的判定，抓住动点的坐标是解题的关键．15．（2022·浙江杭州·九年级专题练习）在直角坐标系中，点A(1，m)和点B(3，n)在二次函数y=ax(1)若m=1，n=4，求二次函数的表达式及图象的对称轴．(2)若，试说明二次函数的图象与x轴必有交点．(3)若点C(x0，y0)是二次函数图象上的任意一点，且满足y0【答案】(1)y=12x(2)证明见解析；(3)mn<1；【分析】（1）利用待定系数法把点A(1，1)和点B(3，4)代入y=ax2+bx+1（2）把点A(1，m)和点B(3，n)代入y=ax2+bx+1中，得方程组a+b+1=m9a+3b+1=n，从而得出a、b的关系，进而利用（3）由点C(x0，y0)是二次函数图象上的任意一点，且满足y0≤m得二次函数图像开口向下，即a<0，顶点坐标为(1，m)，进而求得即b=-2a于是有mn=a+b+1(1)解：把点A(1，1)和点B(3，4)代入y=ax得a+b+1=19a+3b+1=4，解得∴二次函数的表达式为y=∵二次函数图象经过(1，1)和(0，1)，∴二次函数图象的对称轴为直线x=1(2)解：把点A(1，m)和点B(3，n)代入y=ax得a+b+1=m∴m-n=a+b+1-∴Δ=∴二次函数图象与x轴必有交点；(3)解：∵点C(x0，y0)∴二次函数图像开口向下，即a<0，顶点坐标为(1，m)，∴对称轴为直线，即b=-2a∴mn=∵a<0，∴mn<1．【点睛】本题主要考查了待定系数法求解二次函数的表达式、判断二次函数与x轴的交点以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．1．（2022·浙江杭州·统考一模）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，ab≠0）．当x=-b2a(1)若该函数图象的对称轴为直线x=1，并且经过0,0点，求该函数的表达式．(2)若一次函数y=ax+c的图象经过二次函数y=ax①求该二次函数图象的顶点坐标．②若是该二次函数图象上的两点，求证：p>q．【答案】(1)y=(2)①顶点坐标为（1，1）；②证明见解析【分析】（1）先确定顶点坐标，再设出该函数的顶点式解析式，将点（0,0）的坐标代入解析式中求出a，即可求解；（2）①将顶点代入y=ax+c，再利用，进行转化后，求出-b2a=-1②设函数表达式为y=ax+12-1，代入两点坐标后得到p【详解】（1）解：由题意，得函数图象的顶点坐标为1,-1，所以可设函数表达式为y=ax-1把0,0代入，解得a=1，所求函数的表达式为y=x（2）①由题意，将顶点代入y=ax+c，化简，得．又因为，所以b=2a，c=a-1．所以-b所以顶点坐标为．②由①可知，函数顶点坐标为，c=a-1所以可设函数表达式为y=ax+1所以．．因为函数有最小值，所以a>0，所以p-q>0，所以p>q．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数及其图象、作差法比较大小等，解题的关键是牢记函数的顶点式解析式和顶点坐标公式等．2．（2022·浙江杭州·统考一模）已知二次函数y=x2+ax+a（a(1)当a=2时，求二次函数的对称轴．(2)当时，求该二次函数的图象与x轴的交点个数．(3)设Mx1,y1，Nx2,y【答案】(1)直线x=(2)无交点(3)a≥-4且a【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式求解即可．（2）令y=0得到一元二次方程，再根据一元二次方程的判别式判断即可．（3）用x1表示y1，用x2表示y2，根据题意列出不等式，再根据不等式的性质求解即可．(1)解：∵a=2，∴二次函数的解析式为．∴二次函数的对称轴为直线x=-(2)解：二次函数的解析式为y=x令y=0得x2∴Δ=a∵，∴a-∴aa-4<0，即∴该二次函数的图象与x轴无交点．(3)解：∵Mx1,y1∴y1=x12∵当x1+x∴-x1+x2∴x1∴a>-∴a≥-∵a≠∴a≥-4且a≠【点睛】本题考查二次函数的对称轴公式，二次函数与x轴交点问题，不等式的性质，熟练掌握这些知识点是解题关键．3．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数y=ax+ax+c（a≠0）．(1)若它的图象经过点（1，0）、（1，2），求函数的表达式；(2)若a＜0，当1≤x<4时，求函数值y随x的增大而增大时x的取值范围；(3)若a=1、c=2，点（m，n）在直线y=x2上，求当x=m，n时的二次函数的函数值和的最小值．【答案】(1)y=(2)-(3)-【分析】（1）把两个点的坐标代入解析式得到二元一次方程组并求解即可．（2）根据a的正负确定二次函数图象开口方向，根据解析式求出二次函数的对称轴，再结合x的范围求解即可．（3）根据点（m，n）及其所在直线用m来表示n，再用m表示出当x=m，n时的二次函数的函数值和，最后根据二次函数的最值求解即可．【详解】（1）解：把（1，0）、（1，2）代入二次函数解析式得0=a解得a=1,所以二次函数的表达式为y=x（2）解：∵a<0，∴二次函数图象开口方向向下．∵二次函数解析式为y=ax+ax+c（a≠0），∴二次函数的对称轴为直线x=-∵1≤x<4，∴当-1≤x≤-12时，y随x的增大而增大；当-12≤∴函数值y随x的增大而增大时x的取值范围-1（3）解：∵二次函数的解析式为y=ax+ax+c（a≠0），a=1，c=2，∴二次函数的解析式为y=x∵点（m，n）在直线y=x2上，∴n=m-∴当x=m时，y=m2+m-2；当x=n设x=m，n时的二次函数的函数值和是S．∴S=m∴当m=12时，S取得最小值是∴当x=m，n时的二次函数的函数值和的最小值是-5【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的增减性，二次函数的最值，熟练掌握这些知识点是解题关键．4．（2022·浙江杭州·统考一模）如图1用一个平面截取圆锥，得到的图形可能是圆、椭圆、双曲线，而当平面与圆锥的母线平行，且不过圆锥顶点时，所截得的图形为抛物线，即图2中曲线ACB为抛物线的一部分，交母线于点C，交底面⊙P于点A，B，AB垂直于底面⊙P的直径EF，垂足为点O．已知底面⊙P的半径为5，OP＝3.(1)求弦AB的长．(2)以AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立直角坐标系，当OC＝8时，求经过点A，C，B的抛物线的函数表达式．(3)若抛物线上有一点H（m，6），求m的值．【答案】(1)8(2)y=(3)2或2【分析】（1）连接AP，由勾股定理求得AO的长，再由垂径定理可求得AB的长．（2）由已知可知A、B、C三点的坐标，进而由待定系数法可求得函数表达式．（3）直接代入点坐标，解方程即可得到答案．（1）解：如图，连接AP∵AB⊥∴AO=A∴（2）解：由已知，A-设抛物线的函数表达式为y=ax∴16a-4b+c=016a+4b+c=0c=8，解得∴抛物线的函数表达式为y=（3）解：依题意有-1解得m=2或m=【点睛】本题考查二次函数和圆的知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．5．（2022·浙江杭州·模拟预测）抛物线y=ax2+bx+c经过A(1)求c的值及a，b满足的关系式；(2)抛物线同时经过两个不同的点Mk，m和N(3)若抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少，求a的取值范围．【答案】(1)c=4，(2)b=(3)a的取值范围为0＜a≤1或1≤a＜0；【分析】（1）把点A和B代入抛物线的解析式，即可得出答案；（2）先求解抛物线的对称轴为x=--2a-22a=a+1a，再根据抛物线同时经过两个不同的点Mk（3）先求出抛物线的对称轴，根据图象的开口方向和二次函数的增减性即可得出答案．(1)解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，4）和B（2，0），∴c=44a+2b+c=0，∴c=4，(2)解：由（1）得：抛物线为：y=ax∴该抛物线的对称轴为x=-∵抛物线同时经过两个不同的点Mk，m∴该抛物线的对称轴为x=k∴a+1解得：a=-1∴(3)由（1）可得：y=ax2+（2a2）x+4，∴该抛物线的对称轴为x=--∵抛物线在A、B两点间y随x的增大而减小，∴当a＞0时，开口向上，对称轴在B点右侧或经过B点，即a+1a≥∵a＞0，∴a+1≥2a，解得a≤1，∴0＜a≤1．当a＜0时，开口向下，对称轴在A点左侧或经过A点，即a+1a≤∵a＜0，∴a+1≥0，解得a≥1，∴1≤a＜0．综上，a的取值范围为0＜a≤1或1≤a＜0．【点睛】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能结合函数的对称性、增减性解决问题是关键．6．（2022·浙江杭州·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，设二次函数y=-12(1)当m=2时，若点A8,n在该函数图象上，求n(2)小明说二次函数图象的顶点在直线y=-(3)已知点，Q(4m-5+a,c)都在该二次函数图象上，求证：c≤13【答案】(1)7(2)对，理由见解析(3)见解析【分析】（1）把m=2，点A（8，n）代入解析式即可求解；（2）由抛物线解析式，得顶点是（2m，3-m），把x＝2m代入y=-（3）由点P（a+1，c），Q（4m5+a，c）的纵坐标相同，即可求得对称轴为直线x=a+1+4m-5+a2=a+2m2，即可得出a+2m2=2m，求得a=2，得到P（3，c），代入解析式即可得到c=-12（3-2【详解】（1）解：当m＝2时，y=∵A（8，n）在函数图象上，∴n=（2）解：由题意得，顶点是（当x＝2m时，y=∴顶点（2m，3-（3）证明：∵P（a+1,c），Q（4m5+a，c）都在二次函数的图象上∴对称轴是直线x=∴a+2m2＝2m，∴a＝2，∴P（3，c），把P（3，c）代入抛物线解析式，得∴c=-12（3-2m∵2<0，∴c有最大值为138∴c≤138【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．7．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知：二次函数y=x2+bx-3(1)求b的值；(2)设、、均在该函数图象上，①当m=4时，y1、y2、②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、【答案】(1)(2)①当m=4时，y1、y2、y3【分析】（1）把(-2,5)代入二次函数（2）①把m=4代入解析式求出y1、y2、y3，然后根据三角形构成的条件：任意两边之和大于第三边判断即可；②把、、代入y=x2-2x-3=(x-1)2-4求得y1、y2（1）解：把(-2,5)代入二次函数y=x∴b=（2）解：①答：当m=4时，y1、y2、理由是当m=4时，、、，代入抛物线的解析式得：y1=5，y2，∴当m=4时，y1、y2、②理由是：∵把、、代入y=x2-2x，，，，，y1，y2，y，，根据三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边（也可求出两小边的和大于第三边），∴当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、【点睛】本题考查了二次函数点的坐标特征，和构成三角形的条件，掌握三角形三边关系定理是解题的关键。8．（2022·浙江杭州·模拟预测）在一次矿难事件的调查中发现，矿井内一氧化碳浓度和时间x(h)的关系如图所示：从零时起，井内空气中一氧化碳浓度达到，此后浓度呈直线增加，在第6小时达到最高值发生爆炸，之后y与x成反比例关系．请根据题中相关信息回答下列问题：(1)求爆炸前后y与x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；(2)当空气中浓度上升到时，井下3km深处的矿工接到自动报警信号，若要在爆炸前撤离到地面，问他们的逃生速度至少要多少km/h？(3)矿工需要在空气中一氧化碳浓度下降到及以下时，才能回到矿井开展生产自救，则矿工至少要在爆炸多少小时后才能下井？【答案】(1)，此时自变量x的取值范围是x>6(2)1.5(3)9小时【分析】（1）根据图象可以得到函数关系式，再由图象所经过点的坐标，求出k1与b的值，然后得出函数式，从而求出自变量x的取值范围．再由图象知y=k2x(k2≠0)过点，求出k（2）结合以上关系式，当y=60时，由得x=4，从而求出撤离的最长时间，再由v=st（3）由关系式y=k2x知，y=30【详解】（1）解：∵爆炸前浓度呈直线型增加，∴可设y与x的函数关系式为，由图象知y=k1x+b过点，30=b75=6k解得k1，此时自变量x的取值范围是0⩽x∵爆炸后浓度成反比例下降，∴可设y与x的函数关系式为y=k由图象知y=k2x∴，，，此时自变量x的取值范围是x>6；（2）当y=60时，由得：，解得x=4，∴撤离的最长时间为6-∴撤离的最小速度为3÷（3）当y=30时，由得，x=15，15-∴矿工至少在爆炸后9小时才能下井．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，数形结合是解题的关键．9．（2022·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校联考模拟预测）设一次函数y1=ax-3a+1（a是常数，a≠0）和反比例函数y2=k(1)无论a取何值，该一次函数图象始终过一个定点，直接写出这个定点坐标；(2)若4≤x≤5时，该一次函数的最大值是(3)若一次函数y1与反比例函数y2图象两个交点关于原点对称，请判断反比例函数【答案】(1)无论a取何值，该一次函数图像始终过一个定点3,1(2)a=1(3)反比例函数y2【分析】（1）函数恒过定点问题，是将原自变量与常数互换，再根据无论a取何值，函数恒过定点，即可求出结论；（2）根据一次函数的性质，分两种情况讨论：①a>0；②a<0，结合若4≤x≤5（3）设交两个点坐标为x1,y1、x2【详解】（1）解：∵一次函数y1=ax-3a+1（a是常数，∴将a看作自变量，将x看作常数，则y1∴无论a取何值，函数恒过定点，∴当x-3=0时，解得x=3，∴将x=3代入可得y1∴无论a取何值，该一次函数图像始终过一个定点3,1；（2）解：∵一次函数y1=ax-3a+1（a是常数，∴分两种情况讨论：①a>0；②a<0，①当a>0时，根据一次函数的性质，y1随着x∵若4≤x≤∴当x=5时，y1=5a-3a+1=2a+1=3，解得②当a<0时，根据一次函数的性质，y1随着x∵若4≤x≤∴当x=4时，y1=4a-3a+1=a+1=3，解得综上所述，a=1；（3）解：设交两个点坐标为x1,y∵一次函数y1与反比例函数y2图象两个交点关于原点对称，则联立y1=ax-3a+1y2=，根据根与系数的关系可得x1+x2，即反比例函数y2=【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及到函数恒过定点问题、一次函数增减性与最值问题、已知函数交点确定参数讨论反比例函数性质问题等知识点，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解决问题的关键．10．（2022·浙江杭州·统考一模）在直角坐标系中，设函数y1=ax2+bx-a（a(1)已知函数y1的图象经过点（1，2）和(-2,-1)，求函数y(2)若函数y1图象的顶点在函数y2=2ax(3)已知点A(-2,0)，B(1,k2-a)在函数y1的图象上，且k≠0．当【答案】(1)y=(2)证明见解析(3)x<-2或x>【分析】（1）把（1，2）和(-2,-1)代入抛物线y1（2）先求解抛物线的顶点坐标为：-b2a,-b（3）把点A(-2,0)，B(1,k2-a)在函数y1的图象上，可得&a=25k2(1)解：把（1，2）和(-2,-1)代入抛物线y1&a+b-解得：&a=1&b=2所以抛物线为：y=(2)解：∵函数y∴抛物线的顶点横坐标为：x=-抛物线的纵坐标为：y=a∵函数y1图象的顶点在函数y∴-整理得：b2∴b∴(3)解：∵点A(-2,0)，B(1,k2-a)&4a-解得：&a=2∴y∵k≠0,则k2当y1>0∴令w=2x∴二次函数图象的开口向上，令2x2+3x-2=0,解得：x1所以2x2+3x-2>0时，【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数解析式，二次函数的性质，利用二次函数的性质解不等式，掌握“数形结合的方法解不等式”是解问题的关键．11．（2022·浙江杭州·校考一模）在平面直角坐标系中，设二次函数y=-(x-m)2+1-2m(1)当m=-1时，若点A(2，n)在该函数图象上，求(2)已知A(2，-2)，B(1，2)，(3)已知点P(1-a，p)，Q(2m+1-a，【答案】(1)n=(2)点(2,-2)在以(3)见解析【分析】（1）把m=1代入得出函数解析式，再把A的坐标代入函数解析式即可得出n的值；（2）根据题意得出顶点坐标为（m，12m），然后判断点C符合顶点坐标，最后验证点A是否在函数图象上即可；（3）由点P、Q都在该二次函数图象上，可得对称轴为直线x=ma+1，从而得出a=1，则P（0，p），最后得出p=-【详解】（1）解：当m=1时，，∵点A(2，∴n=-（2）解：由题意知，顶点坐标为（m，12m），当m=2时，12m=3；当m=1时，12m=1；∴A、B、C三点中只有C可以作为该二次函数图象的顶点，∴二次函数为y=-当x=2时，y=-(2∴点(2,-（3）证明：∵点P(1-a，p)，∴对称轴为x=1∴ma+1=m，∴a=1，∴P（0，p），∴p=-∴p≤【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．12．（2022·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a(x-h)2-8a的顶点为A(1)若a=2，①点A到x轴的距离为______；②求此抛物线与x轴的两个交点之间的距离；(2)已知点A到x轴的距离为4，若此抛物线与直线必有两个交点，分别为Bx1,y1，Cx2,y2，其中x1<x2【答案】(1)①16；②(2)a=±12【分析】（1）①将a=2代入函数解析式求点A的纵坐标，进而求解；②把y=0代入函数解析式，分别求出x1，x（2）由点A到x轴的距离为4可得a=±12，根据h>0，结合图象可得抛物线开口向上时，点A在点【详解】（1）解：①把a=2代入y=a(x-h)2-8a∴点A坐标为h,∴点A到x轴距离为16，故答案为：16．②将y=0代入y=2(x-h)2-16解得x1=h+2∴x（2）解：∵点A坐标为h,∴-解得a=±∵当x1<xD<∴当x1<x<x2时，∵h∴当点A在点Cx2,∵a=∴点A纵坐标为y=-将y=-4代入得-4=-解得x=5，∴h≥令12(x-h)∵抛物线与直线有2个交点，∴Δ解得h<∴5【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解．13．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(b＞0)与y轴交于点C(0，－8)，顶点D的纵坐标是－9．(1)求点D的坐标(用含b的代数式表示)；(2)若直线y＝kx－k(k≠0)与抛物线有一个交点A(x0，y0)；点(x，y)在抛物线上，当x＞x0时，y＞0；当0＜x＜x0时，y＜0．①求抛物线的解析式；②将抛物线向右平移12个单位长度，再向上平移9个单位长度后，得到的新抛物线与直线y＝kx＋12交E，F两点，过点E，F的两条直线分别与新抛物线均只有一公共点，且这两条直线交于点P，直线PE与PF都不与y轴平行，求证：点P【答案】(1)-(2)①y=4x2+4x【分析】(1)把点C的坐标代入，可得c=8，再由顶点D的纵坐标是－9，可得，据此即可求得；(2)①由题意可得