高考总复习文数（人教版）课时作业提升40空间几何体的表面积和体积

课时作业提升(四十)空间几何体的表面积和体积A组夯实基础1．圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱的体积比V球∶V柱为()A．1∶2 B．2∶3C．3∶4 D．1∶3解析：选B设球的半径为R.则eq\f(V球,V柱)＝eq\f(\f(4,3)πR3,πR2×2R)＝eq\f(2,3)，故选B．2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的()A．2倍 B．2eq\r(2)倍C．eq\r(2)倍 D．eq\r(3,2)倍解析：选B由题意知球的半径扩大到原来的eq\r(2)倍，则由体积V＝eq\f(4,3)πR3，知体积扩大到原来的2eq\r(2)倍．3．(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A．14斛 B．22斛C．36斛 D．66斛解析：选B设米堆的底面半径为r尺，则eq\f(π,2)r＝8，所以r＝eq\f(16,π)，所以米堆的体积为V＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)π·r2·5＝eq\f(π,12)×(eq\f(16,π))2×5≈eq\f(320,9)(立方尺)．故堆放的米约有eq\f(320,9)÷1.62≈22(斛)．故选B．4．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的底面边长为eq\r(6)时，其高的值为()A．3eq\r(3) B．eq\r(3)C．2eq\r(6) D．2eq\r(3)解析：选D设正六棱柱的高为h，则可得(eq\r(6))2＋eq\f(h2,4)＝32，解得h＝2eq\r(3).5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为()A．eq\f(32,3) B．64C．eq\f(32\r(3),3) D．eq\f(64,3)解析：选D由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且由一个顶点出发的三条棱两两垂直，长度都为4，∴其体积为eq\f(1,3)×4×4×4＝eq\f(64,3)，故选D．6．(2016·全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．20π B．24πC．28π D．32π解析：选C由三视图可得圆锥的母线长为eq\r(22＋2\r(3)2)＝4，∴S圆锥侧＝π×2×4＝8π.又S圆柱侧＝2π×2×4＝16π，S圆柱底＝4π，∴该几何体的表面积为8π＋16π＋4π＝28π.故选C．7．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是________．解析：由三视图可知，该几何体由一个正四棱柱和一个棱台组成，其表面积S＝3×4×2＋2×2×2＋4×2eq\r(2)×2＋4×6＋eq\f(1,2)×(2＋6)×2×2＝72＋16eq\r(2).答案：72＋16eq\r(2)8．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)：若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x的值为________．解析：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得：(5.4－x)×3×1＋π·(eq\f(1,2))2x＝12.6，解得x＝1.6.答案：1.69．(2017·天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．解析：设正方体的棱长为a，则6a2＝18，∴a＝eq\r(3).设球的半径为R，则由题意知2R＝eq\r(a2＋a2＋a2)＝3，∴R＝eq\f(3,2).故球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＝eq\f(9,2)π.答案：eq\f(9,2)π10．一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为eq\r(3)，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为eq\r(3)，所以V＝1×1×eq\r(3)＝eq\r(3).(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1CS＝2×(1×1＋1×eq\r(3)＋1×2)＝6＋2eq\r(3).11．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图①所示，墩的上半部分是正四棱锥P­EFGH，下半部分是长方体ABCD­EFGH，图②、③分别是该标识墩的正视图和俯视图．(1)请画出该安全标识墩的侧视图；(2)求该安全标识墩的体积．解：(1)侧视图同正视图，如图所示．(2)该安全标识墩的体积为V＝VP­EFGH＋VABCD­EFGH＝eq\f(1,3)×402×60＋402×20＝32000＋32000＝64000(cm3)．B组能力提升1．如图是某几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为()A．eq\f(16π,3) B．eq\f(8π,3)C．4eq\r(3)π D．2eq\r(3)π解析：选A由对称性可知外接球球心在侧视图中直角三角形的高线上，设外接球的半径为R，则(eq\r(3)－R)2＋12＝R2，R＝eq\f(2\r(3),3)，其表面积S＝4πR2＝4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))2＝eq\f(16π,3).2．(2018·临沂检测)已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝eq\r(2)，则球O的表面积等于________．解析：将三棱锥S­ABC补形成以SA、AB、BC为棱的长方体，其对角线SC为球O的直径，所以2R＝SC＝2，R＝1，∴表面积为4πR2＝4π.答案：4π3．(2017·全国卷Ⅰ)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)解析：如图，连接OD，交BC于点G，由题意，知OD⊥BC，OG＝eq\f(\r(3),6)BC.设OG＝x，则BC＝2eq\r(3)x，DG＝5－x，三棱锥的高h＝eq\r(DG2－OG2)＝eq\r(25－10x＋x2－x2)＝eq\r(25－10x)，S△ABC＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)x×3x＝3eq\r(3)x2，则三棱锥的体积V＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\r(3)x2·eq\r(25－10x)＝eq\r(3)·eq\r(25x4－10x5).令f(x)＝25x4－10x5，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))，则f′(x)＝100x3－50x4.令f′(x)＝0得x＝2.当x∈(0,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2)))时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故当x＝2时，f(x)取得最大值80，则V≤eq\r(3)×eq\r(80)＝4eq\r(15).∴三棱锥体积的最大值为4eq\r(答案：4eq\r(15)4．如图，四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，已知PB＝PD＝2，PA＝eq\r(6).(1)证明：PC⊥BD；(2)若E为PA的中点，求三棱锥P­BCE的体积．(1)证明：连接AC，交BD于O点，连接PO.因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，BO＝DO.由PB＝PD知，PO⊥BD.再由PO∩AC＝O知，BD⊥平面APC，因此BD⊥PC.(2)解：因为E是PA的中点，所以VP­BCE＝VC­PEB＝eq\f(1,2)VC­PAB＝eq\f(1,2)VB­APC.由PB＝PD＝AB＝AD＝2知，△ABD≌△PBD.因为∠BAD＝60°，所以PO＝AO＝eq\r(3)，AC＝2eq\r(3)，BO＝1.又PA＝eq\r(6)，PO2＋AO2＝PA2，即PO⊥AC.故S△APC＝eq\f(1,2)PO·AC＝3.由(1)知，BO⊥平面APC，因此VP­BCE＝eq\f(1,2)VB­APC＝eq\f(1,2)·eq\f(1,3)·BO·S△APC＝eq\f(1,2).5．如图，在三棱锥D­ABC中，已知BC⊥AD，BC＝2，AD＝6，AB＋BD＝AC＋CD＝10，求