清单05垂径定理的应用（5种题型解读（30题））

清单05垂径定理的应用（5种题型解读（30题））【知识导图】【知识清单】【考试题型1】直接利用勾股定理求线段长1．（2023上·甘肃庆阳·九年级校考期中）如图，在半径为10的⊙O中，OC垂直弦AB于点D,AB=16，则CD的长是（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，先由垂径定理得到AD=12AB=8，再利用勾股定理求出OD=6【详解】解：如图所示，连接OA，∵OC垂直弦AB于点D,AB=16，∴AD=1在Rt△AOD中，由勾股定理得OD=∴CD=OC-OD=10-6=4，故选B．2．（2023上·江苏南京·九年级南京市金陵汇文学校校考阶段练习）如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若C0【答案】6【分析】本题考查垂径定理，坐标与图形性质，勾股定理．先求得⊙E的半径，再根据垂径定理和勾股定理即可求解．【详解】解：∵C0∴OD=1，∴CD=10，∴EA=ED=12CD=5∵AB⊥CD，∴AO=BO=12AB∴AB=2OB=6；故答案为：6．3．（2023上·河北石家庄·九年级校考阶段练习）圆O的半径为5，AB,CD为两条平行的弦，AB=8,CD=6．则这两条平行弦之间的距离为．【答案】1或7【分析】本题考查了垂径定理的知识，此题综合运用了垂径定理和勾股定理，特别注意有时要考虑两种情况．连接OC、OA，过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，则EF⊥CD，根据垂径定理求出CF，AE，根据勾股定理求出OE、OF，即可得出答案．【详解】解：连接OA，OC．过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，当AB和CD在圆心的同侧时，如图所示，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴AE=12AB=4根据勾股定理，得OE=AO2则EF=OF-OE=1．当AB和CD在圆心的两侧时，如图所示，∵AB∥CD，∴EF⊥CD，∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴AE=12AB=4根据勾股定理，得OE=AO2则EF=OF+OE=7．故答案为：1或7．4．（2023上·江苏·九年级期末）如图，在⊙O中，直径AB与弦MN相交于点P，∠NPB=45°，若AP=2，BP=6，则MN=．【答案】2【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．过点O作OD⊥MN于点D，连接ON，先根据AB是直径AP=2，BP=6求出⊙O的半径，故可得出OP的长，根据∠NPB=45°，得出△OPD是等腰直角三角形，再根据勾股定理求出OD的长，故可得出DN的长，由此即可得出结论．【详解】解：如图所示，过点O作OD⊥MN于点D，连接ON，则MN=2DN，∵AB是⊙O的直径，AP=2，BP=6，∴⊙O的半径=1∴OP=4-AP=4-2=2，∵∠NPB=45°，∴△OPD是等腰直角三角形，∴OD=2在Rt△ODNDN=O∴MN=2DN=214故答案为：2145．（2023上·广东惠州·九年级校考期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=10cm，CD=16【答案】AE=16【分析】本题考查垂径定理．根据垂径定理求出OE的长，利用OA+OE求出AE即可．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=10cm∴CE=12CD=8cm，∴OE=O∴AE=OA+OE=10+6=16cm6．（2023上·安徽淮南·九年级校考阶段练习）如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若AB=4cm，AC=3cm，求【答案】2.5【分析】此题考查了垂径定理，矩形的判定与性质及勾股定理，解答本题的关键是掌握垂径定理．先由垂径定理得AE=1.5，AD=2，再证得四边形ADOE是矩形，然后利用勾股定理即可求得【详解】解：连接AO∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB=4cm，∴AE=1.5又∵AC⊥AB∴四边形ADOE为矩形∴OD=AE=1.5，∴OA=【考试题型2】运用单勾股列方程求线段长7．（2023上·江苏常州·九年级校考期中）如图，⊙O的半径OF⊥弦AB于点E,C是⊙O上一点，AB=6,CE的最大值为9，则EF的长为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，连接OA，根据垂径定理得AE=BE=12AB=3，设半径为r，根据当C，O，E在同一条直线上时CE最长得到EF=2r-9，在Rt△AOE中，根据勾股定理得r-2r-92=r2-3【详解】解：如图，连接OA，∵⊙O的半径OF⊥弦AB于点E，AB=6，∴AE=BE=1设半径为r，可知当C，O，E在同一条直线上时CE最长，即CE=OE+OC，∴r+r-EF=9，∴EF=2r-9，在Rt△AOE中，由勾股定理得O∴r-2r-92=∴EF=2r-9=1，故选：A．8．（2023上·江苏淮安·九年级统考期中）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，则球的半径长是（

A．1cm B．2cm C．52【答案】C【分析】本题主要考查了垂径定理及推论、矩形性质等知识点，如图：连接OF，过O点作MN⊥EF、垂足为M，构造出直角三角形，再利用垂径定理和勾股定理求解即可．灵活运用垂径定理和勾股定理是解题关键．【详解】解：如图：过O点作MN⊥EF，垂足为M，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴EF=CD=MN=4cm设OF=xcm,则OM=在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF故选C．9．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十九中学校校考期中）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若AE=8，BE=2，则线段A．8 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，先连接OC，根据已知条件求出OB，OC，从而求出OE，然后根据勾股定理求出【详解】解：连接OC，∵AE=8，∴AB=AE+BE=8+2=10，∵AB是⊙O的直径，∴OC=OB=1∵BE+OE=OB，∴OE=OB-BE=5-2=3，∵CD⊥AB，∴∠CEO=90°，∴CE=O∴CD=8，故选：A．10．（2023·全国·九年级专题练习）如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD=10，BE=2，则☉O的直径为．【答案】29【详解】由题意，设半径为r，则OC=OB=r．∵BE=2，∴OE=r2．∵AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴点E是CD的中点．∵CD=10，∴CE=102=5在Rt△OCE中，由勾股定理，得OC2=CE2+OE2．即r2=52+(r2)2，解得r=294∴直径R=2r=292故☉O的直径为29211．（2023上·河南许昌·九年级统考期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图1．唐代陈廷章在《水轮赋》中写道“水能利物，轮乃曲成”．如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为8米，若点C为运行轨道的最低点，点C到弦AB所在直线的距离是2，则⊙O的半径长为米．【答案】5【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．连接OC交AB于点E．利用垂径定理得AE=4，再利用勾股定理即可求出半径．【详解】解：连接OC交AB于点E．设OA=OC=r，由题意OC⊥AB，∴AE=BE=1∵CE=2，∴OE=r-2，在Rt△AEO中，r∴r=5米，故答案为：5．12．（2023上·山东济宁·九年级校考期中）如图，⊙O的弦AB与CD相交于点E，已知AE=BE，DE=3CE，且AB=8，若CD过圆心O，求⊙O的半径．【答案】⊙O的半径为8【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，连接OB，根据垂径定理得到CD⊥AB，结合勾股定理求解即可得到答案．【详解】解：连接OB，如图，∵AE=BE，CD过圆心O，AB=8，∴CD⊥AB，∵DE=3CE，∴OE=CE=1在Rt△OBE∴OB2-O解得：OB=8所以，⊙O的半径为83【考试题型3】运用双勾股列方程求线段长13．（2023上·浙江温州·九年级温州市第八中学校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=10，以点C为圆心，AC为半径的圆与AB，BC分别交于点E与点D，则BE的长为【答案】3【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，过点C作CH⊥AB于点H，根据勾股定理得出AB=AC2+BC2=55【详解】解∶过点C作CH⊥AB于点H，∵∠C=90°，AC=5，BC=10，∴AB=A∵S△ABC∴AC⋅BC=AB⋅CH，即5×10=55解得：CH=25∴AH=A∵CH⊥AB，∴AE=2AH=25∴BE=AB-AE=35故答案为：3514．（2023上·江苏南京·九年级统考期中）如图，AD是△ABC的高，以O为圆心的两个同心圆，小圆经过点A，D，大圆经过点B，C，若小圆半径为6，大圆半径为10，则AB2【答案】672【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理的运用，过O作OF⊥BC，根据垂径定理和勾股定理，用OF表示出AB【详解】解：小圆与CD交于点E，连接AE,OB,OD,OC，过点O作OF⊥BC交BC于F，如图：∵AD⊥BC，∴AE是小圆的直径，即AE过点O，由垂径定理可知，DF=EF,BF=CF，∴OF=1设OF=x，∴DF=EF=36-x2∴BD=BF-DF=100-x2-36-∴ABAC2=A∴AB故答案为：672．15．（2023上·黑龙江绥化·九年级校考期中）在半径为13的⊙O中，弦AB∥CD，弦AB和CD间的距离为7，若AB=24，则CD的长为．【答案】10或2【分析】本题考查的是垂径定理和勾股定理，根据题意画出图形，由于AB与CD的位置不能确定，故分AB与CD在圆心O的同侧和AB与CD在圆心O的异侧两种情况进行讨论，然后利用垂径定理和勾股定理求解即可．在解答此类题目时要注意进行分类讨论，不要漏解．【详解】解：当AB与CD在圆心O的同侧时，如图1所示：过点O作OF⊥CD于点F，交AB于点E，连接OA，OC．∵AB∥CD，OF⊥CD，∴OE⊥AB，∴AE=1在Rt△AOE中，OE=∴OF=OE+EF=5+7=12．在Rt△OCF中，CF=∴CD=2CF=10；当AB与CD在圆心O的异侧时，如图2所示：过点O作OF⊥CD于点F，反向延长交AB于点E，连接OA，OC．∵AB∥CD，OF⊥CD，∴OE⊥AB，∴AE=1在Rt△AOE中，OE=∴OF=EF-OE=7-5=2．在Rt△OCF中，CF=∴CD=2CF=2165综上所述，CD的长为10或2故答案为：10或216516．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA=4，PB=6，则OP的长为．

【答案】5【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理是解题的关键．由题意知，AB=10，如图，作OD⊥AB于D，连接OB，则OB=7，由垂径定理可得，AD=BD=12AB=5，则PD=1，由勾股定理得，O【详解】解：由题意知，AB=AP+PB=10，如图，作OD⊥AB于D，连接OB，则OB=7，

由垂径定理可得，AD=BD=1∴PD=AD-AP=1，由勾股定理得，OD由勾股定理得，OP=P故答案为：5．17．（2023上·浙江杭州·九年级统考期中）如图这是一个残缺的圆形部件，已知A,B,C是该部件圆弧上的三点．(1)利用尺规作图作出该部件的圆心；（保留作图痕迹）(2)若△ABC是等腰三角形，底边BC=16cm，腰AB=10cm，求该部件的半径【答案】(1)见解析(2)圆片的半径R为25【分析】本题考查了垂直平分线的尺规作图，垂径定理及勾股定理，熟记相关结论是解题关键．（1）弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心，据此即可完成作图；（2）连接AO,OB,BC，根据垂径定理可得BD=8cm，再结合勾股定理可得AD；设圆片的半径为R，在Rt【详解】（1）解：如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；（2）解：连接AO,OB,BC,BC交OA于D．∵BC=16cm∴BD=8cm∵AB=10cm∴AD=A设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD=∴解得：R=25∴圆片的半径R为25318．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）如图，在直径为20的⊙O中，AB与CD是互相垂直的两条弦，垂足为点F．已知AB=CD=16，求OF的长．【答案】6【分析】本题主要考查了垂径定理以及圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．过O点作OM⊥AB于M点，ON⊥CD于N点，连接OA，先证明四边形OMFN是正方形，然后根据垂径定理求出OM即可解答．【详解】解：过O点作OM⊥AB于M点，ON⊥CD于N点，连接OA，如图，∴∠OMF=∠ONF=90°，AM=BM=8，∵AB⊥CD，∴∠MFN=90°，∴四边形OMFN是矩形，∵AB=CD，∴OM=ON，∴四边形OMFN正方形，∴OM=MF，∵直径为20，∴OA=10，在Rt△AOM中，OM=∴MF=6，∴在Rt△OMF中，OF=即OF的长为62【考试题型4】垂径定理的实际应用19．（2023上·江苏徐州·九年级统考期中）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB宽度为8米，拱高CD（弧的中点到水面的距离）为2米．(1)求主桥拱所在圆的半径；(2)若水面下降1米，求此时水面的宽度（保留根号）．【答案】(1)主桥拱所在圆的半径长为5米(2)此时水面的宽度为221【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．（1）连接OA,OC，设半径OA=OD=R,OC=OD-DC=R-2，在Rt△ACO（2）根据勾股定理列式可得FG的长，最后由垂径定理可得结论．【详解】（1）∵点D是AB的中点，DC⊥AB，∴AC=BC=1设拱桥的桥拱弧AB所在圆的圆心为O，连接OA,OC，设半径OA=OD=R,OC=OD-DC=R-2，在Rt△ACO中，O∴解得R=5．答：主桥拱所在圆的半径长为5米；（2）设OD与EF相交于点G，连接OF，∵EF∴OD⊥EF，∴∠OGF=90°，在Rt△OGF中，OG=5-1-2=2,OF=5∴FG=∴EF=2FG=2答：此时水面的宽度为22120．（2023上·江西南昌·九年级南昌市心远中学校考期中）如图1，重庆特色的九宫格火锅分九格：四角格、十字格、中心格（中心格一般为正方形）．隔板的设计有以下两种：①横纵隔板两两垂直交于隔板的三等分点如图2所示；②横纵隔板两两垂直交于圆锅边缘（圆）八等分点如图3所示．已知圆锅直径为40cm

(1)求图2的中心格面积S1(2)求两种设计的中心格面积S1与S【答案】(1)S(2)S【分析】（1）如图2，过点O作OB⊥AP于点B，连接OA，然后可得OA=20cm，AH=HI=IP，则有OB=HB=BI=12HI=（2）如图3，过点C作CF⊥DG，垂足为F，连接CG、DE，则有CD=CE=20cm，CF=FG，根据圆周角定理可知∠CDF=12×45°=22.5°，则有CG=DG=2【详解】（1）解：如图2，过点O作OB⊥AP于点B，连接OA，

由题意得：OA=20cm，AH=HI=IP由中心格是正方形可得：OB=HB=BI=1设OB=xcm，则AB=3x在Rt△ABO中，由勾股定理得：x∴x2∴S1（2）：如图3，过点C作CF⊥DG，垂足为F，连接CG、DE，

由题意得：CD=CE=20cm，CF=FG∵横纵隔板两两垂直交于圆锅边缘八等分点如图3所示，∴圆锅边缘每段弧的度数为45°，∴∠CDF=1∵∠CGF=45°，∴∠DCG=∠CGF-∠CDF=22.5°=∠CDF，∴CG=DG=2∴FD=DG+FG=2∴在Rt△CDF中，由勾股定理得：CF2∴CF∴S∴S【点睛】本题主要考查垂径定理、圆周角定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理、圆周角定理及勾股定理是解题的关键．21．（2023上·北京海淀·九年级北京交通大学附属中学校考阶段练习）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图1，其数学模型为如图2所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径AB=1米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD=BC=0.7米，则门洞的半径是多少？【分析】过O作ON⊥AB于N，过D作DM⊥ON于M，由垂径定理得AN=BN=12AB=________(米)，再证四边形DCNM是________，则MN=CD=______米，DM=CN=BC+BN=______(米)，设该圆的半径长为r米，然后由题意列出方程或方程组，解方程(组)可得【答案】门洞的半径长为1.3米【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用等知识；过O作ON⊥AB于N，过D作DM⊥ON于M，由垂径定理得AN=BN=12AB=0.5米，再证四边形DCNM是矩形，则MN=CD=0.7米，DM=CN=BC+BN=1.2(米)【详解】解：过O作ON⊥AB于N，过D作DM⊥ON于M，如图所示：

则AN=BN=12AB=0.5∵DC⊥AB，∴∠DCN=90°，∴四边形DCNM是矩形，∴MN=CD=0.7米，DM=CN=BC+BN=1.2(米)，设该圆的半径长为r米，根据题意得，O解得：r=1.3即门洞的半径长为1.3米，22．（2023上·湖北黄冈·九年级统考期中）某村为了促进农村经济发展，建设了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚．如图是蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为O，跨度AB（弧所对的弦）的长为8米，拱高CD（弧的中点到弦的距离）为2米．

(1)求该圆弧所在圆的半径；(2)在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点B）1米处将竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．【答案】(1)该圆弧所在圆的半径为5米(2)支撑杆EF的高度为1米【分析】此题考查了矩形判定和性质、勾股定理、垂径定理的应用：（1）根据垂径定理的推论得到圆心O在DC的延长线上，设⊙O的半径为r米，则OC=(r-2)米．由垂径定理得到CA=4米．在Rt△OAC中，由勾股定理得A（2）过F点作FH⊥CD于H点，连OF，先求出CE=3，证明四边形EFHC为矩形，则FH=CE=3．在Rt△OFH中，OH=OF2-F【详解】（1）∵AB垂直平分CD，∴圆心O在DC的延长线上．设⊙O的半径为r米，则OC=(r-2)米．∵OD⊥AB，∴CA=BC=1在Rt△OAC由勾股定理得：AC即42解得r=5．即该圆弧所在圆的半径为5米；（2）过F点作FH⊥CD于H点，连接OF．

∵BE=1，∴CE=4-1=3．∵∠FHC=∠HCE=∠CEF=90°，∴四边形EFHC为矩形，∴FH=CE=3，EF=HC在Rt△OFH中，OH=∵OC=3，∴HC=1．∴EF=HC=1．即支撑杆EF的高度为1米．23．（2023上·河北唐山·九年级统考期中）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB=52cm,MN为水面截线，MN=48cm

(1)作OC⊥MN于点C，求OC的长；(2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了14cm【答案】(1)10(2)28【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理：（1）连接OM，利用垂径定理得出MC=1（2）过O作OD⊥EF于点D，连接OE，利用勾股定理求出ED，再利用垂径定理得出EF=2ED=20cm,MN与【详解】（1）解：连接OM，

∵O为圆心，OC⊥MN，MN=48cm∴MC=1∵AB=52cm∴OM=1在Rt△OMC中，OC=∴OC的长为10cm（2）解：过O作OD⊥EF于点D，连接OE，

由题意得，OD=10+14=24cm在Rt△OED中，ED=∴EF=2ED=20cm∴48-20=28∴水面截线减少了28cm24．（2023上·九年级课时练习）某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24m，AB离地面的高度AE=10m，拱顶最高处C离地面的高度CD为18m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等都等于17

【答案】MN=10【分析】根据题意和垂径定理得到CG=8m，AG=12m，【详解】设CD于AB交于G，与MN交于H，∵CD=18m∴CG=8m设圆拱的半径为r，在Rt△AOG中，O∴r2解得r=13，∴OC=13m∴OH=13-1=12(m)在Rt△MOH中，O∴132解得MH∴MH=5m∴MN=10m

【点睛】本题考查了垂径定理的应用，作出辅助线构建直角三角形，利用勾股定理求解是解题的关键．25．（2023·湖南·统考中考真题）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t=0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM=30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，2≈1.414

问题解决：(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）【答案】(1)∠BOM=45°；(2)该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为0.3米．【分析】（1）先求得该盛水筒的运动速度，再利用周角的定义即可求解；（2）作BC⊥OM于点C，在Rt△OAD中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得OD的长，在Rt△OBC中，利用勾股定理求得【详解】（1）解：∵旋转一周用时120秒，∴每秒旋转360°120当经过95秒后该盛水筒运动到点B处时，∠AOB=360°-3°×95=75°，∵∠AOM=30°，∴∠BOM=75°-30°=45°；（2）解：作BC⊥OM于点C，设OM与水平面交于点D，则OD⊥AD，

在Rt△OAD中，∠AOD=30°，OA=2∴AD=12OA=1在Rt△OBC中，∠BOC=45°，OB=2∴BC=OC=2∴CD=OD-OC=3-2≈0.3答：该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为0.3米．【点睛】本题考查了圆的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．【考试题型5】垂径定理应用的综合题26．（2023·广东广州·统考一模）在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°；(1)如图1，已知∠D=30°，直接写出∠A+∠C的度数；(2)如图2，已知∠ADC=30°，AD=3，CD=4，连接BD，求BD的长度；(3)如图3，已知∠ADC=75°，BD=6，请判断四边形ABCD的面积是否有最小值？如果有，请求出它的最小值；如果没有，请说明理由．【答案】(1)270°(2)5(3)9【分析】（1）根据四边形的内角和定理求解即可；（2）将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAQ．即得出∠CBD=∠ABQ，∠C=∠BAQ，CD=AQ=4，BD=BQ，从而可证△DBQ是等边三角形，即得出BD=DQ．再结合（1）可得出∠BAQ+∠BAD=270°，进而可求出∠DAQ=90°，最后根据勾股定理求解即可．（3）如图，将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAH，连接DH．易证△BDH为等边三角形．根据S四边形ABCD=S△BAH+S△ABD=S△DBH-S△ADH，即得出当△ADH面积最大时，四边形ABCD的面积最小．又可求∠DAH=135°，结合DH=DB=6，即说明点A在定圆⊙O上运动，则当O、A、B共线时，△DAH的面积最大，此时OB⊥DH，设OA交DH于K，HK=KD=3，进而可求∠AHD=∠ADH=22.5°．在HK上取点【详解】（1）解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠B=60°，∠D=30°，∴∠A+∠C=360°-60°-30°=270°；（2）解：如图，将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAQ．∴∠CBD=∠ABQ，∠C=∠BAQ，CD=AQ=4，BD=BQ．∵∠CBD+∠ABD=60°，∴∠ABQ+∠ABD=60°，即∠DBQ=60°，∴△DBQ是等边三角形，∴BD=DQ．∵∠C+∠BAD=270°，∴∠BAQ+∠BAD=270°，∴∠DAQ=90°，∴BD=DQ=A（3）解：如图，将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAH，连接DH．由（2）同理可证△BDH为等边三角形，∴S四边形∴当△ADH面积最大时，四边形ABCD的面积最小．∵∠ABC=60°，∠ADC=75°，∴∠BAD+∠BCD=∠BAD+∠BAH=225°，∴∠DAH=135°．∵DH=DB=6，∴点A在定圆⊙O上运动，如图，则当O、A、B共线时，△DAH的面积最大，此时OB⊥DH，设OA交DH于K，∴HK=KD=3．∵AH=AD，∴∠AHD=∠ADH=22.5°．在HK上取点F，使得FH=FA，如图，则△AKF是等腰直角三角形．设AK=FK=x，则FH=AF=2∴3=x+2解得：x=32∴S△ADH∵S△BDH∴S四边形ABCD=S△DBH【点睛】本题考查四边形的内角和，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形外角的性质，垂径定理等知识．正确作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键．27．（2023·陕西西安·校考二模）【问题提出】（1）如图①，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，△ACD为等边三角形，AD=4，则线段BD的长为___________；【问题解决】（2）如图②，在等腰直角△ABC中，∠B=90°,BC=AB=2，以AC为直径作半圆O，点D为AC上一动点，求点B、D之间的最大距离；【问题探究】（3）一次手工制作课程中，老师要求小明和小丽组制作一种特殊的部件，部件的要求如图③，部件是由直角△ABC以及弓形BDC组成，其中∠B=90°,AB=4,BC=6.4,DE=2.4，点E为BC的中点，DE⊥BC，这时候小明和小丽在讨论这个部件，其中小丽说点A到BC的最大距离是点A、D之间的距离，小明说不对，你认为谁的说法正确？请说明理由，并求出点A到BC的最大距离．【答案】（1）2+23；（2）22；（3【分析】（1）连接BD，交AC于点E，根据题意BD是AC的垂直平分线，通过解直角三角形解出BE与DE的长，两者相加即可解题．（2）结合图形，可知B，O，D三点共线时，BD有最大值，根据解直角三角形解出BO的长，加上半圆的半径，即可解答．（3）作辅助线如图，证明AD'>AD，即说明小明的说法正确；可知弓形的圆心在AF【详解】解：（1）如图，连接BD交AC于点E，∵△ABC是等腰直角三角形，△ACD为等边三角形，∴BA=BC，DA=DC,在△ABD与△BCD中，BA=BCDA=DCBD=BD∴△ABD≌△CBDSSS∴∠ADE=∠CDE，∠ABE=∠CBE，根据三线合一，可得BD垂直平分AC，∵AD=4，∴AC=4，∴AE=1∴BE=AE=1，ED=3∴BD=BE+DE=2+3．（2）如图②，连接BO并延长交AC于点D，则此时BD最大．在AC上取一点异于点D的点D'，连接BD'在△BOD'中，∵OD=OD∴BO+OD>BD'，即∴BD最大在等腰直角△ABC中，AB=2，O为AC的中点，∴BO=AO,∠BOA=90°且AB∴BO=AO=2∴BD=BO+OD=22∴点B、D之间的最大距离为22．（3）小明的说法正确．

如图③，过点A作BC的平行线AF，延长DE交AF于点F．∵点E为BC中点，DE⊥BC，∴BDC所在的圆的圆心O在直线DF设圆O半径为r，连接BO．在△BOE中，BO=r,EO=DO-DE=r-2.4，且BO∴r2=连接AO并延长交BDC于点D'，则A在△AOD中，AO+OD>AD，且OD=OD∴AO+O∴小明的说法正确．

在Rt△AOF中，AF=3.2,FO=FE-EO=4-(r-2.4)=46∴AO=A∴AD∴点A到BC的最大距离为21105【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．28．（2022·上海奉贤·统考二模）图1是某种型号圆形车载支架，由圆形钢轨、滑动杆、支撑杆组成．图2是它的正面示意图，滑动杆AB的两端都在圆O上，A、B两端可沿圆形钢轨滑动，支撑杆CD的底端C固定在圆O上，另一端D是滑动杆AB的中点，（即当支架水平放置时直线AB平行于水平线，支撑杆CD垂直于水平线），通过滑动A、B可以调节CD的高度．当AB经过圆心O时，它的宽度达到最大值10cm，在支架水平放置的状态下：(1)当滑动杆AB的宽度从10厘米向上升高调整到6厘米时，求此时支撑杆CD的高度．(2)如图3，当某被支架锁住时，锁住高度与宽度恰好相等（AE=AB），求该的宽度．【答案】(1)支撑杆CD的高度为9cm．(2)的宽度为8cm．【分析】（1）如图，连结OA，由题意可得：⊙O的直径为10，AB=6,由OD⊥AB,先求解OD,从而可得答案；（2）如图，记圆心为O，连结OA，证明AE=CD=BF=AB,设AD=BD=x,则AE=CD=BF=AB=2x,则OD=2x-5,再利用勾股定理建立方程求解即可．【详解】（1）解：如图，连结OA，由题意可得：⊙O的直径为10，AB=6,∴OA=5,∵CD⊥AB,即OD⊥AB,∴AD=BD=3,∴OD=5∴CD=OC+OD=9.所以此时支撑杆CD的高度为9cm．（2）解：如图，记圆心为O，连结OA，由题意可得：AB=AE,∠E=∠EAB=∠ABF=90°,∴四边形AEFB为正方形，∵CD⊥EF,∴AE=CD=BF=AB,∵CD⊥AB,∴设AD=BD=x,则AE=CD=BF=AB=2x,∵OA=OC=5,∴OD=2x-5,由勾股定理可得：52解得x1经检验x=0不符合题意，舍去，取x=4,AB=8（cm），即的宽度为8cm．【点睛】本题考查的是正方形的判定与性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意，建立方程解题是关键．29．（2023·北京延庆·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2．对于线段AB和点C（点C不在直线AB上），给出如下定义：过点C作直线AB的平行线l，如果线段AB关于直线l的对称线段A'B'是⊙O的弦，那么线段AB称为⊙O(1)如图，D(-2，6)，E(2，6)，F(-3，1)，G(-1，3)，H(0，3)，在线段(2)等边△ABC的边长为1，点C(0，t)，若线段AB是⊙O的点C对称弦，求(3)点M在直线y=3x上，⊙M的半径为1，过点M作直线y=3x的垂线，交⊙M于点P，Q．若点N在⊙M上，且线段PQ是⊙O的点N对称弦，直接写出点【答案】(1)DE，FG；(2)t1=152-32(3)-3+22【分析】（1）根据题目中新定义，分别求出D'-2,0，E'2,0，F'（2）分类讨论，当点C在边AB下方时，当点C在边AB上方时，分别求解即可；（3）如图所示，分别求出m最小值与最大值，即可得出答案．【详解】（1）解：∵D(-2，6)，E(2，∴D'-2,0，∵