陕西省西安市八校高三上学期第一次联考数学（理）试题

2018届高三年级数学（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，集合，则（）A．B．C．D．2.在中，“”是“是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.若过点的直线与曲线有公共点，则直线斜率的取值范围为（）A．B．C．D．4.已知函数在时取得最小值，则在上的单调递增区间是（）A．B．C.D．5.设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数的值为（）A．10B．11C.12D．136.已知实数满足，则的最小值为（）A．10B．4C.4D．67.在中，已知分别是边上的三等分点，则的值是（）A．B．C.6D．78.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C.D．9.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的,则的值可以是（）（参考数据：）A．2.6B．3C.3.1D．3.1410.已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C.D．211.已知球的直径是该球球面上的两点，，则棱锥的体积最大为（）A．2B．C.D．12.已知函数，若恰有两个不同的零点，则的取值范围为（）A．B．C.D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若与互为共轭复数，则．14.在的展开式中，的系数是．15.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为．16.数列中，为数列的前项和，且，则这个数列前项和公式．三、解答题（本大题共7小题，共70分.其中1721题必作；22、23题选作.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数.（1）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（2）若，求的值.18.某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名.为了研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据“25周岁以上组”的频率分布直方图，求25周岁以上组工人日平均生产件数的中位数的估计值（四舍五入保留整数）；（2）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；（3）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在年龄组有关”？生产能手非生产能手合计25周岁以上组25周岁以下组合计0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828附：19.已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.（1）为中点，在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由；（2）求二面角的余弦值.20.已知直线过椭圆的右焦点，抛物线的焦点为椭圆的上顶点，且交椭圆于两点，点在直线上的射影依次为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线交轴于点，且，当变化时，证明：为定值；（3）当变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.21.已知函数，函数是区间上的减函数.（1）求的最大值；（2）若在上恒成立，求的取值范围；（3）讨论关于的方程的根的个数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.以平面直角坐标系的坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系.已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于两点，求.23.已知函数和的图象关于原点对称，且.（1）解关于的不等式；（2）如果对，不等式成立，求实数的取值范围.试卷答案一、选择题15:DADAC610:ABBCD11、12：AC二、填空题13.714.8415.16.三、解答题17.解：（1）∵，∴函数的最小正周期为，又∵，∴，∴，∴函数在区间上的最大值为2，最小值为1.（2）∵，∴，又∵，∴，∴，∴.18.解：由于采用分层抽样，则“25周岁以上”应抽取名，“25周岁以下”应抽取名.（1）由“25周岁以上组”的频率分布直方图可知，其中位数为，综上，25周岁以上组工人日平均生产件数的中位数为73件.（2）由频率分布直方图可知，日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上共名，设其分别为；25周岁以下工人共名，设其分别为.记“至少抽到一名25周岁以下工人”为事件.所有基本事件分别为，共10个；事件包含的基本事件共7个.由于事件符合古典概型，则；（3）由频率分布直方图可知，25周岁以上的“生产能手”共名，25周岁以下的“生产能手”共名，则列联表如图所示.生产能手非生产能手合计25周岁以上组15456025周岁以下组152540合计3070100所以，综上，没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.19.解：如图，建立空间直角坐标系，则由该几何体的三视图可知：.（1）设平面的法向量，∵，∴，∴令，可解得平面的一个法向量，设，由于，则，又∵平面，∴，即，∴在线段上存在一点，使得平面，此时；（2）设平面的法向量，∵，∴∴令，可解得平面的一个法向量，∴.由图可知，所求二面角为锐角，即二面角余弦值为.20.解：（1）∵过椭圆的右焦点，∴右焦点，即，又∵的焦点为椭圆的上顶点，∴，即，∴椭圆的方程；（2）由得，，设，则，∵，∴，∴，∴，综上所述，当变化时，的值为定值；（3）当时，直线轴，则为矩形，易知与是相交于点，猜想与相交于点，证明如下：∵，∵，∴，即三点共线.同理可得三点共线，则猜想成立，即当变化时，与相交于定点.21.解：（1）∵，∴，又∵在上单调递减，∴在恒成立，∴，∴故的最大值为1；（2）∵，∴只需在上恒成立，既，令，则需则，又∵恒成立，∴；（3）由于，令，∵，∴当时，，即单调递增；当时，，即