北师大版必修一课后作业第一章集合2

学习目标1.理解子集、集合相等、真子集的概念.2.能用符号和Venn图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法．知识点一子集思考如果把“马”和“白马”视为两个集合，则这两个集合中的元素有什么关系？答案所有的白马都是马，马不一定是白马．梳理一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即若a∈A，则a∈B，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．子集的有关性质：(1)∅是任何集合A的子集，即∅⊆A.(2)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(3)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.(4)若A⊆B，B⊆A，则称集合A与集合B相等，记作A＝B.知识点二真子集思考在知识点一里，我们知道集合A是它本身的子集，那么如何刻画至少比A少一个元素的A的子集？答案用真子集．梳理如果集合A⊆B，但A≠B，称集合A是集合B的真子集，记作：A?B(或B?A)，读作：A真包含于B(或B真包含A)．知识点三Venn图思考图中集合A，B，C的关系用符号可表示为__________．答案A⊆B⊆C梳理一般地，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．Venn图可以直观地表达集合间的关系．类型一求集合的子集例1(1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论．解(1)∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}．(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有2n个子集，2n－1个真子集．如∅，有1个子集，0个真子集．反思与感悟为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等．跟踪训练1适合条件{1}⊆A?{1,2,3,4,5}的集合A的个数是()A．15 B．16C．31 D．32答案A解析这样的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15个．类型二判断集合间的关系eq\x(命题角度1概念间的包含关系)例2设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为()A．P⊆N⊆M⊆QB．Q⊆M⊆N⊆PC．P⊆M⊆N⊆QD．Q⊆N⊆M⊆P答案B解析正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，所以选B.反思与感悟一个概念通常就是一个集合，要判断概念间的关系首先要准确理解概念的定义．跟踪训练2我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N、Z、Q、R表示，用符号表示N、Z、Q、R的关系为______________．答案N?Z?Q?Req\x(命题角度2数集间的包含关系)例3设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x<2或x>3}，则A与B的关系为()A．A∈B B．B∈AC．A⊆B D．B⊆A答案C解析∵0<2，∴0∈B.又∵1<2，∴1∈B.∴A⊆B.反思与感悟判断集合关系的方法(1)观察法：一一列举观察．(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．跟踪训练3已知集合A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}，则()A．A∈B B．A?BC．B?A D．B⊆A答案B解析由数轴易知A中元素都属于B，B中至少有一个元素如－2∉A，故有A?B.类型三由集合间的关系求参数(或参数范围)例4已知集合A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|ax＝1}，且A⊇B，求实数a的值．解A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}．(1)当a＝0时，B＝∅⊆A，符合题意．(2)当a≠0时，B＝{x|ax＝1}＝{eq\f(1,a)}，∵eq\f(1,a)≠0，要使A⊇B，只有eq\f(1,a)＝1，即a＝1.综上，a＝0或a＝1.反思与感悟集合A的子集可分三类：∅、A本身，A的非空真子集，解题中易忽略∅.跟踪训练4已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|2a－3<x<a－2}，且A⊇B，求实数a的取值范围．解(1)当2a－3≥a－2，即a≥1时，B＝∅⊆A，符合题意．(2)当a<1时，要使A⊇B，需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<1，,2a－3≥1，,a－2≤2，))这样的实数a不存在．综上，实数a的取值范围是{a|a≥1}．1．下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅?A，则A≠∅.其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3答案B解析只有④正确．2．集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则P与T的关系为()A．P?T B．P∈TC．P＝T D．P⃘T答案A3．下列关系错误的是()A．∅⊆∅ B．A⊆AC．∅⊆A D．∅∈A答案D4．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是()答案B5．若A＝{x|x>a}，B＝{x|x>6}，且A⊆B，则实数a可以是()A．3B．4C．5D．6答案D解析依题意得a≥6，故选D.1．对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法．(2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．(3)在真子集的定义中，A?B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但xD∈/A.2．集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉．3．由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法(1)注意点：①不能忽视集合为∅的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．课时作业一、选择题1．在下列关系中错误的个数是()①1∈{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0,1,2}⊆{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}；⑤{0,1}⊆{(0,1)}；A．1B．2C．3D．4答案B解析①正确；因为集合{1}是集合{0,1,2}的真子集，而不能用符号∈来表示，所以②错误；③正确，因为任何集合都是它本身的子集；④正确，因为集合元素具有无序性；因为集合{0,1}表示数集，它有两个元素，而集合{(0,1)}表示点集，它只有一个元素，所以⑤错误，所以错误的个数是2.故选B.2．已知集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么()A．P?M B．M?PC．M＝P D．M⃘P答案C解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y<0，,xy>0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0，,y<0，))故M＝P.3．已知集合U、S、T、F的关系如图所示，则下列关系正确的是()①S∈U；②F⊆T；③S⊆T；④S⊆F；⑤S∈F；⑥F⊆U.A．①③ B．②③C．③④ D．③⑥答案D解析元素与集合之间的关系才用∈，故①⑤错；子集的区域要被全部涵盖，故②④错．4．已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则()A．A⊆B B．C⊆BC．D⊆C D．A⊆D答案B解析∵等腰三角形包括等腰直角三角形，∴C⊆B.5．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠∅，B⊆A，则(a，b)不能是()A．(－1,1) B．(－1,0)C．(0，－1) D．(1,1)答案B解析当a＝－1，b＝1时，B＝{x|x2＋2x＋1＝0}＝{－1}，符合；当a＝b＝1时，B＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}，符合；当a＝0，b＝－1时，B＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，符合；当a＝－1，b＝0时，B＝{x|x2＋2x＝0}＝{0，－2}，不符合．6．集合M＝{1,2,3}的子集个数为()A．5B．6C．7D．8答案D解析∵集合M共有3个元素，∴集合M的子集的个数为23＝8.二、填空题7．若M⊆P，M⊆Q，P＝{0,1,2}，Q＝{0,2,4}，则满足上述条件的集合M的个数是________．答案4解析P，Q中的公共元素组成集合C＝{0,2}，M⊆C，这样的集合M共有22＝4个．8．已知{0,1}?A⊆{－1,0,1}，则集合A的个数为________．答案1解析由题意知集合A中一定含有元素0,1，并且A中至少含三个元素，又因为A⊆{－1,0,1}，所以A＝{－1,0,1}，满足题意的集合A有1个．9．若集合A＝{x|2≤x≤3}，集合B＝{x|ax－2＝0，a∈Z}，且B⊆A，则实数a＝________.答案0或1解析当B＝∅时，a＝0，满足B⊆A；当B≠∅时，B＝{eq\f(2,a)}，又B⊆A，∴2≤eq\f(2,a)≤3，即eq\f(2,3)≤a≤1，又a∈Z，∴a＝1.综上知a的值为0或1.10．已知集合A＝{x|x＝eq\f(k,2)＋eq\f(1,4)，k∈Z}，B＝{x|x＝eq\f(k,4)＋eq\f(1,2)，k∈Z}，则集合A，B满足的关系是________．(用⊆，?，＝连接A，B)答案A?B解析若x0∈A，即x0＝eq\f(k0,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(2k0,4)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(2k0－1,4)＋eq\f(1,2)，k0∈Z.∵2k0－1∈Z，∴x0∈B，即A⊆B，又eq\f(1,2)∈B，但eq\f(1,2)∉A，即A≠B，∴A?B.三、解答题11．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C有多少个？解先用列举法表示集合A，B.由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．综上，满足题意的集合C共有4个．12．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，求实数a的值．解∵集合A的子集只有两个，∴A中只有一个元素．当a＝0时，x＝eq\f(2,3)，满足题意．当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a×2＝0，∴a＝eq\f(9,8).综上，a的值为0或eq\f(9,8).13．已知集合A＝{1,3，－x3}，B＝{x＋2,1}，是否存在实数x，使得B是A的子集？若存在，求出集合A，B；若不存在，请说明理由．解因为B是A的子集，所以B中元素必是A中的元素，若x＋2＝3，则x＝1，符合题意．若x＋2＝－x3，则x3＋x＋2＝0，所以(x＋1)(x2－x＋2)＝0.因为x2－x＋2≠0，所以x＋1＝0，所以x＝－1，此时x＋2＝1，集合B中的元素不满足互异性．综上所述，存在实数x＝1，使得B是A的子集，此时A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}．四、探究与拓展14．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1B．2C．3D．4答案D解析用列举法表示集合A，B，根据集合关系求出集合C的个数．由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．15．已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A⊆B，求实数m的取值集合．解∵A⊆B，∴当A＝∅时，即方程x2－4mx＋2m＋6＝