251直线与圆的位置关系（第1课时）（导学案）

2.5.1直线与圆的位置关系（第1课时）导学案教学目标理解直线和圆的三种位置关系．会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．会用代数法来判断直线与圆的位置关系．能解决直线与圆位置关系的求切线方程、求弦长等综合问题．教学重难点重点：会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系，会用代数法来判断直线与圆的位置关系．难点：能解决直线与圆位置关系的求切线方程、求弦长等综合问题.教学过程新课探究回顾：在本章2.3.1的学习中，我们是如何用方程定量计算研究两条直线的位置关系的？联立两条直线方程，构成方程组，方程组解的个数即可得到两直线交点的个数，从而得出两条直线位置关系.探究：类比以上方法，得出如何用方程定量计算研究直线与圆的的位置关系的方法.联立直线方程和圆的方程，构成方程组，代入消元得到一个一元二次方程，计算∆，即可判断方程解的个数，从而可以得出直线与圆交点的个数，即可判断直线与圆的位置关系.应用新知例1已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长．预设：联立直线与圆的方程，得消去，得，所以方程③有两个解，直线与圆有两个公共点所以，直线与圆相交的位置关系为：相交．教师：以上判断直线与圆的位置关系的方法，称之为代数法.追问：直线与圆相交，如何求直线被圆所截得的弦长?预设：解方程，得，．把，分别代入方程①，得，．所以，直线与圆的两个交点是，．因此所求弦长．师生：共同总结，1、代数法判断直线与圆的位置关系的步骤：①联立：将直线方程和圆的方程联立②消元：消元得到一元二次方程③算∆：计算一元二次方程的∆，得出∆的正负性④定论：根据∆的正负性，下结论2、代数法计算弦长：计算出直线与圆的两个交点坐标，直接用两点间的距离公式求弦长即可跟踪练习：已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长．预设：联立直线与圆的方程，得消去，得，所以所以，直线与圆相交，有两个公共点，它们位置关系为：相交.解方程③得，分别代入方程①，得，．所以，直线与圆的两个交点是，．因此所求弦长．新课探究思考：观看以下动画，思考是否还有其他方法判断直线与圆的位置关系呢？教师：将以上动画的三个瞬间定格如下：再次思考是否还有其他方法判断直线与圆的位置关系呢？d:圆心到直线的距离，r：圆的半径应用新知例1已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长．预设：圆的方程可化为，因此圆心的坐标为，半径为，圆心到直线l的距离．QUOTE所以直线l与圆C相交，有两个公共点．教师：以上判断直线与圆位置关系的方法，称之为几何法.追问：直线与圆相交，如何求直线被圆所截得的弦长?知识小贴士：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧预设：解如图，由垂径定理，得，解得师生：共同总结，1、几何法判断直线与圆的位置关系的步骤：①算r：将圆的方程化为标准方程得圆心坐标和半径r.②算d：计算圆心到直线的距离d，③下结论：根据d与r的大小关系，下结论2、几何法计算弦长：借助垂径定理，构造直角三角形，利用勾股定理求弦长即可跟踪练习：已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长．预设：圆的方程圆心的坐标为，半径为，圆心到直线l的距离．QUOTE所以直线l与圆C相交，有两个公共点．由垂径定理，得．思考：与初中的方法比较，你认为用方程判断直线与圆的位置关系有什么优点？用方程判断是定量计算分析，若相交或相切可以直接求出交点（切点）坐标追问：例1中两种解法（代数法和几何法）的差异是什么？解法1，即代数法是直接运用直线和圆的方程组成的方程组，有无实数解的情况判断直线圆位置关系，完全代数的方法，比较容易想到，计算量比较大.解法2，即几何法是利用图形中的相关几何量(圆心到直线的距离，圆的半径)的大小比较，判断直线与圆位置关系.利用图形的几何性质，有助于简化计算.例2过点作圆的切线，求切线的方程．预设：设切线的斜率为，则切线的方程为．因为直线与圆相切，所以方程组，只有一组解．消元，得．①因为方程①只有一组解，所以．解得或．因此，所求切线的方程为，或．教师：以上求切线方程的方法为：代数法师生：共同总结，1、代数法求圆外一点的切线方程：①设斜率k：分斜率“存在”与“不存在”两种情况讨论；②写方程：用点斜式写出直线的方程:y−y③联立算∆：联立直线与圆的方程，消元得到一元二次方程，计算∆；④列方程：利用∆=0建立方程，求出k，即可求得切线方程2、注意事项：①过圆外一点的切线一定会有两条②若解方程∆=0只有一个解，说明另一解就是斜率k不存在例2过点作圆的切线，求切线的方程．预设：设切线的斜率为，则切线的方程为QUOTE𝑦−1=𝑘𝑥−2，即．由圆心到切线的距离等于圆的半径1，得QUOTE1−2𝑘𝑘2+1=1，解得或．因此，所求切线的方程为，或．师生：共同总结，1、几何法求圆外一点的切线方程：①设斜率k：分斜率“存在”与“不存在”两种情况讨论；②写方程：用点斜式写出直线的方程:y−y③算d和r：计算圆心到直线的距离d和圆的半径r；④列方程：利用∆=0建立方程，求出k，即可求得切线方程；2、注意事项：①过圆外一点的切线一定会有两条②②若解方程d=r只有一个解，说明另一解就是斜率k不存在例2过点作圆的切线，用两种方法求切线的方程．师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案；预设：法一：1°当切线的斜率不存在时，即切线的方程为,易知，直线与圆相切，符合题意；2°设切线的斜率为，则切线的方程为QUOTE𝑦−1=𝑘𝑥−2．因为直线与圆相切，所以方程组，只有一组解．消元，得．①因为方程①只有一组解，所以．解得．因此，所求切线的方程为，或．法二：1°当切线的斜率不存在时，即切线的方程为,易知，直线与圆相切，符合题意；2°设切线的斜率为，则切线的方程为QUOTE𝑦−1=𝑘𝑥−2，即由圆心到切线的距离等于圆的半径1，得QUOTE1−2𝑘𝑘2+1=1，解得．因此，所求切线的方程为，或．能力提升题型一：根据直线与圆的位置关系求参数（值）范围例题1已知直线方程,圆的方程.当m为何值时,直线与圆(1)有两个公共点;(2)只有一个公共点;(3)没有公共点?法一：将直线代入圆的方程,得,∴当,即时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点;当,即时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点;当,即时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.法二：已知圆的方程可化为(x2)2+(y1)2=4,即圆心为(2,1),半径r=2.圆心(2,1)到直线的距离.∴当,即时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点;当,即时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点;当,即时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.方法总结：根据直线与圆的位置关系求参数（值）范围代数法：联立直线与圆的方程，消元得到一元二次方程，利用∆>0（相交）、∆<0（相离）、∆=0（相切）建立不等式（方程）即可解出参数的范围（值）几何法：求圆心到直线的距离d和圆心半径r，利用d<r（相交）、d>r（相离）、d=r（相切）建立不等式（方程）即可解出参数的范围（值）题型二：求过圆上一点的圆的切线方程例题2已知过点P(2,2)的直线l与圆相切,求直线l的方程.法一：圆的圆心坐标，半径，又，所以，易知在圆上，且直线l与圆相切所以，所以所以，所求切线方程为：，即法二：圆的圆心坐标，半径，设过点的直线的斜率为，（1）当k不存在时，直线l为：，易知与圆不相切，不符合题意；（2）当k存在时，则直线方程，即，由于直线和圆相切，故，得，所以，所求切线方程为：，即方法总结:求过圆上一点P的圆C的切线方程法一：先判断点P在圆上，则点P为切点；然后用切点和圆心坐标，求直线PC的斜率；然后利用切线与直线PC垂直，求出切线斜率；最后用点斜式即可求切线方程.法二：设切线的斜率为k，点斜式写出切线方程，利用d=r（相切）建立方程，求出k的值，最后最后用点斜式即可求切线方程.注意：若方程无解，则说明切线斜率不存在.题型三：过圆内一定点动直线被圆截的最短弦长问题例题3已知圆，直线.求直线被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦长.预设：直线，可化为，联立解得故直线恒过定点.由，配方得，所以圆心，半径为，直线恒过定点，当直线时，直线被圆截得的弦长最短.因为直线的斜率为，故直线的斜率为，解得.此时圆心到直线的距离为，所以最短弦长为.方法总结：过圆内一定点动直线被圆截的最短、最长弦长问题先求动直线的定点坐标，若定点在圆内，则该动直线被圆截的弦长有最大值和最小值：最大值：当动直线同时过定点和圆心时，弦长最长，为直径；最小值：当定点为弦的中点时，即定点与圆心的连线与动直线垂直时弦长最短，结合垂径定理，构造直角三角形，勾股定理可求最短弦长.课堂小结随堂限时小练1．直线与圆的位置关系为（）A．相交且过圆心 B．相交且不过圆心C．相切 D．相离【详解】圆，即，其圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系为相切.故选：C2．若圆被直线平分，则（

）A．2 B． C． D．【详解】由题意得圆心在直线上，则，解得.选D.3．已知圆与直线交于，两点，则经过点，，三点的圆的标准方程为．【详解】联立直线和圆，解得，设圆的标准方程为，则有，解得，所以圆的标准方程为.4．已知圆，则圆在点处的切线方程为．【详解】因为点在圆上，又的圆心为，所以，易知，直线PC与所求切线垂直，所以所求切线的斜率为：，所以圆在点处的切线方程为，即．5．过点M（2，4）向圆引切线，求其切线的方程．【详解】由于（2－1）2＋（4＋3）2＝50>1，故点M在圆外．当切线斜率存在时，设切线方程是y－4＝k（x－2），即kx－y＋4－2k＝0，由于直线与圆相切，故，解得．所以切线方程为24x－7y－20＝0．又当切线斜率不存在时，直线x＝2与圆相切．综上所述，所求切线方程为24x－7y－20＝0或x＝2．6．直线与圆交于两点，则弦的长（

）A． B． C． D．【详解】设圆的圆心为，半径，因为到直线的距离，所以.7．已知直线与圆交于两点，若，则（

）A． B． C． D．【详解】圆的圆心，所以圆心到直线的距离为，则，而，所以，解得：.故选：A.已知直线与圆交于A,B两点，则当弦最短时，直线l的方程为（

）A． B． C． D．【详解】，所以直线恒过定点，，因为，所以点在圆内，所以当时，弦最短,设直线的斜率为，则,所以直线的方程为，即.故选：D.课后作业布置作业1：完成教材：第93页练习1,2,3作业2：配套辅导资料对应的《直线与圆的位置关系》课后作业答案练习（第93页）1．判断下列各组直线l与圆C的位置关系：（1），圆；（2），圆；（3），圆．解析：（1）圆的圆心坐标是，半径．所以圆心到直线的距离QUOTE．因为，所以直线与圆相交．（2）方程经过配方，得．所以圆心坐标是，半径．所以圆心到直线的距离．因为，所以直线QU