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文档简介
1/13.3.1函数的单调性与导数(周雪敏)一、教学目标1.核心素养通过学习函数的单调性与导数,培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算能力,并依据运算法则解决数学问题.2.学习目标(1)理解利用导数判断函数单调性的原理,掌握判断函数单调性的方法及步骤.(2)能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间.(3)能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推.3.学习重点1.函数的单调性与导数的关系.2.利用导数研究函数的单调性,会求函数单调区间.4.学习难点1.探究函数的单调性与导数的关系.2.如何用导数判断函数的单调性,特别是含有参数的函数的单调性及其应用.二、教学设计(一)课前设计1.预习任务任务1想一想:判断函数的单调性有哪些方法?比如判断的单调性,如何进行?有没有需要注意的地方?任务2阅读教材P89—P90,并观察下面函数的图像,想一想,下列函数的单调性如何?任务3计算以上四个函数的导函数,并说明导函数函数值的符号,观察函数的单调性与其导函数的正负间关系.任务4阅读教材P90—P93,找出疑惑之处.2.预习自测1.函数在(-∞,+∞)上()A.是增函数B.是减函数C.在(0,+∞)上增,在(-∞,0)上增D.在(0,+∞)上减,在(-∞,0)上增解:A在(-∞,+∞)上恒成立.2.函数的单调递减区间是.解:函数的定义域是,,∴函数的单调递减区间是.3.若函数是上的增函数,则实数的取值范围是.解:由已知可得在上恒成立,∴只需,解得.(二)课堂设计1.知识回顾(1)函数单调性的定义.(2)用定义证明函数的单调性的一般步骤.(3)判断函数单调性的方法.(4)基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则.2.问题探究问题探究一函数的单调性与其导函数符号的关系★活动一回顾旧知,回忆二次函数的单调性在初中,我们已经学习过二次函数的图像和性质,请作出二次函数的图像,结合图像得到该函数的单调性.抛物线的对称轴为,开口向上,函数在上单调递增,在上单调递减.再求出二次函数的导函数,可以发现,当时,;当时,.●活动二整合旧知,探求函数单调性与导数的关系,得到新知在抛物线对称轴的右边,任意取一些点,过这些点分别作出抛物线的切线,观察这些切线的斜率,它们有怎样的共同点?在抛物线对称轴的左边,任意取一些点,过这些点分别作出抛物线的切线,观察这些切线的斜率,它们又有怎样的共同点?函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系?函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性的关系是:在处,,切线是左下右上,函数在附近单调递增;在处,,切线是左上右下,函数在附近单调递减.函数的单调性可简单的认为是:若,则函数为增函数,可把看作,说明函数的变化率可以反映函数的单调性,即函数的导数与函数的单调性有着密切的联系.一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:在区间内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.想一想:如果在某个区间内恒有,那么函数有什么特性?如果在某个区间内,恒有函数的导数,则在这个区间上,函数是常数函数.注意:在某个区间内,若仅有有限个点所对应的导数值为0,则不能判断函数是常函数.问题探究二利用导数求函数的单调区间★●活动一阅读并理解教材P91—P92的例1与例2,归纳出利用导数求函数的单调区间的步骤.求解函数的单调区间,就是解不等式或,不等式的解集就是所求的单调区间,其步骤如下:(1)确定函数的定义域;(2)求导数;(3)解不等式,解集在定义域内的部分为增区间;(4)解不等式,解集在定义域内的部分为减区间.注意:①在利用导数讨论函数的单调性时,首先要确定函数的定义域,在定义域内,通过讨论导数的符号来判断函数的单调性.②如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,那么这些单调区间中间不能用“∪”连接,而只能用“,”隔开或用“和”字连接.③在对函数划分单调区间时,除了注意使导数等于零的点,还要注意在定义域内不连续的点和不可导的点.④区间端点可以属于单调区间,也可以不属于单调区间,对结论没有影响.●活动二初步运用,运用导数求函数的单调区间例1判断下列函数的的单调性,并求出单调区间:(1);(2),;(3);(4)【知识点:利用导数求函数的单调区间;数学思想:转化与化归】详解:(1)∵,∴由解得或;由解得,∴函数的增区间为,和;减区间为,.(2)当时,,∴在上是减函数,∴减区间为.(3)函数的定义域为,,令,即,解得,又,所以;令,即,解得,又,所以.所以的单调增区间为,单调减区间为.(4),由解得;由解得,∴函数的增区间为,减区间为.点拨:(1)求函数单调区间的步骤是:先确定定义域,再求,最后通过和来求出单调区间(2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,那么这些单调区间中间不能用“∪”连接,而只能用“,”隔开或用“和”字连接.例2证明函数在区间上是单调增函数.【知识点:导数法证明函数的单调性;数学思想:转化与化归】详解:因为,所以,又因为,所以,故,即函数在区间上是单调增函数.点拨:(1)利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性,实质上就是判断或证明不等式(或)在给定区间上恒成立.(2)如果出现个别点使,不影响函数在包含该点的某个区间内的单调性.活动三对比提升,求含有参数的函数的单调区间例3讨论函数的单调性.【知识点:导数法讨论函数的单调性;数学思想:分类讨论】详解:函数的定义域为,.当时,∵,∴,∴在上为增函数.当时,,∵,∴当时,;当时,.∴在上为减函数,在上为增函数.例4已知函数.若,讨论函数的单调性.【知识点:导数法讨论函数的单调性;数学思想:分类讨论】详解:定义域为,,当时,,在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增;当,令,解得或,①当时,在(0,1)和(,+∞)单调递减,在(1,)单调递增;③当时,在(0,+∞)单调递减;④当时,在(0,)和(1,+∞)单调递减,在(,1)单调递增.点拨:解析式中含有参数时,注意对参数进行讨论,分类讨论时首先要明确需要讨论的对象,再确定好分类标准,做到不重不漏.活动四根据函数的单调性求参数的范围结合函数的单调性,你能判断:在区间内可导,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减的逆命题成立吗?逆命题不成立,如在上是增函数,但,当时,,由此可见,(或)仅是在某个区间上为增函数(或减函数)的充分不必要条件,在区间内可导的函数在上递增(或递减)的充要条件应是(或)在恒成立,且在上的任意子区间内都不恒等于0,这就是说,函数在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有,甚至可以在无穷多个点处,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间.因此,在已知函数为增函数(或减函数)求参数的取值范围时,应令(或)恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解),然后检验参数的取值能否使恒等于0,若能恒等于0,则参数这个值应舍去,若不恒等于0,则由(或)恒成立解出的参数的取值范围确定.例5若函数在区间内为减函数,在区间内为增函数,试求实数的取值范围.【知识点:由函数单调性求参数范围;数学思想:转化与化归】详解:法1:,令,得,.∵在区间内为减函数,∴当时,;在区间内为增函数,∴当时,,∴,∴实数的取值范围为.法2:,∵在区间内为减函数,∴当时,;在区间内为增函数,∴当时,,∴,∴实数的取值范围为.法3:,∵在区间内为减函数,∴当时,恒成立,即恒成立,即,∴,∵在区间内为增函数,∴当时,恒成立,即恒成立,即,∴,综上:,∴实数的取值范围为.例6已知函数在定义域内为增函数,求实数的取值范围.【知识点:由函数单调性求参数范围;数学思想:转化与化归】详解:(法1)分离参数法函数的定义域为,,由题意得:在恒成立,即在恒成立,即,又,当且仅当时等号成立,∴,∴,∴实数的取值范围为.(法2)函数法函数的定义域为,,由题意得:在恒成立,即在恒成立,令,其图像开口向上,恒过定点(0,1),则只需或,解得,∴实数的取值范围为.点拨:(1)已知在区间上单调或在区间上恒成立.并检验参数的取值能否使恒等于0,若能恒等于0,则参数这个值应舍去,若不恒等于0,则由(或)恒成立解出的参数的取值范围确定.(2)分离参数法:将原不等式分离参数,转化为不含参数的函数的最值问题,但要注意分离参数法不是万能的,如果参数不易分离或分离参数后得出的函数解析式较为复杂,性质很难研究,就不要使用分离参数法.问题探究三函数值变化快慢与导数的关系活动一阅读教材P92—P93的例3,例3表明,通过函数图像,不仅可以看出函数的增减,还可以看出其变化的快慢,你能从导数的角度解释函数值变化快慢的情况吗?一般的,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化的快,这时,函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图像就“平缓”一些.7已知是的导函数,的图象如右图所示,则的图象只可能是()【知识点:函数单调性的判断】解:由图可以看出函数的图象是一个二次函数的图象,在与之间,导函数的值是先增大后减小,故在与之间,原函数图象切线的斜率是先增大后减小.故排除解A,B,C.故解为:D.考点:函数的单调性与导数的关系.3.课堂总结【知识梳理】数学知识:(1)函数的单调性与导数的关系;如何从导数的角度解释增减及增减快慢的情况.(2)求解函数单调区间的步骤:①确定函数的定义域(养成研究函数的性质从定义域出发的习惯);②求导数;③得结论:的解集在定义域内的部分为增区间;的解集在定义域内的部分为减区间.(3)已知函数在区间上的单调性,求参数的取值范围:若在区间上是增函数,则转化为在区间上恒成立;若在区间上是减函数,则转化为在区间上恒成立.然后检验参数的取值能否使恒等于0.数学思想:数形结合、分类讨论和转化思想.【重难点突破】(1)在某个区间内,()是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件,而不是必要条件.例如,函数在定义域上是增函数,但.(2)函数在内单调递增(减)的充要条件是在内恒成立,且在的任意子区间内都不恒等于0.这就是说,在区间内的个别点处有不影响函数在区间内的单调性.4.随堂检测1.函数f(x)=x-lnx的递增区间为()A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D.(0,+∞)【知识点:求函数的单调区间;数学思想:转化与化归】解:C函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-,令f′(x)>0,即1->0,∴<1,∴x>1,故选C.2.已知函数f(x)=x3+ax+4,则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【知识点:导数法讨论函数的单调性;数学思想:转化与化归】解:A=x2+a,当a≥0时,≥0恒成立,故“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.3.若函数f(x)=2x3-3mx2+6x在区间(2,+∞)上为增函数,则实数m的取值范围为()A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(-∞,)D.(-∞,]【知识点:由函数单调性求参数范围;数学思想:转化与化归】解:D∵=6x2-6mx+6,当x∈(2,+∞)时,≥0恒成立,即x2-mx+1≥0恒成立,∴m≤x+恒成立.令g(x)=x+,g′(x)=1-,∴当x>2时,g′(x)>0,即g(x)在(2,+∞)上单调递增,∴m≤2+=,故选D.4.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()A.(-∞,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+∞)【知识点:求函数的单调区间;数学思想:转化与化归】解:D函数f(x)=(x-3)ex的导数为.由函数导数与函数单调性的关系,得当时,函数单调递增,此时由不等式,解得.5.使为上的增函数的的取值范围是.【知识点:由函数单调性求参数范围;数学思想:转化与化归】解:只需在上恒成立,即在上恒成立,∴只需,又,∴.(三)课后作业基础型自主突破1.函数y=x2-lnx的单调减区间是()A.(0,1)B.(0,1)∪(-∞,-1)C.(-∞,1)D.(-∞,+∞)【知识点:求函数的单调区间;数学思想:转化与化归】解:A∵y=x2-lnx的定义域为(0,+∞),∴y′=x-,令y′<0,即x-<0,解得:0<x<1或x<-1.又∵x>0,∴0<x<1,故选A.2.函数f(x)=x3+ax2+bx+c,其中a,b,c为实数,当a2-3b<0时,f(x)是()A.增函数B.减函数C.常数D.既不是增函数也不是减函数【知识点:函数单调性的判断;数学思想:转化与化归】解:A求函数的导函数f′(x)=3x2+2ax+b,导函数对应方程f′(x)=0的Δ=4(a2-3b)<0,所以f′(x)>0恒成立,故f(x)是增函数.3.下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是()A.y=sinxB.y=xe2C.y=x3-xD.y=lnx-x【知识点:函数单调性的判断;数学思想:转化与化归】解:B显然y=sinx在(0,+∞)上既有增又有减,故排除A;对于函数y=xe2,因e2为大于零的常数,不用求导就知y=xe2在(0,+∞)内为增函数;对于C,y′=3x2-1=3(x+)(x-),故函数在(-∞,-),(,+∞)上为增函数,在(-,)上为减函数;对于D,y′=-1(x>0).故函数在(1,+∞)上为减函数,在(0,1)上为增函数.故选B.4.函数y=f(x)在其定义域内可导,其图象如图所示,记y=f(x)的导函数为y=,则不等式≤0的解集为________.【知识点:函数的单调性与导数符号的关系;数学思想:转化与化归】解:∪[2,3)函数y=f(x)为减函数的区间,反映在图象上图象是下降的.5.设f(x)=ax3+x恰好有三个单调区间,则实数a的取值范围为.【知识点:由函数单调性求参数范围;数学思想:转化与化归】解:(-∞,0)∵f′(x)=3ax2+1,且f(x)有三个单调区间,∴方程f′(x)=3ax2+1=0有两个不等的实根,∴Δ=02-4×1×3a>0,∴a<0∴a的取值范围为(-∞,0).6.已知函数f(x)=x3+ax+8的单调递减区间为(-5,5),则函数y=f(x)的递增区间是.【知识点:求函数的单调区间;数学思想:转化与化归】解:(-∞,-5)和(5,+∞)=3x2+a.∵(-5,5)是函数y=f(x)的单调递减区间,则-5,5是方程3x2+a=0的根,∴a=-75.此时=3x2-75,令>0,则3x2-75>0,解得x>5或x<-5,∴函数y=f(x)的单调递增区间为(-∞,-5)和(5,+∞).7.已知函数f(x)=x2+(x≠0,常数a∈R).若函数f(x)在x∈[2,+∞)上是单调递增的,求a的取值范围.【知识点:由函数单调性求参数范围;数学思想:转化与化归】解:(-∞,16].要使在[2,+∞)上是单调递增的,则在[2,+∞)时恒成立,即在[2,+∞)时恒成立.∵,∴,∴在[2,+∞)上恒成立.∴.∵[2,+∞),是单调递增的,∴,∴.当时,([2,+∞))有且只有,∴的取值范围是(-∞,16].能力型师生共研8.已知在上为单调函数,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【知识点:由函数单调性求参数范围;数学思想:转化与化归】解:A,若为增函数,恒成立,则,又,所以,同理若为减函数,恒成立则,娵.综上.故选A.9.设f(x),g(x)在[a,b]上可导,且,则当a<x<b时,有()A.f(x)>g(x)B.f(x)<g(x)C.f(x)+g(a)>g(x)+f(a)D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b)【知识点:函数的单调性;数学思想:函数与方程】解:C∵,∴(f(x)-g(x))′>0,∴f(x)-g(x)在[a,b]上是增函数,∴当a<x<b时f(x)-g(x)>f(a)-g(a),∴f(x)+g(a)>g(x)+f(a).10.已知函数是定义在R上的奇函数,,当时,有成立,则不等式的解集是()A.B.C.D.【知识点:函数的单调性;数学思想:数形结合】解:A构造函数,,则,,∴是上过点(1,0)的增函数,∴当时,,从而则不等式的解集是得到;当时,,从而得到.由于函数是定义在R上的奇函数,所以.11.若,则()A.B.C.D.【知识点:函数的单调性;数学思想:函数与方程】解:C构造函数,则,故在上单调递减,故,∴,故选C.12.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象经过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0.(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)求函数y=f(x)的单调区间.【知识点:导数的几何意义,求函数的单调区间;数学思想:转化与化归】解:(1)f(x)=x3-3x2-3x+2.(2)增区间为(-∞,1-)和(1+,+∞),递减区间为(1-,1+).(1)由y=f(x)的图象经过点P(0,2),知d=2,∴f(x)=x3+bx2+cx+2,(x)=3x2+2bx+c.由函数图像在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0,知-6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1,(-1)=6.∴,即解得b=c=-3.故所求的解析式是f(x)=x3-3x2-3x+2.(2)(x)=3x2-6x-3.令(x)>0,得x<1-或x>1+;令(x)<0,得1-<x<1+.故f(x)=x3-3x2-3x+2的单调递增区间为(-∞,1-)和(1+,+∞),单调递减区间为(1-,1+).13.若函数f(x)=x2+ax+在(,+∞)是增函数,求实数a的取值范围.【知识点:由函数单调性求参数范围;数学思想:转化与化归】解:[3,+∞)因为f(x)=x2+ax+在(,+∞)上是增函数,故(x)=2x+a-≥0在(,+∞)上恒成立,即a≥-2x在(,+∞)上恒成立.令h(x)=-2x,则(x)=--2,当x∈(,+∞)时,(x)<0,则h(x)为减函数,所以h(x)<h()=3.所以a≥3.探究型多维突破14.已知函数.(Ⅰ)当时,求曲线在处的切线方程;(Ⅱ)若当时,,求的取值范围.【知识点:导数的几何意义,函数的单调性;数学思想:分类讨论】解:(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅰ)的定义域为.当时,,所以曲线在处的切线方程为(Ⅱ)当时,等价于令,则,当,时,,故在上单调递增,因此;当时,令得,由和得,故当时,,在单调递减,因此.综上,的取值范围是15.已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)若恒成立,试确定实数的取值范围;(3)证明:.【知识点:利用函数的单调性求参数的范围和证明不等式;数学思想:分类讨论】解:(1)当时,在上是增函数,当时,在上是增函数,在上是减函数;(2);(3)证明见解析.(1)函数的定义域为,,当时,,在上是增函数;当时,若时,有,若时,有,则在上是增函数,在上是减函数.(2)由(1)知时,在上是增函数,而,不成立,故,又由(1)知的最大值为,要使恒成立,则即可.,即,得.(3)由(2)知,当时有在恒成立,且在上是减函数,,即,在上恒成立,令,则,即,从而,∴得证.16.已知函数,.(1)当时,求的单调区间;(2)令,求函数的单调减区间;【知识点:求函数的单调区间;数学思想:分类讨论】解:(1)的增区间是,减区间是(2)当,的单调减区间为;当时,的单调减区间为;当时,的单调减区间为;当时,的单调减区间为(1)当时,,故,当时,,单调递增;当时,,单调递减;∴的增区间是,减区间是.(2),令得,若,由得,∴的单调减区间为;若,①当时,,由得,或,所以的单调减区间为;②当时,总有,故的单调减区间为;③当时,,由得,或,所以的单调减区间为;综上所述,当,的单调减区间为;当时,的单调减区间为;当时,的单调减区间为;当时,的单调减区间为(四)自助餐1.函数f(x)=x+lnx在(0,6)上是()A.单调增函数B.单调减函数C.在上是减函数,在上是增函数D.在上是增函数,在上是减函数【知识点:函数单调性的判断;数学思想:转化与化归】解:A∵(x)=1+>0,∴函数在(0,6)上单调递增.2.(x)是函数y=f(x)的导函数,若y=(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()【知识点:函数单调性与导数的关系;数学思想:转化与化归】解:D由导函数的图象可知,当x<0时,(x)>0,即函数f(x)为增函数;当0<x<2时,(x)<0,即f(x)为减函数;当x>2时,(x)>0,即函数f(x)为增函数.观察选项易知D正确.3.如果函数f(x)的图象如图,那么导函数y=(x)的图象可能是()【知识点:函数单调性与导数的关系;数学思想:转化与化归】解:A由f(x)与(x)关系可选A.4.设函数,则的单调减区间为()A.B.C.D.【知识点:求函数的单调区间,函数图像的平移;数学思想:转化与化归】解:B由可得,∴的单调减区间为.5.设在内单调递增,,则是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【知识点:充要条件,函数的单调性求参数的范围;数学思想:转化与化归】解:B由题意得,∵在(0,+∞)内单调递增,∴≥0,即在定义域内恒成立,由于,当且仅当,即时等号成立,故对任意的x∈(0,+∞),必有不能得出,但当时,必有成立,即在上成立,∴不是的充分条件,是的必要条件,即是的必要不充分条件.6.若函数,,则()A.B.C.D.【知识点:函数的单调性比较大小;数学思想:转化与化归】解:A因为,当时,,所以在上是减函
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