等差数列-2021年高考数列专题终极突破（解析版）

专题02：等差数列-2021年高考数列专题终极突破(全国通用)

一、单选题

1.(2021•山西太原市•高三一模(理))己知｛q｝是各项均为正数的等比数列，其前〃项和为S“，且｛S“｝是

等差数列，给出以下结论：

①｛《,+SJ是等差数列；②｛4•£,｝是等比数列；

③｛叫是等差数列；④,手｝是等比数列.

则其中正确结论的个数为()

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

［分析］根据2s2=H+§3可求得%=%，从而确定数列｛为｝的公比为1，则4=4>0,根据等差和等

比数列的定义式依次判断各个选项即可得到结论.

【解答】•.•⑸｝是等差数列，...2S2=S1+S3，即2(%+4)=4+/+。2+。3，整理得：%=%，

•••｛4,｝是各项均为正数的等比数列，二公比4=5=1，，。“=4>0；

。2

对于①，an+Sll-ai+nai=(n+l)a,,。，用+S“+|=q+(〃+l)4=(A+2)4,

••・3+I+S.M)—(4+S〃)=4,

，数列｛q,+S,｝是以2q为首项，％为公差的等差数列，①正确；

对于②，a“■S“=4/1•=na；,^n+\'^n+\=4,(〃+1)4=(〃+*

,一不是不为零的常数'二数列｛a，jS,｝不是等比数列，②错误;

对于③,％,a；+i=a；+i—a；=0,

数列｛a；｝是首项为生,公差d=O的等差数列，③正确；

S”+i

对于④，鼠=%=%,'==又4>。，.•.娱=1,

nn〃+1〃+13〃

n

是以4为首项，1为公比的等比数列，④正确.

故选：B.

【点评】本题考查等差和等比数列的判定问题，判断数列为等差或等比的思路是验证数列前后项满足等差

和等比数列的定义式，即若a用一4=d(〃GN*),则数列｛a,,｝为等差数列；若皿=q(q于O,nwN"),

则数列｛《,｝为等比数列.

2.(2021•浙江绍兴市•高三三模)已知四面体ABC。，分别在棱A。，BD，上取〃+1(〃eN*,"23)

等分点，形成点列｛4｝，｛纥｝，｛G｝，过4，4，Q(左=1,2,…力作四面体的截面，记该截面的面

积为则()

A.数列｛MJ为等差数列B.数列｛MJ为等比数列

c.数列｛筌，为等差数列

D.数列为等比数列

【答案】C

【分析】设他=a，CD=b,A3与CO所成角为6,根据平行关系可利用〃，攵，。力表示出4纥,4G，

M

根据面积公式得到,进而得到学；利用等差数列和等比数列的定义依次判断各个选项中的数列是否满

足定义，由此得到结果.

【解答】设CD=b，AB与CO所成角为。，

由题意可知：\Bk//AB,BkCk//CD,

根据平行线分线段成比例可知：4修=1-占卜

a,BkCk=b,

〃+l

(n-\-\-k\k

M=4瓦-BCsin0=----------absin0,

kkk(〃+1)

(〃+1-攵-1)(2+1)-(〃+1—%)攵M—7k

对于A,M八1一M卜absin0=-------z-ahsinO,

(〃+l)2

则用八1一%不恒等于常数，则数列｛MJ恒为等差数列不成立，A错误;

ahsin0

对于B,竺

M.(九+1-k)2

(〃+l一半时sin。

(〃+l)

M.+.（、

不恒等于不为零的常数，则数列｛MJ恒为等比数列不成立，B错误;

M女n-bl-k

对于C,Hsin。,

k〃+1)2

MTMkn+\-k-\

则absin0---absin3=------7absme

k+1k〃+1)~(〃+1)〃+l)-

M

即——恒为常数，，Mk＞为等差数列,C正确;

Z+lk

n+l-k-1

absin0

("if

n-k然•不恒等于不为零的常数,

对于D,置---------二—即

〃+1—左Msinen+\-k以

k/1+1)2k

M

则数列恒为等比数列不成立，D错误.

故选：C.

【点评】本题考查等差数列和等比数列的判定，证明数列是等差或等比数列的基本思路是利用等差或等比

数列的定义式来进行证明.

3.（2021•陕西高三三模（文））已知数列｛4｝满足：对任意”？、〃WN*，都有4,一%=2（〃一利）成立,

且前8项和为0.则该数列的首项卬=（

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】令机=1可得4=4+2-2”，推导出数列｛4｝为等差数列，然后利用等差数列的求和公式可得

关于4的等式，由此可求得力的值.

【解答】令川=1可得4一%=2（〃-1）=2〃-2,所以，an=a1+2-2n,

所以，-a”=[q+2—+（4+2—2〃）=—2,

所以，数列｛4｝为等差数列，

所以，数列｛q｝的前8项和为S8=N&，^=4（4+q—14）=8（a「7）=0,解得4=7.

故选：C.

【点评】等差数列的三种判定方法：

（1）定义法：a“+「a”=d（常数）（〃eN*）o数列｛4｝为等差数列；

（2）等差中项法：2aM=%+凡+2（〃6叱）=数列｛叫为等差数列；

（3）通项公式法：an=an+b（a、b为常数,〃eN*）。数列｛4｝为等差数列.

但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.

4.（2021•峨山彝族自治县第一中学高三三模（理））己知等差数列｛4,｝的前〃项和为S“，且S;>S8，

Ss=S9<Sl0，则下面结论错误的是（）

A.CI9=0B.S[5>S]4

C.d<0D.Sg与S9均为S”的最小值

【答案】c

【分析】根据4=5,12）推导出4<0,“9=0,4。>0,结合等差数列的单调性与求和公式判

断可得出合适的选项.

【解答】对于A选项，由S8=Sg可得名=5-58=0,A选项正确；

对于C选项，由57>58可得。8=58-57<0,；"=49—。8>0,C选项错误;

对于D选项，由S10>$9可得％o=So-§9>0,且“9=0,。8<°，d>0，

所以，当〃W8且〃WN*时，«„<0,且为=0,则与品均为s“的最小值，D选项正确；

对于B选项，；a9=0，d>0•当〃210时，怎>〃9=。，

所以，515-Sl4=al5>0,B选项正确.

故选：C.

【点评】在等差数列中，求5“的最小（大）值的方法：

（1）利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第-项起到分界点到该项的各项和为最大（小）；

（2）借助二次函数的图象及性质求最值.

5.（2021•吉林吉林市♦高三三模（文））《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊

蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三

个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，今年3月20日17时37分为春分时节，

其日影长为（）

A.4.5尺B.3.5尺C.2.5尺D.1.5尺

【答案】A

【分析】由题意构造等差数列{4},设公差为d,利用基本量代换求出通项公式，然后求％.

【解答】小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构

成等差数列{4},设公差为乩由题意得：

q+%+%=28.5

%。+%+%=L5

cu—10.5

解得：\।

d--\

所以%=q+（〃-l）d=l1.5—

所以%=11.5—7=4.5,

即春分时节的日影长为4.5.

故选：A

【点评】（1）数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：

求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语

言转化成数学语言，建立相应的数学模型；

(2)等差(比)数列问题解决的基本方法：基本量代换.

6.(2021.河南平顶山市.高三二模(理))已知各项均为正数的等比数列｛4｝,a6,3为，叫成等差数列，

若｛4｝中存在两项4”，an,使得4q为其等比中项，则一+一的最小值为()

mn

23

A.4B.9C.-D.-

32

【答案】D

【分析】根据R，3%，％成等差数列，可得2x3%=4+%，即可求得g值，根据4%为%,。“的等

比中项，可求得加+〃=6,利用基本不等式“1”的活用，即可求得答案.

【解答】因为4，3%，%成等差数列，所以2x3%=4+%，

又｛%｝为各项均为正数的等比数列，设首项为q，公比为g,

所以601g4+qq6,所以q2+q-6=0，

解得q=2或“=一3(舍)，

又4%为明,。“的等比中项,

所以(4%门=amxa„,

所以16a,2=qx2m-'x«,x2n-l=a~x2m+n-2=24x«,2,

所以〃z+〃-2=4,即=6,

一141,、C4)4加〃八1(c[4m7i3

所以一+—=—(m+n)x——F—=—1+---1---F4>—5+2,——x—=一，

mn6\mn)6\nm)6、nmJ2

4/77n

当且仅当——=—,即6=2,〃=4时，等号成立，

nm

143

所以一+一的最小值为一.

mn2

故选：D

【点评】解题的关键是熟练掌握等差中项、等比中项、基本不等式等知识，并灵活应用，数列中应用基本

不等式时，应注意取等条件，即角标小，〃必须为正整数，属中档题.

、3。吁2,an1

7.（2021•山西高三一模（理））已知数列｛r%｝中4=1,4=一，对于几・3,且〃wN,有/=_

7〃一2—an-\

D*

若“2021=j（PMGN，且〃国互质），则〃+4等于（）

A.8089B.8088C.8087D.8086

【答案】D

ata.I

【分析】对为=c的两边取倒数,利用等差中项的结论可得数列《一卜为等差数列，利用己知条

2«„_21%J

件求出首项和公差，即可得出数列。”的通项公式，求出4021，即可得出结果.

an2•41

【解答】对a“=c-"的两边取倒数,

2an_2-an_}

故数列为等差数列,

其首项'=1,

114

公差为§

1,4,八4n-l3

收一=1+一(〃-1)=-------,an----

an33"4/7-1

〒曰3

]?^202l=8083'

所以p+g=3+8083=8086.

故选：D.

【点评】对见=c•a”।的两边取倒数,利用等差中项的结论得到数列《一1卜为等差数列是解决本题的

Za„-2~an-\[%.

关健.

8.（202「广西钦州市・高三二模（理））等差数列｛4｝的前〃项和为5“，当首项4和公差4变化时，4+。8+%0

是一个定值，则下列选项中为定值的是（）

A.S7B.SgC.S3D.S15

【答案】C

【分析】通过数列的通项得到的是一个定值，即得解.

【解答】由等差数列的通项公式可得：a,+4+/=34+18d=3（q+6d）=3%是一个定值，

所以的是一个定值，

所以耳3=13（4产）=13%为一个定值，

故选：C.

【点评】解答本题的关键是通过通项分析%+《+%0是一个定值，得到的是一个定值.

9.（2021.全国高三专题练习（理））记S”为数列｛4｝的前项和，已知点（〃,4）在直线y=10—2x上，若有

且只有两个正整数n满足S„>k,则实数k的取值范围是（）

A.（8,14]B.（14,18]

Q1

C.（18,201D.（18,—]

4

【答案】C

【分析】由己知可得数列｛《,｝为等差数列，首项为8,公差为-2,由等差数列的前〃项和公式可得

S„=-n2+9n,由二次函数的性质可得〃=4或5时，5,取得最大值为20,根据题意，结合二次函数的图

象与性质即可求得k的取值范围.

【解答】由己知可得见=10-2//,

由%—4一=-2,所以数列｛《,｝为等差数列，首项为8,公差为-2，

所以=8"+△"T）x（-2）=-/+9n,

2

当”=4或5时，Sn取得最大值为20,

因为有且只有两个正整数n满足S.>k,

所以满足条件的〃=4和〃=5，

因为S3=§6=18,

所以实数人的取值范围是（18,20].

故选：C.

【点评】最值范围问题常用的方法有：（1）函数单调性法；（2）数形结合法；（3）导数法：（4）基本不等

式法.要根据已知灵活选择合适的方法求解.

10.（2021•全国高三专题练习（理）（文））我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马

和鸳马发长安至齐，良马初日行一百零三里，日增十三里；驾马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐,

复还迎弩马，九日后二马相逢.问：齐去长安多少里？（）

A.1125B.1250C.2250D.2500

【答案】A

【分析】由题意可知，良马每日行的距离｛4｝以及驾马每日行的距离｛2｝均为等差数列，确定这两个数列

的首项和公差，利用等差数列的求和公式可求得结果.

【解答】由题意可知，良马每日行的距离成等差数列，记为｛4｝，其中q=103,公差4=13.

驾马每II行的距离成等差数列，记为｛〃,｝,其中么=97,公差4=-05

设长安至齐为x里，则a]+a2^---+4+^4------卜力9=2X,

GP2x=103x9+9X8X13+97X9-9X8X°5=2250,解得x=1125.

22

故选：A.

【点评】解本题的关键在于得出长安至齐的距离等于良马和鸳马九11所行的距离之和的2倍，并结合题意

得知两匹马所行的距离成等差数列，解题时要充分抓住题中信息进行分析，将实际问题转化为数学问题来

求解.

二、多选题

11.（2021•山东高三专题练习）已知等差数列｛q｝的前〃项和为S“，若4=31,S10=210,则（)

A.$9=19%

B.数列｛2%｝是公比为8的等比数列

C.若二=（-1）"・4,则数列｛a｝的前2020项和为4040

,1，则数列｛仇｝的前2020项和为黑^

D.若仇=-----

anan+\

【答案】CD

【分析】由等差数列性质可判断A；结合已知条件可求出等差数列的公差，从而可求出通项公式以及2期，

结合等比数列的定义可判断B；写出4，由定义写出4）2。的表达式，进行分组求和即可判断C；

裂项相消即可求和.

4〃+3

%=4+7d=31

【解答】由等差数列的性质可知，£9=19%），故A错误;设｛a,J的公差为d,则有，

S〔o—1Oq+45d=210

解得q=3,d=4,故a“=4〃-1,2%=2即1，

则数列｛23｝是公比为28的等比数列，故B错误；若"=(-1)”.《,=㈠)",

则｛2｝的前2020项金2c=-3+7-11+15-…+8079=4x1010=4040,故C正确；

若"=（4〃一1；4〃+3）TA丁/｝则也｝的前2020项和

「」仕_1+」_2_++□_____1)2020

2020-4U-7+7-n+-+8079-8083j-24249故O正确.

故选:CD.

【点评】方法点睛：

求数列的前〃项和常见思路有：1、对于等差和等比数列，直接结合求和公式求解；2、等差数列士等比数

列时，常采取分组求和法；3、等差数列x等比数列时，常采取错位相减法；4、裂项相消法.

12.（2021•全国高三专题练习（理））已知数列｛4｝的前〃项和为S“，则下列说法正确的是（）

A.若S„=n2-1,则｛q｝是等差数列

B.若S“=2"-1,则｛凡｝是等比数列

C.若｛q｝是等差数列，则S99=9960

D.若｛4｝是等比数列,且4>0国>0,则S2,IS,,+|>S2.2

【答案】BC

【分析】由S,,求见,根据通项公式可判断AB是否正确，由等差数列的性质可判断C,取〃=1时，结合

等比数列求和公式作差比较S3与S；大小即可判断D.

【解答】对于A选项，若S“=”2-i,当〃22时，q=0不满足4=2〃-1,故A错误；

S_s—2"一］〃>2

对于B选项，若5“=2"-1,则见=("一"T二，一，由于q=1满足a“=2"T,所以｛4,｝是等

S1=1,7?=1

比数列，故B正确；

对于C选项，若｛叫是等差数列，则%=处詈»=99%0,故c正确.

对于D选项，当”=1时，S「S3-S；=q2(l+q+/)_a；(l+q)2=_a；q<0,故当〃=1时不等式不等

式，故邑,一「S?用〉邑J不成立，所以D错误.

故选：BC

【点评】本题考查数列的前”项和为S"与。”之间的关系，等差数列的性质，等比数列的前n项和为S”的

公式等，考查运算求解能力.本题D选项解题的关键将问题特殊化，讨论〃=1时，&•S3与S；大小情况.此

外还需注意一下公式：an=\";；若｛4｝是等差数列，则$2,1=(2〃—1)4.

13.(2021.全国高三其他模拟)下列说法正确的是()

A.若｛4｝为等差数列，S.为其前〃项和，则》，S2k-Sk,%-52«一..仍为等差数列卜6叱)

B.若｛4｝为等比数列，S“为其前”项和，则SQS2k-Sk,S3*—S”，…仍为等比数列(％eN*)

C.若｛4｝为等差数列，4〉0,d<0,则前〃项和S“有最大值

D.若数列｛4｝满足/La；-5%+9吗=4,则±+七+L+七<l

v<|4“°LL4J

【答案】ACD

【分析】根据等差数列的定义，可判定A正确；当q=T时，取&=2,得到$2=0,可判定B错误；根

据等差数列的性质，可判定C正确：化简得到一-=------------利用裂项法，可判定O正确.

4,-2%-3%-3

【解答】对于A中，设数列｛《,｝的公差为d,

因为耳=q+4+…+4，S2k-Sk=aM+ak,2+L+a2k,S3k-S2k=^,+1+a,,+2+L+a3k,…，

可得($2*—Sj—&=(S“—S”)—(S2「Sj=L=HdgN*),

所以S*,5,,-5,,S3+-S2*,…构成等差数列，故A正确；

对于8中，设数列｛叫的公比为4(4。())，

当q=-l时，取女=2,此时§2=q+々=0,此时不成等比数列，故8错误；

对于C中，当4〉0,d<0时，等差数列为递减数列，

此时所有正数项的和为S”的最大值，故C正确；

对于力中，由6+1=4-54+9,可得%-3=a；-5a“+6=(a“-2).(a.-3),

所以4尸2或忠工3,

-----------=1-------

4-3an+x-3alt+l-3

，111

因为4=4,所以J=a;一5%+9>a“，可得4+1>4,所以1----二<1，故。正确.

故选：ACD

【点评】由〃向="；-5”“+9,得到%+「3=*—5%+6=(%一2>(4,-3),进而得出

结合“裂项法”求解是解答本题的难点和关键.

14.(2021.全国高三其他模拟)已知数列｛%｝为递增的等差数列，其公差为4,前〃项和为S“.若2%=%，

则下列说法正确的是()

A.J>0B.S7=S8>0

C.仅S’为S”的最小值D.S“>0时〃的最小正整数为16

【答案】AD

【分析】根据条件可知d>0,并且可知能=0,判断AB选项，根据《=0,利用正负项的分界，判断c

选项，利用4=0,可知15=0,判断D选项.

【解答】本题考查等差数列的概念、性质及前〃项和的应用.

2a5=a,n2tz,+8t/=al+</^>al+76/=0=>a8=0.

•••｛4｝为递增数列，••"〉（），故A选项正确；

iZ>0'/=0,，S7=$8<。，故B选项不正确；

•••J>0,%=0，，S7=S8同为S”的最小值，故C选项不正确;

•••4=0，55=15/=。，...使Sa>0的〃的最小正整数为16,故D选项正确.

故选：AD.

【点评】本题考查等差数列的通项和前几项和的最值，关键是求得用=0,根据正负项的分界，判断选项.

15.（2021•江苏高三其他模拟）已知数列｛。"｝,｛2｝均为等比数列，则下列结论中一定正确的有（）

A.数列｛。,力“｝是等比数列B.数列｛4+2｝是等比数列

C.数列"g是等差数列D.数列｛lg（a），）｝是等差数列

【答案】ACD

【分析】根据等比数列和等差数列的定义或通项公式判断.

［解答］设数列｛4｝的公比为小，数列也｝的公比为%,所以。“=,bn=如丁.

对于A,=a占4'-1餐,从而数列｛/〃,｝的公比为［%，故A正确.

对于B,,%与生不一定相等，所以数列｛4+4｝不是等比数列，故B错误.

=馆旦+(〃-1)怆念从而数列Mg%I的公差为1g

对于C,%.故C正确.

q%an

对于D,lg（a,芯）=21g|a也|=21g|a闵+,从而数列｛lg（"；b；）｝的公差为2囿0%|,D

正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查等差数列和等比数列的判断.掌握等差数列和等比数列的定义是关键.判断方法有：（1）

定义法；（2）通项公式法；（3）等差中项、等比中项法；（2）前.〃项和公式.特别注意等比数列中各项均

不为0.

三、填空题

16.（202L贵州毕节市•高三三模（理））已知公比为q的等比数列｛4｝的前〃项和为S“，公差为d的等差

数列也｝的前"项和为T“，且S“+7；=2"M+〃2—2,则:的值为.

【答案】1

【分析】将5,7；分别用前〃项和表示，然后根据等式的特征，可得|q=2，再解方程即可.

-=1

2

【解答】令等比数列的首项为外,等差数列的首项为4,

所以

。„a.(l-q")rr,..d、-a,„rr,,d+-^-=2"+,+n2-2=2-2n+n2-2

S，，+Z，=^Z^+万人他-5)〃==4+5"Sz「耳

1一夕

4=2

所以，q=2=>

d=2

-=1

2

因此q=1.

d

故答案为：1.

【点评】解决本题的关键是运用等比数列及等差数列的前〃项和公式，然后建立方程组.

17.（2021.江西九江市.高三三模（理））已知正项数列｛4｝的前〃项和为S,,q=l,且

S,+S,i=q：（〃22）,设］=（T）（24+1）,则数列也｝前〃项和的取值范围为________.

S"

【答案】—

［分析］根据s“,an之间关系可得数列｛q｝为等差数列并得到an,然后得到bn,根据裂项相消可得数列

｛〃｝前〃项和，最后进行判断即可.

【解答】由S”+%=［①,则5n+1+S.=吃②

②-①化筒可得：（见+1_4,-1）（。"+1+。"）=0，又。“〉0，所以。“+1一。“=1（〃22）

当〃=2时，S2+5,=a；nq+%+q=%。n4=2

所以外-4=1符号用一4=1,故数列｛an｝是首项为1,公差为1的等差数列

所以4,=〃，则S„=（"叫"

2

2（-l）n-（2n+l）=2（叫卜1

所以仇=

〃+1

令设数列｛d｝前"项和7“

：+（一1）".1

"22334'）〃+1

-1—-1,“为偶数

所以4=〃+1,

-1-------,〃为奇数

〃+1

112

当〃为偶数时，Tn=-------1,则7；4二一1二-7且7；＞—1

〃+133

113

当〃为奇数时，T=---------1,则（之——1=一一目工,＜一1

n〃+122

综上所述：Tne

故答案为：一刁,_］卜［_1,一'1

【点评】解决本题的关键有两点，第一求得％=〃，第二求得”=2（-1）”（'+」二］.

\nn+\）

18.（2021.长沙市.湖南师大附中高三二模）已知数列｛风｝中，ay,且a“a,i+l=2a,i，数列也｝满

足bn=1J,则也｝的通项公式是b„=.

…r10

【答案】n-----

3

【分析】根据已知，利用作差法求％一勿_1易判断｛々｝为等差数列，写出通项公式即可.

【解答】anan^+1=2tz„_l,

.h_h=!!==1

""I4「Ian-\-1（凡-1）（41-1）+1一”"T-%an-\~an

417

又a=一,则4L=---7=-r-

7%-13

7

...数列｛2｝是首项为-（，公差为1的等差数列，

,7,10

:・b,,=---Fn-1=n------.

〃33

故答案为：n-----.

3

【点评】应用作差的方法求么一勿一，判断数列的性质，进而求通项.

,、Ihhb/

19.（2021•安徽高三三模（理））已知数列｛〃〃｝满足：q=l,4=一，一+—+…+—n=--+6（〃22

34。2%an-\

,为奇数

且〃EN+）,等比数列也｝公比4=2,令,则数列｛5｝的前〃项和§2“=.

如〃为偶数

4n+1-4

【答案】2"—九+

3

【分析】依据题意可得4,然后依据公式可得勾，然后根据递推关系可得数列,」为等差数列，进步

IAJ

得出最后分组求和可得结果.

1b.b,b,b_..

【解答】因为q=l,。，=一，一+=+…+—=nJ+6（〃22且“eN+）,①

-3«„%-1

可得〃=2时，1+二=-i+6,即4+3伍=a+6,

%a24

由等比数列的低｝的公比为4=2,

即4+6bl=44+6,解得4=2,

所以2=2",

当〃=3时，—+—+—=—+6,即2+3x4+刍=3x16+6,

a

qa2。3i/

解得生=；，

又+…+^±=_^_+6(〃N3且“eN+),(2)

a\"2an-ian-2

g与-r/口b“_仇+1b”

①-②可得，—-----------，

an4,1an-2

2"2n+12"11

即一=----------,化为一+----=

aaa

„a,ia吁2"'-2

又一+—=6=—,

a,a3a,

[11,11.

所以数列《一卜为等差数列，且公差△=------=2,

a„4«i

则—=—+2(〃—1)=2n—1,

an4

为奇数

2"/为偶数

所以$2“=1+2?+5+2"+…+(4〃-3)+2?”

=(1+5+…+4〃-3)+02+24+…+22")

_w(l+4n-3)40-4")

-2+1-4

4M+1-4

故答案为：2/一〃+-------

3

【点评】得出an,bn的公式是解决本题的关键，同时熟练分组求和的方法.

20.（2021•曲靖市第二中学高三二模（文））已知数列｛可｝的前〃项和为满足2S,,=〃2+〃（〃GN*）,

设bn=（一1）”为包一，则数列｛4｝的前2021项和石021

an'an+i

2023

【答案】

2022

【分析】利用4=S,—S,T5N2）求得/,注意得出"后，用裂项相消法求和7202.

2

【解答】因为25“=/+〃，所以s,

〃22时，an=Sn-S,i=-------------------

4=5=?=1也适合上式，所以4=〃，

二(-1)"(2〃+1)1

b=(-1)"(-+），

n〃+1

所以，02]=一([)+(1)-(1)+・••+(---------1--------)---------1----------=-1-------------=-----------

20212233420202021(20212022)20222022

2023

故答案为:

2022

【点评】本题考查由前〃项和S“求通项公式，裂项相消法求和.数列求和的常用方法:

设数列｛%｝是等差数列，｛2｝是等比数列,

（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；

（2）错位相减法：数列｛a/.｝的前〃项和应用错位相减法；

（3）裂项相消法；数列｛—^｝（我为常数，4#0）的前〃项和用裂项相消法；

（4）分组（并项）求和法：数列｛pa“+q〃J用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能

用并项求和法；

（5）倒序相加法：满足%,+%”,“=A（A为常数）的数列，需用倒序相加法求和.

21.（2021.江西高三二模（文））AABC中角A、B、。所对的边分别为a、b、c,a+2c=2bcosA,

若AABC的周长为15,且三边的长成等差数列，则AABC的面积为.

【答案】在®

4

【分析】利用余弦定理可求得9058=-4，可求得角5的值，然后设a<c,可得出a+〃=2c,利用三角

2

形的周长可求得c=5,结合余弦定理得出关于。、力的方程组，解出这两个量的值，再结合三角形的面积

公式可求得结果.

人242_2^2,2_2

【解答】・・・〃+2c=2人cosA=2b・^~~-——=^—――,整理可得"+/_人2=一碇，

2bcc

2212[0

所以，cosB=a+C-.•.5=——，所以，b>a且。〉c，

2ac23

设a<c,则。+人=2c,因为Q+/?+C=3C=15,可得。=5,

代入储+/一匕2=一。。可得储一/+25+5。=0,

ci+b=10。二3

联立《22，解得《

a-b~+5«+25=0,二7，

因止匕，=：acsinB=gx3x5x*=^^.

故答案为：见5.

4

【点评】在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答

案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：

（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理"角化边”；

（2）若式子中含有。、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；

（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”：

（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.

22.（2021.黑龙江哈尔滨市.哈九中高三三模（文））已知数列｛a,,｝与｛勿｝的前〃项和分别为S“，Tn,且

2x3〃+1

。“>0,2S“=a；+a“，H^?则T”的取值范围是.

71*

【答案】［二,：）中&〃eN*对应的那些值

444

【分析】根据递推关系式求出《，代入得勿，再根据裂项求和法求出,，再根据数列｛（｝的单调性可求出

结果.

【解答】当〃=1时，2q=a；+q得。：=4,因为a“>0,所以q=l,

当时,2s=a3+a“_|,2an=2Sn-2Sn_t=a^,+an--an_t,

所以4,+a”1=（凡+«„_1）（«„-，

因为a“+a“T>0,所以a“一a“T=。

所以数列｛%｝是首项为1，公差为1的等差数列，

所以=q+（〃_l）d=1+（〃_1）x1=〃，

1________]

所以”

~3"+n~3"+'+n+l

十，，T,,,111111

所以1,=b.+b-,+,,•+/?=—：------：----1—：------»----1-…-I----------n------

"12"3'+132+232+23s+33"+n3"+,+n+l

11

-4-3,,+l+n+l-

]]71

因为数列｛（｝为递增数列，所以雹2工=--------=—,又7；（一，

49+2444

71

所以（的取值范围是[石,1）.

故答案为：[二,工）小（“NGN"对应的那些值.

【点评】利用裂项求和法求出，是解题关键.

23.（2021•陕西高三三模（理））已知数列｛4｝与｛,｝前，?项和分别为S“，Tn,且

2"+1

7

%>0,2s“=a；+a”,〃wN*,bn=（2"+aJ（2"，%）'则=

【答案】一

135

【分析】由递推关系求得数列｛4｝的通项公式，代入"，根据裂项求和的办法求得小

【解答】因为2S„=a：+an,所以当〃..2,〃eN*时，2S„_,=+%，

两式相减得：2a“=a；+an-—an_｛,

整理得，（q一。,_1_1）（%+）=0，

由a”>0知，an+0,

从而an-an_x-1=0,

即当〃..2,〃eN*时，=1.

当〃=1时，2q="；+%,解得q=l或0（舍），

则｛为｝首项为1，公