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文档简介
5.4.3正切函数的性质与图象第五章
三角函数1.了解正切函数的画法,理解并掌握正切函数的性质.2.能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题.【学习目标】1自主探究(1)根据研究正弦函数、余弦函数的经验,应如何研究正切函数?有了前面的知识准备,我们可以换个角度,即从正切函数的定义出发研究它的性质,再利用性质研究正切函数的图象.(2)你能用不同的方法研究正切函数吗?思考:回顾:设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相较于点P(x,y).把点P的纵坐标y与横坐标x的比值叫做α的正切函数,记作tan
α,即一、周期性由诱导公式可知,正切函数是周期函数,周期是π.
二、奇偶性由诱导公式可知,正切函数是奇函数.
可以先考察函数的图象与性质,然后再根据奇偶性、周期性进行拓展.
利用三角函数线得到的图象:
利用三角函数线得到正切函数的动态图象:
根据正切函数是奇函数,只要画的图象关于原点的对称图形,就可得到的图象;根据正切函数的周期性,只要把函数的图象向左、右平移,每次平移π个单位,就可得到正切函数的图象,我们把它叫做正切曲线.
三、单调性观察正切曲线可知,正切函数在区间上单调递增.由正切函数的周期性可得,正切函数在每一个区间上都单调递增.
四、值域当时,tanx在(-∞,+∞)内可取到任意实数值,但没有最大值、最小值,因此,正切函数的值域是实数集R.
解析式y=tanx图象
定义域值域R正切函数的图象与性质最小正周期___奇偶性奇函数单调性在每一个区间_________________________上都单调递增对称性对称中心______________π答案
没有.正切曲线是由被互相平行的直线x=kπ+
(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的.1.正切函数的定义域和值域都是R.(
)2.正切函数图象是中心对称图形,有无数个对称中心.(
)3.正切函数图象有无数条对称轴,其对称轴是x=kπ±,k∈Z.(
)4.正切函数是增函数.(
)×√××【小试牛刀】2经典例题题型一正切函数的奇偶性与周期性√(2)函数f(x)=sinx+tanx的奇偶性为A.奇函数
B.偶函数C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数√关于原点对称,又f(-x)=sin(-x)+tan(-x)=-sinx-tanx=-f(x),∴f(x)为奇函数.总结:与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略(1)一般地,函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为T=
,常常利用此公式来求周期.(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域,判断其是否关于原点对称,若不对称,则该函数无奇偶性;若对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数√∴函数f(x)的定义域关于原点对称.±2∴|ω|=2,∴ω=±2.题型二正切函数的单调性及其应用<<(1)运用正切函数单调性比较大小的方法①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.②运用单调性比较大小关系.(2)求函数y=tan(ωx+φ)的单调区间的方法y=tan(ωx+φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx+φ看成一个整体,解-
+kπ<ωx+φ<+kπ,k∈Z即可.当ω<0时,先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间.解:自变量x的取值应满足所以,函数的定义域是例3.(1)求函数的定义域、周期及单调区间.即
题型三正切函数图象与性质的综合应用解:设,又tan(z+π)=tanz,
例3.(1)求函数的定义域、周期及单调区间.
因为所以,函数的周期为2.都有
解:由解得因此,函数在区间上单调递增.例3.(1)求函数的定义域、周期及单调区间.
解答正切函数图象与性质问题的注意点跟踪训练3.
求函数
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