专题3.2 导数与函数的单调性（举一反三）（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题3.2导数与函数的单调性【七大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1不含参函数的单调性、单调区间】 2【题型2含参函数的单调性】 4【题型3根据函数的单调性求参数】 7【题型4函数与导函数图象之间的关系】 9【题型5函数单调性的应用——比较大小】 12【题型6函数单调性的应用——解不等式】 14【题型7导数关系构造函数解不等式】 161、导数与函数的单调性考点要求真题统计考情分析(1)结合实例，借助几何直

观了解函数的单调性与导数的关系

(2)能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)

(3)会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用2022年新课标I卷：第7题，5分2022年全国甲卷：第12题，5分2023年新课标Ⅱ卷：第6题，5分2024年新课标I卷：第10题，6分导数与函数是高中数学的核心内容，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，本节内容在高考中常涉及的问题有：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间、利用函数的单调性判断大小、解不等式、求参数范围等；此类问题体现了分类讨论、转化与化归等数学思想，此类问题在选择、填空、解答题中都有考查，而在解答题中时往往在第一小问中呈现，此时试题整体难度较大.【知识点1导数中函数单调性问题的解题策略】1.确定函数单调区间的步骤；(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.2.含参函数的单调性的解题策略：(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.3.根据函数单调性求参数的一般思路：(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.【知识点2导数中函数单调性的应用】1.比较大小：利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.2.解不等式：与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f'(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式.【解题方法与技巧】导数关系构造函数的一些常见结构：(1)对于不等式f'(x)+g'(x)>0，构造函数F(x)=f(x)+g(x).(2)对于不等式f'(x)-g'(x)>0，构造函数F(x)=f(x)-g(x).特别地，对于不等式f'(x)>k，构造函数F(x)=f(x)-kx.(3)对于不等式f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0，构造函数F(x)=f(x)·g(x).(4)对于不等式f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0，构造函数F(x)=.(5)对于不等式xf'(x)+nf(x)>0，构造函数F(x)=.(6)对于不等式f'(x)+f(x)>0，构造函数F(x)=.(7)对于不等式f'(x)+kf(x)>0，构造函数F(x)=.【题型1不含参函数的单调性、单调区间】【例1】（2024·浙江·模拟预测）函数fx=ln2x−1−x2+x的单调递增区间是（

）A．0,1 B．1C．1−22,【解题思路】求出函数的定义域与导函数，再令f′【解答过程】函数fx=ln且f′令f′x>0所以fx的单调递增区间为1故选：D.【变式1-1】（2024·上海静安·二模）函数y=xlnA．严格增函数B．在0,1eC．严格减函数D．在0,1e【解题思路】求导后利用导函数的正负判断函数的单调性，并根据严格增减函数的定义即可得到选项.【解答过程】解：已知y=xlnx，x>0，则令y′=0，即lnx+1=0当0<x<1e时，y′当x>1e时，y′故选：D.【变式1-2】（2024·全国·模拟预测）下列函数是奇函数且在0,+∞上单调递减的是（

A．fx=3C．fx=x−x【解题思路】根据函数奇偶性定义可排除A，利用特殊值法可排除B，利用导数求函数单调性可排除C，根据函数奇偶性定义及复合函数单调性可得结果.【解答过程】对于A，因为f−x=3即fx对于B，因为f1=2−12所以fx在0,+对于C，对fx求导，得f′x=1−3x令f′x<0，解得x>所以fx在0,33对于D，易得fx的定义域为R且f=log121令t=x+x2+1，则fx=y=log12x在在0,+∞故选：D．【变式1-3】（2024·四川成都·三模）已知函数fx是定义在R上的奇函数，且当x>0时，fx=x1−lnx，则当A．−∞,−eC．−∞,0 【解题思路】首先利用导数求出函数在0,+∞上的单调性，再根据奇函数的性质得到函数在−【解答过程】当x>0时，fx=x1−所以当0<x<1时f′x>0，当x>1所以fx在0,1上单调递增，在1,+又函数fx是定义在R所以fx在−1,0上单调递增，在−故选：D.【题型2含参函数的单调性】【例2】（2024·辽宁鞍山·二模）已知函数fx=1(1)若曲线y=fx在x=2处的切线与y轴垂直，求实数a(2)讨论函数fx【解题思路】1）求导函数，根据导数的几何意义及切线与y轴垂直建立方程求解即可；（2）求导函数，按照a≤0和a>0分类讨论，求出函数的单调性.【解答过程】（1）依题意x>0，fx则f′因为在x=2处的切线与y轴垂直，所以f′x=a−1=0（2）由（1）知f′当a≤0时，由f′(x)>0得0<x<1，由f′所以f(x)的单调递增区间为0,1，单调递减区间(1,+∞当a>0时，分以下三种情况：若a=2，则f′所以f(x)的单调递增区间为(0,+∞若0<a<2，令f′(x)>0得0<x<1或x>2a，令所以f(x)的单调递增区间为0,1,2a若a>2，令f′(x)>0得0<x<2a或x>1，令所以f(x)的单调递增区间为0,2a,综上所述，当a≤0时，fx在区间0,1单调递增，在区间1,+当a=2时，fx在区间0,+当0<a<2时，fx在区间0,1,2当a>2时，fx在区间0,2a【变式2-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）设函数fx=−a(1)讨论fx(2)若y=fx的图象与x【解题思路】（1）求导，根据导函数的正负分析fx（2）将y=fx的图象与x【解答过程】（1）由题意，fx的定义域为0,+∞f'则当x>1a时，f′x故函数fx在0,1a（2）由（1）知函数fx的最大值为f1a，要使y=fx的图象与x轴没有公共点，只需故−a21a2−a【变式2-2】（2024·贵州·二模）已知函数fx(1)求曲线y=fx在点1,f(2)讨论fx在0,+【解题思路】（1）求导，计算斜率，再用点斜式求解即可；（2）令gx=f′x，求出g′x，根据g′12>0、g【解答过程】（1）f′∴f′1=1−∴曲线y=fx在点1,f1处的切线方程是即y=1−（2）令gx则g′x=1x−e∴∃x0∈12当x∈0,x0时，g′x∴f′x在0,x∴f′当且仅当x0=1x0∴fx在0,+【变式2-3】（2024·陕西榆林·三模）已知函数fx=mln(1)讨论fx(2)当m=1时，证明：f′【解题思路】（1）求导，根据判别式分类讨论，即可根据导数的正负确定函数单调性，（2）将所证不等式等价变形后构造st【解答过程】（1）f′当Δ=1−8m≤0，即m≥18时，此时，f′x当Δ=1−8m>0，即m<18则x1①当0<m<18时，x2>x②当m≤0时，x1≤0<x2，fx（2）证明：当m=1时，f′证原不等式等价于证x+2x+1≤2e则t>0，且x=t2−1，故只需证令st=t令φt=t2+1−2由于t>0，令φ′t>0,∴φt在0,12上单调递增，在1∴当t∈0,1时，φt>0，即s′t>0，当t∈(1,∴st在0,1上单调递增，在1,+∴s(t)所以，当m=1时，f′【题型3根据函数的单调性求参数】【例3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若函数ℎx=lnx−12aA．−∞,−1 B．−∞,−1 C．【解题思路】根据条件得ℎ′x=1x−ax−2≥0即a≤1x2【解答过程】因为函数ℎx=ln所以ℎ′x=1x−ax−2≥0在令Gx=1x2−2x，所以当1x=1，即x=1时，G(x)故选：A．【变式3-1】（2024·江西宜春·三模）已知a>0，且a≠1，若函数f(x)=a(lnx−ax−1)在(1,+A．(0,1e] B．[1e,1)【解题思路】根据题意，转化为f′(x)≤0在(1,+∞)上恒成立，令g(x)=f′(x)【解答过程】由函数f(x)=a(lnx−因为f(x)在(1,+∞)上单调递减，所以f′令g(x)=f′(x)=所以gx在(1,+∞)上单调递减，所以g(x)<g(1)=a−a则a−alna≤0，解得a≥e，即实数a故选：D．【变式3-2】（2024·山东济宁·一模）若函数fx=logaax−x3(a>0且A．3,+∞ B．1,3 C．0,13【解题思路】令μ=gx=ax−x3，利用导数求出函数gx【解答过程】令μ=gx=ax−x当x>a3或x<−a3时，g′所以gx在a3,+∞和当a>1时，y=logaμ为增函数，且函数f所以a>1−a3此时gx在0,1上递增，则g当0<a<1时，y=logaμ为减函数，且函数f所以a3综上所述，a的取值范围是3,+∞故选：A.【变式3-3】（23-24高三上·河北·期末）设函数fx=ax−alnx(a>0且a≠1)A．e,+∞ B．e2,+∞ 【解题思路】根据单调性与导数的关系可得f′x=【解答过程】依题意，f′x=记gx=f′xf′x在1,+∞上单调递增，所以只需a故选：A．【题型4\t"/gzsx/zj166005/_blank"\o"函数与导函数图象之间的关系"函数与导函数图象之间的关系】【例4】（2023·安徽·模拟预测）已知函数fx=16x3+A．

B．

C．

D．

【解题思路】根据函数解析式求导函数,再根据导函数导数正负得出导函数的单调性判断即可.【解答过程】令函数mx=f∵mx=m−x又∵m0=1，且当x>0时，m′x=则tx∴函数mx在0,+故选：C.【变式4-1】（2024·四川成都·一模）函数fx=2ax

A．b<c<a B．b<a<c C．a<b<c D．a<c<b【解题思路】利用复合函数的性质及导数研究单调性结合图象判定大小即可.【解答过程】令u=gx=ax由g′(x)=3ax因为y=2u定义域上单调递增，结合图象知函数u=gx在−2,0所以−2b3a>2且a>0又fx=2所以−8a+4b+c=0，即c=8a−4b>8a>a，所以b<a<c故选：B.【变式4-2】（2023·云南曲靖·三模）已知函数fx与gx的部分图象如图所示，则（

A．g′−1<0<fC．g′3<f【解题思路】根据题意，利用函数的导数与单调性的关系分析4个结论是否正确，即可得答案．【解答过程】由图可知，fx与gx在区间−1,3上单调递增，所以在区间−1,3上，gx的图象比fx的图象更陡峭，所以故选：D.【变式4-3】（2024·北京海淀·一模）函数f(x)是定义在(−4,4)上的偶函数，其图象如图所示，f(3)=0.设f′(x)是f(x)的导函数，则关于x的不等式f(x+1)⋅fA．[0,2] B．[−3,0]∪[3,4) C．(−5,0]∪[2,4) D．(−4,0]∪[2,3)【解题思路】借助函数图象与导数的关系计算即可得.【解答过程】由f(3)=0，且f(x)为偶函数，故f(−3)=0，由导数性质结合图象可得当x∈−4,0时，f当x∈0,4时，f′x>0，当则由f(x+1)⋅f′(x)≥0，有−4<x+1<4亦可得fx+1>0f′x>0，或由fx+1>0f′x>0可得由fx+1<0f′x由fx+1=0，可得x+1=±3，即x=2或由f′x=0综上所述，关于x的不等式f(x+1)⋅f′(x)≥0故选：D.【题型5函数单调性的应用——比较大小】【例5】（2024·江西宜春·三模）已知a=12e，b=ln222A．b<a<c B．b<c<a C．a<b<c D．c<b<a【解题思路】首先将a,b,c化成统一形式，构造函数fx=ln【解答过程】由题意得a=12e=ln设fx=ln当0<x<e时，f′(x)>0，所以f(x)所以f(2)<f(e)<f(2)，即故选：A.【变式5-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知a=ln65,b=A．a>b>c B．a>c>b C．c>b>a D．c>a>b【解题思路】比较a，b大小，构造fx=ln【解答过程】令fx=lnx−x+10<x<1又f1=0，所以fx所以ln56<−16，所以−设ℎx=1−xexℎx<ℎ0=1，即ex<1所以a>b>c，故选：A.【变式5-2】（2024·陕西·模拟预测）已知函数fx=2x+2−x+cosA．c<b<a B．b<c<a C．c<a<b D．b<a<c【解题思路】先利用导数判断f(x)的单调性，再构造函数g(x)=lnxx【解答过程】因为f(x)=2所以f′令ℎx=2x−sin所以当x>0时，ℎx>ℎ0又y=2x−2−x所以f′(x)>0在0,+∞上恒成立，则f(x)构造函数g(x)=lnxx令g′(x)>0，得0<x<e，令g所以g(x)在0,e上单调递增，在e所以gπ即lnππ>ln44>所以lnπ4>所以5lnπ4即5所以，f5即b<a<c.故选：D.【变式5-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知a=9798,b=A．a>b>c B．b>a>cC．c>a>b D．c>b>a【解题思路】构造函数fx=cosx−1−【解答过程】令fx=cosx−1−令φx=x−sinx,x∈0,π2，则φ′x=1−cosx>0,φx令gx=ex−x+1,(x>0)，则g′x=ex−1>0故选：B.【题型6函数单调性的应用——解不等式】【例6】（2024·广西贵港·模拟预测）已知函数f(x)=log4(4x+1)−1A．(−∞,−2] B．C．[−2,43]【解题思路】判断函数的奇偶性和单调性，根据函数的性质，把函数不等式转化为代数不等式，再求解即可.【解答过程】f(x)=log44x+1对函数y=2x+2−x，x∈(0,+因为x∈(0,+∞)，所以2x>1，2−x<1，所以所以函数y=2x+2−x在(0,+所以f(a−1)≤f(2a+1)⇒a−1≤所以a2−2a+1≤4a2+4a+1⇒3故选：B.【变式6-1】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数fx=x−13+A．0,+∞ B．1,+∞ C．2,+∞【解题思路】由题意可得fx+1=10−f1−x，可将f2x+1+f1−x≥10转化为f【解答过程】由题可得fx+1所以f−x+1即有fx+1−5+f−x+1故不等式f2x+1+f1−x又f′当x∈1−π2,1+π当x∈−3x−12≥3×π2即f′x≥0恒成立，故f故由f2x+1≥fx+1可得2x+1≥x+1故选：A.【变式6-2】（2024·山东聊城·三模）设函数fx的定义域为R，导数为f′x，若当x≥0时，f′x>2x−1，且对于任意的实数A．−∞,1 B．13,1 C．【解题思路】设gx=fx−x2+x，根据题意，可证g(x)为R上的偶函数，且g(x)在0,+∞上单调递增，在【解答过程】因为f−x设gx则g−x即g(x)为R上的偶函数，又当x≥0时，f′则g′x=f′x−2x+1>0因为f2x−1所以f2x−1即g2x−1<gx，所以2x−1解得13故选：B.【变式6-3】（2024·辽宁·模拟预测）已知fx是定义在R上的奇函数，gx=f′x−2exA．−∞,−1∪C．−1,3 D．−3,1【解题思路】根据gx为奇函数及f′x为偶函数可求gx，利用导数可判断【解答过程】因为gx=f故f′因为fx是定义在R上的奇函数，故f故f′x−f′此时g'x=−ex而g1−x2即1−x2<−2x−2即x2故选：A.【题型7导数关系构造函数解不等式】【例7】（2024·山东潍坊·三模）已知函数fx的导函数为f′x，且f1=e，当x>0时，A．0,1 B．0,+∞ C．1,+∞ 【解题思路】由不等式化简构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，即可求解原不等式.【解答过程】不等式fx−lnxe构造函数g(x)=f(x)−ex+因为x>0时，f′x<1x所以g(x)在(0,+∞又因为g(1)=f(1)−e所以不等式f(x)−ex+lnx>0即fx−ln故选：A.【变式7-1】（2024·江苏南通·模拟预测）设定义域为R的偶函数y=fx的导函数为y=f′x，若f′x+A．−∞,−1∪C．−3,1 D．−1,3【解题思路】先令g(x)=f′(x)+【解答过程】因为y=f(x)为偶函数，所以f(−x)=f(x)，所以−f令g(x)=f因为f′则g(−x)=g(x)，即f′即−f所以f′当x>0时，f′(x)=−2x<0，即f(x)在0,+∞上单调递减，则f(x)由f(2a+4)>f(a2+1)所以2a+4<a2+1，即−a即实数a的取值范围是−∞故选：A．【变式7-2】（2024·吉林·二模）已知函数fx的定义域为−∞,0，其导函数f′x满足xA．−2025,−2024 B．−2024,0C．−∞,−2024 【解题思路】令gx=fxx2，求导可得gx【解答过程】由题意知，当x∈−∞,0令gx=f所以gx在−不等式fx+2024−(x+2024)即为gx+2024<g−1，所以x+2024>−1故选：A.【变式7-3】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知定义在0,+∞上的函数fx满足f′x−fxA．0,+∞ B．1,+∞ C．−∞【解题思路】构造函数gx=fxx−lnx，根据题意得gx【解答过程】设gx=f因为f′x−所以g′x>0，所以g不等式fex−又gex=即gex>g1，所以即不等式fex−故选：A．一、单选题1．（2024·四川成都·模拟预测）函数y=12xA．−1,1 B．−1,1 C．1,+∞ D．【解题思路】先得出函数的定义域，再令f′【解答过程】函数fx的定义域为0,+∞，f′x=x−多取一个端点不影响单调性，所以fx在0,1故选：D.2．（2024·上海·三模）在区间I上，f′x>0是函数y=fA．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【解题思路】y=fx在该区间严格增⇔【解答过程】y=fx在该区间严格增⇔f′比如fx=x故f′x>0故选：A.3．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知a=ln75，b=cos25，A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b【解题思路】利用切线放缩公式：ln1+x≤x比较a,c，再由三角函数y=cos【解答过程】由ln1+x≤x，当x=0时等号成立，知a<c，∵0<25<故选：B.4．（2024·重庆·模拟预测）已知函数f(x)=xα(x>0)，α为实数，f(x)的导函数为f′(x)，在同一直角坐标系中，f(x)A． B．C． D．【解题思路】先通过特值代入易得A项符合，对于B,C,D项，通过图象观察分析可得α>1，结合两函数图象交点的位置舍去C项.【解答过程】由f(x)=xα对于A，当α=−1时，在第一象限上f(x)=x−1递减，对应对于B,C,D,在第一象限上fx与f′(x)的图象在又由fx=f′x可得x=α>1故选：C.5．（2024·江苏泰州·模拟预测）若函数fx=12sin2x−acosA．−∞,−1 B．−1,+∞ C．−【解题思路】先求出函数fx的导函数，利用换元法将题目条件转化为a≥2t−1t在0,【解答过程】因为函数fx=1所以f′x=cos2x+asinx≥0令t=sinx,x∈则t∈0,所以a≥2t−1t在又因为y=2t−1t在所以当t=1时ymax故a≥1.故选：D.6．（2024·江西南昌·三模）已知函数f(x)的定义域为R，且f2=−1，对任意x∈R，f(x)+xfA．−∞,1 B．−∞,2 C．【解题思路】设gx=xfx，由g′(x)=f(x)+xf′(x)<0恒成立，【解答过程】设gx=xfx∵对任意x∈R，f(x)+xf′(x)<0，∴g′由x+1fx+1>−2可得g(x+1)>g(2故选：A.7．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数fx=x2−cosx，则fA．f−ln5C．f−ln5【解题思路】先判断函数fx=x2−cosx的奇偶性，利用导数判断函数f【解答过程】∵fx∴f−x=−xf′当0<x<1时，f′x>0，故函数f令gx=ln即函数gx在3,+∞上单调递减，故即可1>ln33所以fln∴f−故选：C．8．（2024·宁夏银川·三模）已知定义在R上的奇函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，f′(x)是f(x)的导函数，当x>0时，3f(x)+xf′(x)>0，且f(2)=2A．(1,+∞) C．(−∞,1) 【解题思路】根据(x+1)3fx+1>16构造函数，通过求导发现利用已知条件可知恒为正数，所以可知gx【解答过程】令gx=x因为当x>0时，3fx+xf′x又fx为奇函数，且图象连续不断，所以g由x+13fx+1>23故选：D.二、多选题9．（2024·广东茂名·一模）若fx=−13x3+A．−4 B．−3 C．3 D．4【解题思路】求导，分析导函数的正负得到原函数的单调性，再由已知建立关于m的不等式组，解出即可．【解答过程】由题意，f′令f′x>0，解得−1<x<2，令f′x所以fx在(−1,2)上单调递减，在−∞,−1若函数fx=−1则m+4≤−1或m−1≥2或m−1≥−1m+4≤2，解得m≤−5或m≥3或m∈∅即m≤−5或m≥3.故选：CD.10．（2024·河南信阳·模拟预测）已知fx为(0,+∞)上的可导函数，且x+1A．3f4<4f3 B．4f4>5f3【解题思路】先构造函数ℎx【解答过程】设ℎx=f则ℎ′因为x+1f′x则函数ℎx=f所以ℎ4>ℎ3，即fℎ3>ℎ2，即f故选：BD.11．（2024·浙江台州·一模）已知gx是定义域为R的函数fx的导函数，f0=1，f1=0，A．fB．f3>1e（C．存在x0∈D．若x0∈【解题思路】由原函数和导函数的对称性判断A；令ℎx【解答过程】因为gx是定义域为R的函数fx的导函数，所以fx因为gx+g2−x=0，所以所以fx=f2−x+C，而所以fx的图像关于x=1因为fx+gxx−1>0所以fx+f故x>1时，ℎ′x=ex同理ℎx在−对于A，因为fx=f2−x对于B，ℎ3=e对于C，当x>1时，ℎx当x<1时，ℎx>ℎ1=0，而故ℎx对于D，当0<x<1时，ℎxℎ0=e0f故0<x<1时，exfx∈0,1故选：ABD.三、填空题12．（2024·河北邢台·二模）若a=13，b=tanπ9，c=ln54，则a，【解题思路】根据给定条件，构造函数fx【解答过程】令函数fx=tanx−x，即函数fx在0,1上单调递增，fx>f即b=tan令函数gx=ln即即函数gx在0,1上单调递减，gx<f即c=所以a，b，c的大小关系是c<a<b故答案为：c<a<b.13．（2024·四川·模拟预测）已知函数fx=x2+x−2ex−2x+5【解题思路】根据题意可知y=f'x在区间3m−1,m+2【解答过程】由题意知f'x因为fx在区间3m−1,m+2上不单调，即y=f'x在区间3m−1,m+2有变号零点，又ex+2>0，所以f'x所以x=1在区间3m−1,m+2内，所以3m−1<1m+2>1，解得−1<m<23，即m故答案为：−1,214．（2024·新疆·三模）设函数fx在R上存在导数f′x，对于任意的实数x，有fx−f−x+2x=0，当x∈−∞,0时，【解题思路】构造函数gx=fx−x2+x，根据题意和导数求得函数gx在−∞,0上单调递减，再由g−x【解答过程】令函数gx因为x∈−∞,0，时f所以函数gx在x∈又因为gx所以函数g−x=gx根据偶函数的对称性，可得gx在(0,+若f则g2+m整理得g2+m≤g−m两边平方可得m2+4m+4≤m2，解得m≤−1，即实数故答案为：(−∞四、解答题15．（2024·重庆·三模）已知函数f(1)当a=1时，求fx在点0,f(2)若fx在区间0,+∞上单调递增，求实数【解题思路】（1）由a=1得到fx（2）求导f′x=exx+a−1(x+a)【解答过程】（1）解：当a=1时，fxf′则f0=1，所以当a=1时，fx在点0,f0（2）f′因为fx在区间0,+所以f′x=即x+a−1≥0在区间0,+∞所以a≥1−x在区间0,+∞因为当x∈0,+∞时，所以a≥1，即a的取值范围是1,+16．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知R上可导函数fx的图象如图所示，解不等式x

【解题思路】分析图像出函数的单调性，化简不等式，即可解出不等式的解集.【解答过程】由题意及图得，在fx