专题4.3 三角恒等变换（举一反三）（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题4.3三角恒等变换【九大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1两角和与差的三角函数公式】 3【题型2两角和与差的三角函数公式的逆用及变形】 4【题型3辅助角公式的运用】 6【题型4角的变换问题】 8【题型5三角函数式的化简】 10【题型6给角求值】 11【题型7给值求值】 13【题型8给值求角】 15【题型9三角恒等变换的综合应用】 181、三角恒等变换考点要求真题统计考情分析(1)会推导两角差的余弦公式

(2)会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式

(3)掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用(4)能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换2022年新课标Ⅱ卷：第6题，5分2023年新课标I卷：第8题，5分2023年新课标Ⅱ卷：第7题，5分2024年新课标I卷：第4题，5分2024年新课标Ⅱ卷：第13题，5分三角恒等变换是三角函数的重要工具，是高考数学的热点、重点内容.从近几年的高考情况来看，主要考察三角函数的化简求值、三角函数的变换等内容，一般以选择题、填空题的形式出现，试题难度中等或偏下；但在有关三角函数的解答题中有时也会涉及到三角恒等变换、合并化简，此时试题难度中等，复习时需要同学熟练运用公式，灵活变换.【知识点1三角恒等变换思想】1．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助角公式(1)角的代换代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用尤为突出.

常用的角的代换形式：①=(+)-；

②=-(-)；

③=[(+)+(-)]；

④=[(+)-(-)]；

⑤=(-)-(-)；

⑥-=(-)+(-).(2)常值代换

用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中要特别注意的是“1”的代换.(3)辅助角公式通过应用公式[或将形如(a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数[或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式.【知识点2三角恒等变换的应用技巧】1．两角和与差的三角函数公式的应用技巧(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.2．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.3．辅助角公式的运用技巧对asinx+bcosx化简时，辅助角的值如何求要清楚.4．角的变换问题的解题策略：(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个"已知角"的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(3)常见的角变换：，，，，等.【知识点3三角恒等变换几类问题的解题策略】1．给值求值问题的解题思路给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.2．给角求值问题的解题思路给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.3．给值求角问题的解题思路给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.4．三角恒等变换的综合应用的解题策略三角恒等变换的综合应用的求解策略主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.【方法技巧与总结】1．.2．降幂公式：，.3．，，.【题型1两角和与差的三角函数公式】【例1】（2024·江西九江·三模）若2sinα+π3=cosα−π3，则tanα−π6=（A．−4−3 B．−4+3 C．4−3【解题思路】设β=α−π6，则原等式可化为2sin【解答过程】令β=α−π6，则所以由2sin得2sin即2cos即sinβ=4−3所以tanα−故选：C.【变式1-1】（2024·湖南·模拟预测）已知α∈π2,π，tan3A．255 B．55 C．2【解题思路】根据差角公式可得tanα=−【解答过程】由tan3π4−α=故sinα=−2cosα，结合由于α∈π2,π，故故选：A.【变式1-2】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知cos10°−α=cos50°−α+A．33 B．−33 C．3【解题思路】根据两角和差的余弦公式化简，再根据50°=60°−10°结合两角差的余弦公式化简即可得解.【解答过程】由cos10°−α得cos10°故sin所以tan==cos故选：C.【变式1-3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知sinαsinα+π6A．2−3 B．−2−3 C．2+3【解题思路】由两角和差公式、二倍角公式逆用可得tan2α=【解答过程】由题意32sin2即tan2α=3，所以故选：B.【题型2两角和与差的三角函数公式的逆用及变形】【例2】（2024·四川·模拟预测）已知α，β，γ∈0,π2，若sinα+sinγ=sinA．−π3 B．π3 C．−【解题思路】根据已知条件及同角三角函数的平方关系，利用两角差的余弦公式及三角函数的特殊值，注意角的范围即可求解.【解答过程】由sinα+sinγ=sinβ，cos∴sinα−sinβ∴2−2cosα−β=1又α，β，γ∈0,∴sinα−∴sinα<∴0<α<β<π∴−π∴α−β=−π故选：A.【变式2-1】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知sinα+cosβ=22A．732 B．C．53932 【解题思路】由sinα+cosβ=【解答过程】解：因为sinα+所以sin2两式相加得：2+2sinαcos化简得sinα−β所以cos2α−2β故选：A.【变式2-2】（2024·山东泰安·模拟预测）若1+tan（θ−π4）A．−35 B．35 C．−【解题思路】根据两角和的正切公式化简可得tanθ【解答过程】由1+tan（θ−π所以tan(π4所以sin2θ=故选：D．【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）已知α，β，γ满足α−β−γ=π，且sinα=2cosβcosγ，A．－2 B．−12 C．1【解题思路】根据题意切化弦结合三角恒等变换可得−cosα=4cos【解答过程】由tanβtanγ=−3，即sin则cosβ可得cosβ+γ因为α−β−γ=π，即β+γ=α−可得cosβ+γ又因为sinα=2cosβcosγ故选：B．【题型3辅助角公式的运用】【例3】（2024·安徽合肥·三模）已知2sinα=1+23cosαA．−18 B．−78 C．【解题思路】先由辅助角公式得sinα−【解答过程】由2sinα=1+23cosα所以sin2α−故选：D.【变式3-1】（2024·四川遂宁·模拟预测）已知cos(α−π3)−cosA．−12 B．12 C．−【解题思路】利用差角的余弦公式、辅助角公式化简变形即得.【解答过程】依题意，32所以sin(α−故选：D.【变式3-2】（2024·湖北·二模）函数fx=3cosx−4sinx，当A．45 B．−45 C．3【解题思路】由辅助角公式、诱导公式直接运算即可求解.【解答过程】fx其中cosφ=而fx等号成立当且仅当x+φ=2kπk∈Z，此时故选：B.【变式3-3】（2024·陕西铜川·三模）已知cosα−π3−cosA．−12 B．12 C．−【解题思路】利用和差公式、辅助角公式化简得sinα−【解答过程】∵cos∴sin故选：A.【题型4角的变换问题】【例4】（2024·吉林长春·模拟预测）已知cos2α=−55，sinα+β=−1010，α∈A．π4 B．3π4 C．5π4 D．【解题思路】求出2α、α+β的范围，利用平方关系求出sin2α、cosα+β，再由α−β=2α−α+β求出cos【解答过程】因为α∈0,π2所以sin2α=因为α∈0,π2，β∈所以cosα+β又由α−β=2α−α+βcos=又因为α−β∈0,π，所以故选：B.【变式4-1】（2024·重庆·模拟预测）已知α,β都是锐角，cosα=17，sin(α+β)=A．−12 B．12 C．−【解题思路】根据题意，求得sinα=437，再由y=cos【解答过程】由α与β均为锐角，且cosα=17因为0<α<π2,0<β<π2又因为y=cosx在(0,π)上单调递减，且因为cosα=17所以cosβ=则cos2β=2故选：A.【变式4-2】（2024·福建泉州·模拟预测）已知α，β均为锐角，sin2α−β=253A．255 B．55 C．2【解题思路】利用2α−β=α+α−β和β=−α−β−α对sin【解答过程】由题意sin2α−β又sin2α−β=2故sinα即cos又α均为锐角，所以cosα≠0故sinα−β故选：D.【变式4-3】（2024·山西·三模）若sin2α=33,sinβ−α=A．5+26 B．306 C．【解题思路】根据sin2α=33结合α的范围分析可得α∈π4,π2，cos2α=−【解答过程】因为α∈π4,π，则则2α∈π2,π，可得又因为β∈π,3π2可得β−α∈π2,所以cosα+β==−故选：D.【题型5三角函数式的化简】【例5】（2024·全国·模拟预测）sin80°+A．62 B．52 C．32【解题思路】切化弦后通分，根据两角和差的正余弦公式求解即可.【解答过程】sin80°+cos==3cos=3cos=6故选：A.【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）化简：1−3tan10°A．4 B．2 C．tan20° D．【解题思路】利用三角恒等变换的公式求解即可.【解答过程】1−3故选：A．【变式5-2】（2023·吉林延边·二模）下列化简不正确的是（

）A．cos82°sin52°+C．cos215°−sin【解题思路】利用三角恒等变换的知识进行化简，从而确定正确答案.【解答过程】A选项，cos===sinB选项，sin=1C选项，cos2D选项，tan48°+故选：D.【变式5-3】（2024·重庆·模拟预测）2cos65°cosA．2+32 B．1+32 C．【解题思路】由同角的商数关系，两角和的正弦公式，降幂公式，诱导公式化简求值即可．【解答过程】2=sin故选：A．【题型6给角求值】【例6】（2024·辽宁·二模）已知sin (15°−α2)=tan A．13 B．−13 C．2【解题思路】根据题意得到sin (15°−α2)=33进而得到【解答过程】∵sin (15°−∴sin (15°−则cos2cos(30°−α)=∴sin=cos故选A.【变式6-1】（23-24高二上·江西景德镇·期中）已知sinα=267，cosα−β=105，且A．91535 B．111035 C．【解题思路】易知sinβ=sinα−α−β，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cosα和sinα−β，分别在sinα−β【解答过程】∵sinα=267<2又0<β<3π4，∴−3π当sinα−βsinβ=sinα−∵0<β<3π4，∴sin当sinα−β=−15综上所述：sinβ=故选：A.【变式6-2】（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）已知α∈0,π2(1)求tan2α，sin2α，(2)若β为锐角，且cos(α+β)=513【解题思路】（1）二倍角公式直接求tan2α，由tan2α的正负判断角的范围，结合sin2α2+（2）由tanα的值和α的范围求出sinα、cosα的值，利用β=α+β−α【解答过程】（1）解：因为tanα=34又α∈0,π2，2α∈0,π，tan2α=247>0，所以2α∈0,π2，则（2）因为α∈0,π2且tanα=3因为β为锐角，cos(α+β)=513则sin=12【变式6-3】（2024·浙江台州·二模）已知函数f(x)=3（Ӏ）求函数f(x)的单调递增区间；（ӀӀ）若f(α)=85,α∈[【解题思路】（1）先用辅助角公式变形函数为f(x)=2sinx+π6，再把（2）由f(α)=85，即sinα+π6=4【解答过程】（Ⅰ）f(x)=令−π2得−2π3+2kπ≤x≤∴f(x)的单调增区间为−2π3+2kπ,（Ⅱ）f(α)=85，即α∈π6,又sinα+所以α+π6∴=4【题型7给值求值】【例7】（2024·河北保定·三模）已知锐角α，β（α≠β）满足sinα+2cosα=sinβ+2A．31010 B．255 C．【解题思路】利用辅助角公式化简已知函数，得到正弦型函数，再利用自变量的范围得到函数是不单调的，所以自变量不相等但函数值相等的情形就是两角互补，从而就可以通过运算得到结果.【解答过程】设f(x)=sinx+2cosx=5sin(x+φ)当x∈(0,π2)此时f(x)=sinx+2cos又因为f(α)=f(β)，且α≠β，所以α+φ+β+φ=π，所以α+β=所以sin(α+β)=故选：D.【变式7-1】（2024·辽宁丹东·二模）已知sinα+sinα+π3A．79 B．−79 C．2【解题思路】解法1：令α=(α+π6)−π6，α+π3=(α+π【解答过程】解法1：由sinα+sin(α+得sin(α+得3sin(α+π所以cos(2α+解法2：将sin展开得sinα+整理得32即sin(α+所以cos(2α+故选：A.【变式7-2】（2024·贵州贵阳·二模）已知cosα−cosβ=53A．−45 B．45 C．−25【解题思路】拆分角度α=α+β2+【解答过程】由α=α+βcosα−cosβ=−2两式相除可得tanα+β所以tan(α+β)=tan故选：A．【变式7-3】（2024·辽宁·二模）已知α,β∈0,π2，2tanα=A．32 B．−32 C．1【解题思路】由2tanα=sin2βsinβ+sin【解答过程】因为2tan所以2sin所以sinα+所以sinα=所以cosπ因为α,β∈0,π2所以π2−α=α+β，所以所以cos2α+β+故选：B.【题型8给值求角】【例8】（2023·江苏无锡·三模）已知tanβ=cosα1−sinα，tanα+βA．π12 B．π6 C．π4【解题思路】利用已知条件和两角和的正切公式，先求出角α，再利用已知条件即可求解.【解答过程】因为tanα又因为tanβ=cosα所以tanα=所以tan因为sin2α+cos所以α=kπ,所以当k为奇数时，cosα=−1，sin当k为偶数时，cosα=1，sin因为tanβ=cosα因为β∈0,π2故选：C.【变式8-1】（23-24高三·全国·期末）已知0<α<β<π2,A．α+β=π6 C．β−α=π6 【解题思路】直接利用三角函数恒等变换进行凑角化简，再根据α，β的范围即可求出结果.【解答过程】由已知可将2α=(α+β)+(α−β)，2β=(α+β)−(α−β)，则cos[(α+β)+(α−β)]+2cos[cos(α+β)−1][2cos(α−β)−1]=0，即又0<α<β<π2，所以所以cos(α+β)≠1即cos(α−β)=12，则α−β=−故选：D.【变式8-2】（2024·海南海口·模拟预测）已知cosα+2β=56,tanα+βtan【解题思路】根据题目条件得到cosα+βcosβ=16和sin【解答过程】cosα+2β故cosα+βtanα+βtanβ=−4故sinα+β故5cosα+βcos则sinα+β则cosα=cosα+β可取α=2故答案为：2π3【变式8-3】（2023·贵州六盘水·模拟预测）设α∈π4,π2，β∈π4,【解题思路】根据三角恒等变化化简可得cosα−π4=cosβ，再结合【解答过程】因为sinα+所以2cosα−又α∈π4,π2则可得α−π4=β=π4故答案为：π4【题型9三角恒等变换的综合应用】【例9】（2024·上海·模拟预测）已知函数f(x)=2cos(1)求函数f(x)的在[0,π(2)若函数f(x)在区间[0,m]上有且只有两个零点，求m的取值范围．【解题思路】（1）利用二倍角公式及和差角公式化简函数解析式，再求出相位的范围，并借助正弦函数的性质求出递减区间.（2）由x的取值范围求出2x+π【解答过程】（1）依题意，f(x)=2cos2=32sin当x∈0,π时，2x+π3∈[所以函数f(x)的在[0,π]上的单调递减区间为（2）当x∈[0,m]时，2x+π3∈[π3即函数y=sinx在因此2π≤2m+π所以m的取值范围为[5【变式9-1】（2024·重庆·模拟预测）已知函数fx=sinωx+φ(1)求fx(2)设gx=fx+fx+【解题思路】（1）根据最小正周期确定ω的值，再根据特殊值求解φ，即可得函数解析式；（2）利用三角恒等变换化简函数gx【解答过程】（1）由周期T=2πω又f(π4)=f(0)得sin(π2+φ)=从而f(x)=sin（2）由题意g(x)=sin所以g(x)=2因为x∈(−π4,从而−12<cos2x≤1，则−【变式9-2】（2023·河南·模拟预测）已知函数fx(1)若fα+π4(2)设gx=fx+【解题思路】（1）先把函数化成fx（2）先化简gx【解答过程】（1）因为fx=2sinxcosfα+π4=1013⇒f2α−π12=2sin22α−π12+π（2）因为：fx+π12所以：gx设sin2x+cos2x=t，则t=所以：y=−t当t=−2时，y所以gx的最小值为−2【变式9-3】（2024·云南·模拟预测）已知函数fx=4sin(1)求函数fx在区间π(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且fA=3，2a=3【解题思路】（1）对函数进行化简，用辅助角公式合为一个三角函数，相邻两条对称轴之间的距离为π2即为半周期，可求出ω=1（2）由fA=3【解答过程】（1）f=2=sin∵T2=π2⇒T=π∵π3≤x≤3π∴当2x−π3=7π6时，f即fx的值域为−1,2（2）由fA=3，且A∈又由正弦定理知2a=3b⇒2sin∴sinC=sinA+B∴S△ABC一、单选题1．（2024·四川宜宾·模拟预测）若cosα−π3+cosA．−33 B．33 C．2【解题思路】首先对cosα−π3【解答过程】cosα−π=3所以cosα−故选：A.2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知sinα−β=2cosα+β,A．35 B．53 C．45【解题思路】利用两角和差的正余弦公式展开，两边同除cosαcosβ，得到tanα⋅tanβ=1−tan【解答过程】sinα−β=2cos两边同除cosαcosβ，得到tantanα−β=tan故选：C.3．（2024·福建泉州·模拟预测）若α,β∈(0,π)，且2sinβA．α=β B．α=2β C．α+β=π2 【解题思路】由两角和与差的三角函数，结合同角三角函数的关系求解．【解答过程】由2sinβtan2sinβcos即sin(α+β)=0，由α,β∈(0,π)，得所以α+β=π故选：D.4．（2024·陕西安康·模拟预测）若sinα−20∘=sinA．18 B．−18 C．−【解题思路】根据三角函数恒等变换化简已知可得sinα−【解答过程】根据题意，sin=sin而sin=1−2sin故选：D.5．（2024·江西宜春·模拟预测）已知α∈π2,3π4A．6+42 B．6−42 C．17+122【解题思路】由已知先利用和差角的正切公式进行化简可求tanα【解答过程】因为α∈π2,所以1+tanα1−解得tanα=−3−22或tanα=−3+2则1−=1故选：A.6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知α,β∈0,π2，且sinβ=cosA．15 B．25 C．35【解题思路】根据和差角公式，结合弦切互化，即可代入化简求解.【解答过程】由题得sinβ=又sinβ=cosα+βsinα，所以sin故选:A.7．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知α,β∈0,π4，cos2α−sin2A．π12 B．π6 C．π4【解题思路】利用同角三角函数关系可得tanα=32，利用两角和与差的正弦公式化简3【解答过程】因为cos2α−sin因为α∈0,π4，所以cosα=2由3sinβ=sin即3sin(α+β)cos所以sin(α+β)cosα=2又0<α+β<π2，所以故选：D.8．（2024·天津北辰·三模）已知函数fx=3A．fx的最小正周期为B．fx的图象关于点5C．若fx+t是偶函数，则t=πD．fx在区间0,π【解题思路】A项，化简函数求出ω，即可得出周期；B项，计算出函数为0时自变量的取值范围，即可得出函数的对称点，即可得出结论；C项，利用偶函数即可求出t的取值范围；D项，计算出x∈0,π4【解答过程】由题意，在fxfxA项，ω=4,T=2B项，令4x+π6=k当k=1时,x=5所以fx的图象关于点5C项，f(x+t)=sin∴4t+π6=解得：t=πD项,当x∈0,π4所以sin4x+所以fx在区间0,π4故选：D.二、多选题9．（2024·河南周口·模拟预测）设α∈(0,π2)，β∈(0,A．cosB．若sin(α+πC．若tanα+tanD．若cos2α1+【解题思路】由两角和差的余弦公式判断A，利用二倍角公式及同角三角函数关系判断B，化弦为切，结合两角和差的正余弦公式求解判断C，利用二倍角公式及三角恒等变换化简求解判断D.【解答过程】对于A，因为α∈(0,π2)，β∈(0,π2)，则所以cosα+β对于B，因为sin(α+π4而cos2α=1−2sin2α，所以sin2α=2所以tanα=对于C，由tanα+tanβ=1cos即sin(α+β)=sinπ2−β，因为α∈(0,则α+β=π2−β或α+β+π2对于D，cos2α因为cos2α1+sin即cosαsinβ−所以2sin(α+β+π因为α+β∈(0,π)，所以所以α+β+π4=故选：AD.10．（2023·辽宁大连·一模）在△ABC中，若tanA+B2=A．tanAtanBC．sin2A+cos【解题思路】由tanA+B2=【解答过程】解：由tanA+B因为0<C2<所以1=2sin所以tanB=tanπ因为sinA+sinB=∴22从而有0<sin又cosB=cosπ而cos2故选：BD.11．（2024·江西·二模）已知函数fx=3A．若ω=1，则将y=fx的图象向左平移π6个单位长度，能得到函数B．若ω=2，则当x∈0,π4时，C．若fx在区间0,π上恰有5D．若fx在区间π6【解题思路】利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质检验各选项即可判断．【解答过程】f=3当ω=1时，f(x)=sin2x+π6，则将y=sin当ω=2时，f(x)=sin4x+π6，当故−12≤sin4x+令2ωx+π6=kπ，k∈Z又ω>0，若fx在区间0,π上恰有5个零点，则5π若f(x)在区间π6则T2≥7π12−π又x∈π6,由0<ω≤65可得要使f(x)在区间π6,7π12故选：AD．三、填空题12．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知sinx+π6=33【解题思路】直接用和差角公式展开再用二倍角公式计算即可.【解答过程】cos2x+π3故答案为：−6313．（2024·广西南宁·一模）已知0<α<π2<β<π,cos【解题思路】根据同角三角函数的关系结合两角差的正弦值可得sinα，进而可得tan【解答过程】由题意，sinβ=1−cos2β故sin=7故cosα=1−1故答案为：2414．（2024·安徽·三模）已知cos3π2+2α+4sin2π4−α−β【解题思路】由第一个已知条件得sin2α+sin2β=2sin2α+2β【解答过程】依题意，cos3(sin所以sin2α+所以sin2α+sin2β=而2sin因为α+β≠kπk∈Z，故则cos