专题4.4 三角函数的图象与性质（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题4.4三角函数的图象与性质【九大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1三角函数图象的识别及应用】 3【题型2三角函数的定义域、值域与最值】 4【题型3三角函数的奇偶性与对称性问题】 4【题型4三角函数的周期性问题】 5【题型5求三角函数的单调区间、比较大小】 5【题型6根据三角函数的单调性求参数】 6【题型7三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】 6【题型8三角函数的零点问题】 7【题型9三角函数的图象与性质的综合应用】 81、三角函数的图象与性质考点要求真题统计考情分析(1)能画出三角函数的图象

(2)了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值

(3)借助图象理解正弦函数、余弦函数在上的性质及正切函数在上的性质2023年新课标I卷：第15题，5分2023年天津卷：第6题，5分2024年新课标I卷：第7题，5分2024年新课标Ⅱ卷：第9题，6分2024年全国甲卷（文数）：第13题，5分三角函数的图象与性质是高考的热点内容，其中三角函数的周期性、对称性、奇偶性与单调性之间的关系则是高考考察的重心.从近几年的高考情况来看，比较注重对三角函数的几大性质之间的逻辑关系的考查，试题多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等或偏下.【知识点1三角函数的定义域与值域的求解策略】1．三角函数的定义域的求解思路求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.2．求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：(1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式，再求值域(最值)；(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值).【知识点2三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解思路】1．三角函数周期的一般求法(1)公式法；(2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期.2．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略

(1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可.(2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可.3．三角函数的奇偶性的判断方法

三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0，若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z).【知识点3三角函数的单调性问题的解题策略】1．三角函数的单调区间的求解方法求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.【方法技巧与总结】1．对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期.2．与三角函数的奇偶性相关的结论(1)若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=(k∈Z)；若为奇函数，则φ=kπ(k∈Z).(2)若y=Acos(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ=(k∈Z).(3)若y=Atan(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z).【题型1三角函数图象的识别及应用】【例1】（2024·全国·模拟预测）函数fx=cosx⋅ln2x+2−x在区间−3π,3π上的图象可能是（A． B． C． D．【变式1-1】（2024·江苏盐城·模拟预测）函数y=cosx与y=lgA．2 B．3 C．4 D．6【变式1-2】（2024·山东·一模）函数fx=ex−1A． B．C． D．【变式1-3】（2023·河南郑州·一模）已知函数fx=ex+A．fx+gxC．fx⋅gx【题型2三角函数的定义域、值域与最值】【例2】（2024·广东湛江·二模）函数fx=4sin5x−πA．−2,2 B．−2,4 C．−23,4 【变式2-1】（2024·河南郑州·一模）已知函数f(x)=2sinωx−π6(ω>0)在0,π2A．43,2 B．43,83【变式2-2】（2024·安徽安庆·二模）已知函数f(x)=2cos2ωx+sin2ωx−1(ω>0)的图象关于点π4,0对称，且f(x)A．12 B．32 C．52【变式2-3】（2024·内蒙古包头·一模）已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的最大值为2，其图象上相邻的两条对称轴之间的距离为π2，且A．−3 B．−1 C．−2 【题型3三角函数的奇偶性与对称性问题】【例3】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=3sinA．fx的图象关于点5B．若fx+t是偶函数，则C．fx在区间0,πD．fx的图象关于直线x=【变式3-1】（2024·贵州黔南·二模）若函数fx=cosx−πA．5π6 B．4π3 C．【变式3-2】（2024·甘肃陇南·一模）下列函数图象的对称轴方程为x=π3+kA．fx=sinC．fx=sin【变式3-3】（2024·广东佛山·二模）已知函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)在[π4A．x=7π12 B．x=11π12【题型4三角函数的周期性问题】【例4】（2024·天津·一模）下列函数中，以π2为周期，且在区间π4,A．fx=sinC．fx=cos【变式4-1】（2023·湖南长沙·一模）已知函数fx=sinωx−π6(1<ω<2)，若存在x1,A．2π3 B．4π3 C．【变式4-2】（2024·安徽马鞍山·三模）记函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期为T，若π2<T<A．113 B．103 C．83【变式4-3】（2023·内蒙古赤峰·三模）定义运算如果abcd=ad−bc，fx=1052sinωx+φω>0,0<φ<π2，A．3π B．π C．π2 【题型5求三角函数的单调区间、比较大小】【例5】（2024·青海·模拟预测）下列区间中，函数fx=3sinA．0,π2 C．5π4,【变式5-1】（2023·陕西·模拟预测）已知函数fx=sin2x+φ在x=πA．−π12,5π12 B．π【变式5-2】（2023·贵州·模拟预测）已知a=sin1，b=sin32A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=sinπ6−x,gA．π6,π3 B．π3,【题型6根据三角函数的单调性求参数】【例6】（2023·天津·二模）若函数fx=2sinωx+π6ω>0A．1 B．2 C．3 D．4【变式6-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=sinωx+π3(ω>0)的周期为T，且满足T>2π，若函数A．34,1 C．23,1 【变式6-2】（2024·浙江·模拟预测）已知函数fx=Asinωx+φω>0,φ<π2，fx≤A．3 B．5 C．6 D．7【变式6-3】（2023·浙江·模拟预测）定义mina,b=a,a≤bb,a>b设函数fx=minsinωx,A．25,35 B．2,3 C．【题型7三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】【例7】（2024·河南新乡·三模）已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(0<ω<10,0<φ<π)图象的一个对称中心是Aπ8,0A．f(x)=cos2x+π4 B．直线C．f(x)在7π8,11π【变式7-1】（2024·天津·模拟预测）已知fx=sinωx+π①φ=π②若gx的最小正周期为3π，则③若gx在区间0,π上有且仅有3个最值点，则ω的取值范围为④若gπ4=A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式7-2】（2024·河北唐山·一模）已知函数fx=sinA．fx在−π8,π8单调递增C．fx在−π6,π6的值域为1【变式7-3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数fx①fx的图象关于点π②函数ℎx=f③函数gx=2fx④对于函数gx其中所有正确结论的序号为（

）A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④【题型8三角函数的零点问题】【例8】（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数fx=3cosωx+φω<0，−π2<φ<πA．π6,π2 B．−π2【变式8-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=sin2πωxω>0在区间0,2上单调，且在区间0,18A．19,5C．19,1【变式8-2】（2024·全国·一模）已知函数fx=sinωx+π3(ω>0)A．83,11C．[113,【变式8-3】（2023·四川雅安·一模）已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)（ω>0且−π2<φ<π2），设T为函数f(x)的最小正周期，fT4A．17π6,23π6 B．17【题型9三角函数的图象与性质的综合应用】【例9】（2024·上海金山·二模）已知函数y=f(x)，记f(x)=sinωx+φ，ω>0，0<φ<π(1)若函数y=f(x)的最小正周期为π，当f(π6)=1时，求ω(2)若ω=1，φ=π6，函数y=f【变式9-1】（2023·北京海淀·三模）已知函数fx=2sinωx+π(1)求fπ(2)若函数fx在区间0,a上是增函数，求实数a条件①：f0=2；条件②：fx最大值与最小值之和为0；条件③：f【变式9-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=−2cos(1)证明：fx的图象关于直线x=(2)设fx在π,3π2（ⅰ）求t的取值范围；（ⅱ）证明：m+n<5【变式9-3】（23-24高一下·江苏盐城·开学考试）已知函数f(x)=2sin(1)若fx1≤fx≤f(2)已知0<ω<5，函数f(x)图象向右平移π6个单位，得到函数gx的图象，x=π3是gx的一个零点，若函数gx在[m,n]（(3)已知函数ℎ(x)=acos(2x−π6)−2a+3(a>0)，在第（2）问条件下，若对任意x1∈[0,一、单选题1．（2024·福建泉州·一模）已知函数f(x)的周期为π，且在区间π6,π3内单调递增，则A．f(x)=sinx−πC．f(x)=sin2x−π2．（2024·江西九江·模拟预测）函数fx=eA． B．C． D．3．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数fx=sinx+φ−π2<φ<0的图象关于点π12,0对称，若当A．−π6 B．−5π12 4．（2024·广东汕头·三模）已知A，B，C是直线y=m与函数f(x)=2sin(ωx+φ)（ω>0，0<φ<π）的图象的三个交点，如图所示．其中，点A(0,2)，B，C两点的横坐标分别为xA．φ=π4 C．f(x)的图象关于(π,0)中心对称 D．f(x)在5．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,−π2<φ<π2，且x=πA．A=3 B．ω=2C．φ=−π6 6．（2024·天津滨海新·三模）已知函数fx（1）函数fx的图象关于点5（2）函数fx的图象关于直线x=−（3）函数fx在区间−（4）函数fx在区间−以上四个说法中，正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2024·青海海南·二模）已知函数f(x)=cosωx−π3,ω>0,x∈R，且f(α)=−1,f(β)=0.若|α−β|的最小值为πA．−π3+kC．−π12+k8．（2024·四川·模拟预测）已知函数fx=sinωx+π3（ω>0）在区间0,5π6A．45,2 B．45,54二、多选题9．（2024·吉林·二模）已知函数fx=AsinA．φ=B．函数fx在πC．方程fx=1D．θ=−π6是函数10．（2024·湖南长沙·三模）已知函数fx=3A．fxB．函数fx的图象关于直线x=C．不等式fx>D．若fx在区间−π2,11．（2024·贵州贵阳·二模）函数f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,0<φ<πA．ω⋅φ=B．f(x)在0,π3C．函数y=|f(x)|的图象关于直线x=5D．若函数y=|f(x)|+λf(x)在区间−5π6,三、填空题12．（2024·河北衡水·三模）已知x=112是函数f(x)=sin(3πx+φ)0<φ<π213．（2024·陕西西安·模拟预测）若函数fx=2cosωx+π3−1(ω>0)14．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知函数fx=sin2x+φ(φ>0)图象的一个对称中心为π6,0，且f四、解答题15．（2024·浙江·模拟预测）已知函数fx(1)求fπ(2)求函数y=fx16．（2023·广东佛山·一模）已知函