专题4.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图象及应用（举一反三）（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题4.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用【六大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换】 2【题型2由部分图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式】 4【题型3图象与性质的综合应用】 8【题型4函数的零点（方程的根）问题】 12【题型5三角函数模型】 15【题型6函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用】 191、函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用考点要求真题统计考情分析(1)结合具体实例，了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω,φ,A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响

(2)会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型2023年全国甲卷（文数）：第12题，5分2023年全国甲卷（理数）：第10题，5分函数y=Asin(ωx+φ)是三角函数的重要内容，也是高考的热点内容，从近几年的高考情况来看，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换以及由部分图象求函数的解析式是高考考察的主要方向，试题主要以选择题、填空题的形式呈现，难度不高.【知识点1函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换】1．函数y=Asin(ωx+φ)的图象的作法作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图：用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图，主要是通过变量代换，设z=ωx+φ，由z取来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法：由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.2．三角函数的图象变换问题的求解方法解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下：(1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象；(2)变同名：函数的名称要变得一样；(3)选方法：即选择变换方法.【知识点2由部分图象确定函数解析式的解题方法】1．由部分图象确定函数解析式的方法由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标，则令即可求出φ.(2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求.【知识点3三角函数图象、性质的综合应用的解题策略】1．研究函数y=Asin(ωx+φ)性质的技巧研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.2．函数的零点（方程的根）的问题的解题策略函数的零点（方程的根）的个数可转化为两个函数图象的交点个数，据此进行求解即可.3．三角函数模型三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.【方法技巧与总结】1．函数y=Asin(ωx+φ)+k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.2．由y=sinωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.【题型1函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换】【例1】（2024·河北保定·三模）将函数fx=sin2x−π3的图象向左平移π3个单位长度，得到函数gx的图象，则gx=（

）A．sin2x B．−sin2x C．sin【解题思路】由正弦型函数的图象变换直接求得答案.【解答过程】将函数fx=sin得到函数gx故选：C.【变式1-1】（2024·陕西西安·模拟预测）将函数fx=sin2x−π12的图象向左平移π8个单位长度后，得到函数gx的图象，若函数gxA．π6,7C．7π24,【解题思路】结合正弦函数图象的平移先求出g(x)的解析式，然后结合正弦函数的单调性即可求解．【解答过程】将函数fx=sin得到函数g(x)=sin令−π2+2k则−π3+k若函数g(x)在区间0,a3和则a>04a<7π故选：A．【变式1-2】（2024·山东泰安·模拟预测）将函数fx=cos2x−π6图象上的所有点向左平移A．gx=cos2x−2πC．gx在0,π3上的最小值为32 D．直线【解题思路】由平移变换内容得gx=fx+5π6=sin2x【解答过程】对于选项A，由题意，可得gx故A错误；对于选项B，令−π2+2k所以gx在−对于选项C，因为x∈0,π3，所以2x∈∴gx在0,对于选项D，函数gx=sin化简可得x=kπ2+π所以x=π4是故选：D.【变式1-3】（2024·重庆·模拟预测）已知函数f(x)=sin(4x+φ)|φ|<π2，先将函数f(x)的图象向右平移π12个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，即可得到函数g(x)的图象．若函数g(x)的图象关于A．12 B．−12 C．3【解题思路】根据三角函数的图象变换，得到g(x)=sin2x−π3+φ，由gx的图象关于y轴对称，求得【解答过程】先将函数f(x)=sin(4x+φ)的图象向右平移得到y=sin再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)=sin因为函数gx的图象关于y轴对称，所以−π3又因为|φ|<π2，所以φ=−π所以fπ故选：C．【题型2由部分图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式】【例2】（2024·山西晋中·模拟预测）函数fx=AsinA．fB．fC．fx的图象向右平移3D．fx的图象向右平移3【解题思路】由图得到A=2，T=π，代入周期公式求出ω=2，再代入点π8,2【解答过程】对于A、B选项：由图可得A=2，12因为ω>0,∴ω=2所以fx因为图象过点π8,2，所以又φ<π2所以fx对于C、D选项：fx的图象向右平移3π8所以为偶函数，故D错误，C正确；故选：C.【变式2-1】（2024·重庆·三模）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,−π2<φ<πA．−29 B．29 C．−【解题思路】先由图像以及题意求出f(x)的解析式，从而得fθ=sin【解答过程】由图可知A=1,f0=sinφ=3故f(x)=sin(ωx+π故由图4π3ω+π由图4π3−0<又ω>0，结合①②可得ω=12，故所以fθ故f2θ+5π故选：D.【变式2-2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数fx=cosωx+φω>0,φ<A．ω=2 B．φ=−C．直线x=5π12是fx图象的一条对称轴 D．【解题思路】根据周期性求出ω，根据函数过点Aπ9,1【解答过程】依题意T4=5π18−π所以fx又函数过点Aπ9,1，所以f又φ<π2所以fx又f5π12=cosf11π18=cos故选：D.【变式2-3】（2024·陕西商洛·模拟预测）将函数fx的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），然后再向左平移π12个单位长度，得到函数gx=AsinA．fx=3sinC．fx=3sin【解题思路】由图象可得最小正周期，可求ω，A，点−π6,0的坐标代入函数y=g【解答过程】由图像可得A=3，函数y=gx的最小正周期为T=所以ω=2πT=2，将点且函数y=gx在x=−π6则φ−π得φ=π3+2kπk∈Z.因为−因此gx函数gx的图象向右平移π12个单位长度，然后横坐标变为原来的得到函数fx的解析式为f故选：B.【题型3图象与性质的综合应用】【例3】（2024·重庆·三模）如图，函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|≤π2的图像与x轴的其中两个交点分别为A，B，与y轴交于点C，D为线段BC的中点，OB

A．f(x)的最小正周期为12π B．f(x)的图象关于直线x=8C．f(2)=f(−4) D．f(−x+2)为偶函数【解题思路】利用三角函数的图象与性质先含参表示A,B,C,D的坐标，由线段关系求解参数得f(x)=16【解答过程】由题可A(2,0),B2+πω有3A∵AD把Asinφ=13∴ω=π6,∴sinπ解得A=16显然其周期为T=2当x=8时，π6x−πf2f(−x+2)=16故选：C.【变式3-1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，将函数fx的图象向左平移π6个单位长度后得到函数

A．π6,π3 B．3π2【解题思路】由fx的图象，棱台三角函数的性质求得f(x)=2sin(2x−【解答过程】由函数fx的图象，可得3T4=5π所以f(x)=2sin(2x+φ)，又由f(5可得5π6+φ=因为φ<π，所以φ=−π所以g(x)=2sin2x+解得−π所以函数gx的单调增区间是−故选：C.【变式3-2】（2024·四川成都·模拟预测）已知函数fx=Asin①函数fx的图象关于点π②函数fx的解析式可以为f③函数fx在π12,④若把fx图像上所有点的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，再向右平移π12A．①③ B．②③ C．③④ D．①④【解题思路】由图可得A=2，由函数的周期求出ω，再根据函数过点π3,2求出【解答过程】由图可得A=2，3T4=13π12−π所以fx=2sin所以fπ3=2解得φ=−π6+2kπ,k∈所以fx对于①，因为fπ所以函数fx的图象不关于点π对于②，因为y=2cos故函数fx的解析式可以为f对于③，当x∈π12,13π则fx∈0,2，即函数fx在对于④，把fx图像上所有点的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变得到再将y=2sin3x−π6向右平移故选：B.【变式3-3】（2024·辽宁·三模）已知函数fx=AsinA．函数fx的振幅是2，初相是B．若函数fx的图象上的所有点向左平移π12C．若函数fx在π3,πD．若函数fx的图象关于7π12,0中心对称，则函数f【解题思路】根据函数图象得到A，由f0=−1求出φ，即可得到【解答过程】由图可知A=2，且f0=2sin又φ<π2，所以φ=−故函数fx的振幅是2，初相是−将fx=2sinωx−π依题意π12ω−π若函数fx在π3,π2上单调递减，则T2≥又x∈π3,又−π6<π3即函数fx在π3,π2若函数fx的图象关于7π12解得ω=2又ω>0，所以ω=27+127故选：C.【题型4函数的零点（方程的根）问题】【例4】（2024·山西晋城·二模）将函数f(x)=2sin3x+π4的图象向右平移φ（φ>0）个单位长度，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间(0,φ)上恰有两个零点，则A．5π12,3π4 B．3【解题思路】根据三角函数图象的平移变换可得g(x)=2sin(3x+π4−3φ)，由g(x)【解答过程】将函数f(x)=2sin(3x+π得g(x)=2sin(3x+π4−3φ)又g(x)在(0,φ)上有2个零点，所以−2π解得5π12<φ≤3π4，即实数故选：C.【变式4-1】（2024·山西长治·一模）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，若方程f(x)=m在[−A．[−2,−3] B．(−2,−【解题思路】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数f(x)的解析式，再分析f(x)在[−π【解答过程】观察图象知，A=2，函数f(x)的周期T=43[由f(π12)=2，得2×π12于是f(x)=2sin(2x+π3)当2x+π3∈[−2π3,−π2]当2x+π3∈[−π2,π3]显然函数f(x)的[−π2,−方程f(x)=m在[−π2,0]上有两个不相等的实数根，即直线y=m与函数所以实数m的取值范围是(−2,−3故选：B.【变式4-2】（2024·陕西安康·模拟预测）将函数fx=sinx的图象向左平移π6个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数gx的图象，若函数A．1718,2318 B．1718,【解题思路】先利用三角函数图象的变换得出gx=sinωx+π6，再根据二次函数的性质得出gx在0,3【解答过程】将函数fx=sin得到函数y=sinx+π6，再将函数纵坐标不变，得到函数gx所以φx=x2+2x,x≤0所以要使φx在(−∞,3π]法一：令sinωx+π6解得x=−π6则−π6+4法二：因为x∈0,3π，所以所以3π≤3ωπ故选:A.【变式4-3】（2024·天津红桥·一模）将函数f(x)的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π3单位，得到函数g(x)=sin(2x+φ)0<φ<π2的部分图象（如图所示）．对于∀x1，x2

A．g(x)=B．f(x)=C．g(x)在π,D．函数f(x)在0,4π3的零点为【解题思路】由题意可得函数gx的图象在区间a,b上的对称轴为x=x1+x【解答过程】对于A，由题意可知函数gx的图象在区间a,b上的对称轴为x=则x=0与x=x1+又gx1+所以sinφ=32，又0<φ<所以gx对于B，gx=sin2x+π再将其横坐标缩短为原来的12得到f对于C，由x∈π,3所以g(x)在π,对于D，令t=4x−π3，则函数y=sint在−π3,5则t1+t2=π，t2故t1所以x1故选：C．【题型5三角函数模型】【例5】（2024·四川凉山·三模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近位置进仓，转一周大约需要30min．某游客坐上摩天轮的座舱10min后距离地面高度约为（

）A．92.5m B．87.5m C．82.5m D．55【解题思路】以轴心O为坐标原点，与地面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，根据题意，求得函数fx=55sin【解答过程】设座舱距离地面的最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，设函数fx因为摩天轮的最高点距离地面为120m，直径为110m，且转一周大约需要周期T=30，A+b=120,−A+b=10，所以A=55,b=65,ω=2即fx当t=0min时，游客在点P(0,−55)，其中以OP为终边的角为−所以fx当t=10时，可得f所以，摩天轮的座舱t=10后距离地面高度约为92.5m故选：A.【变式5-1】（2024·山西·模拟预测）某质点的位移ycm与运动时间xs的关系式为y=sinωx+φω>0,φ∈−π,π，其图象如图所示，图象与y轴交点坐标为0,−32A．ω=4B．φ=−C．质点在1,3D．质点在0,7π【解题思路】根据正弦函数周期求ω=3判断A，根据特殊点求解φ判断B，根据正弦函数的单调性判断C，根据正弦函数值域判断D.【解答过程】由已知函数图象得，函数的周期T=5π6令y=fx，所以fx=sin3x+φ因为φ∈−π,π，所以又fπ6=12由已知得fx图象相邻的两条对称轴分别为直线x=π6且fx在5π18所以fx在1,由图象得该质点在0,7π18故选：C.【变式5-2】（2023·全国·模拟预测）随着电力的发展与石油的消耗，风力发电越来越受到重视.预计到2025年全球风电新增装机量达到111.2GW，中国的装机量占比达到世界第一.已知风速稳定时风力发电机叶片围绕转轴中心做匀速圆周运动，现有两个风力发电机，A和B分别为两个风力发电机叶片边缘一点，A和B到各自转轴中心距离均为20米，初始时刻A处于所在的发电机转轴中心正上方，B处于所在的发电机转轴中心正下方，且A和B围绕各自发电机转轴中心做匀速圆周运动.由于两个发电机所处位置风速不同，A点转速为5πm/s，B点转速为8πm/s，以时间t（单位：秒）为自变量，A和B与各自发电机转轴中心高度差为应变量，分别得三角函数ft与gt，下列哪种方式可以使ftA．将ft图象上所有点向右平移π个单位长度，再将横坐标扩大到原来的8B．将ft图象上所有点向左平移π个单位长度，再将横坐标缩小到原来的5C．将ft图象上所有点的横坐标扩大到原来的85倍，再向左平移D．将ft图象上所有点的横坐标缩小到原来的58倍，再向右平移【解题思路】根据题意，分别列出函数f(t)与g(t)的解析式，再利用三角函数图象的变换即可求解.【解答过程】由题意可知：三角函数ft与gt的角速度分别为5π又因为初始时刻A处于所在的发电机转轴中心正上方，B处于所在的发电机转轴中心正下方，所以f(t)=20cos(5由三角函数的变换可知：f(t)纵坐标不变，横坐标缩短缩小到原来的58倍得到20cos(8πt)故选项D正确；故选：D.【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）如图，一个筒车按逆时针方向转动．设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d（单位：米）（在水面下，则d为负数）．若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，d与时间t（单位：分钟）之间的关系为d=4sin2t−π6+2．某时刻t0（单位：分钟）时，盛水筒W在过点O（O为筒车的轴心）的竖直直线的左侧，且到水面的距离为5米，则再经过A．在水面下 B．在水面上C．恰好开始入水 D．恰好开始出水【解题思路】根据题意列出计算式，再用两角和差公式计算即可.【解答过程】由题意，5=4sin可得sin2t0−π所以sin2所以再经过π6分钟，可得d=4×在判断d>0时，可以采用放缩法更为直接，过程如下：21<d>0,故盛水筒在水面上．故选：B．【题型6函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用】【例6】（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数f(1)求函数fx(2)将函数y=fx的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数y=gx的图象，求y=g【解题思路】（1）利用两角和差的正余弦公式与辅助角公式化简可得fx（2）根据三角函数图形变换的性质可得gx【解答过程】（1）fxf=2cos所以函数fx的最小正周期为π令2x+π6=kπ，k∈Z，得函数f（2）将函数y=fx的图象向左平移π12个单位后所得图象的解析式为所以gx令2kπ⩽x+π所以−π3+2kπ⩽x⩽所以y=gx在0,2π上的单调递减区间为0,【变式6-1】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数fx(1)若x∈0,π4时，m<f(2)将函数fx的图象的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再将其向右平移π6个单位，得到函数gx的图象.若x∈0,t【解题思路】（1）利用三角恒等变形，转化为正弦型函数，然后利用相位整体思想，结合正弦曲线，求出最值，即可得到答案；（2）根据伸缩和平移变换，得到新的函数解析式，再同样把相位看成一个整体，利用正弦曲线，数形结合，就可以判定端点值的取值范围，从而得到解答.【解答过程】（1）因为fx当x∈0,π4当2x+π3=5π6，即因为x∈0,π4时，m<f即实数m的取值范围为−∞（2）由fx=2sin2x+π再将其向右平移π6，可得：y=2即函数gx因为x∈0,t，所以4x−π3再由函数gx有且仅有4个零点，则满足3解得5π6≤t<13π【变式6-2】（2024·山西临汾·三模）已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,0<φ<(1)求f7(2)求函数gx【解题思路】（1）根据题意求出振幅和周期，再由正显函数的对称轴解出φ=π6，进而得到fx（2）先由图象平移得到gx，法一换元法整体代入求增区间；法二由正弦函数的递增区间结合条件中x【解答过程】（1）依题知函数fx与函数y=3sinx有相同的振幅和周期，所以因为函数fx的图象关于直线x=所以π3即φ=π又因为0<φ<π2，所以所以fxf7（2）g=33法一：因为x∈0,π，所以因为y=sint在故y=gx的单调递增区间为0,π6法二：由−π得−π又因为x∈所以gx的单调递增区间为0,π6【变式6-3】（2023·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数f(x)=2sinωxcosφ+2sinφ−4sin2ωx2sinφω>0,φ<π，其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差(1)求函数fx(2)将函数fx图象上所有点的横坐标变为原来的1tt>0倍，纵坐标不变，得到函数y=gx的图象，若函数y=gx【解题思路】（1）利用三角恒等变换化简可得f(x)=2sin(ωx+φ)，根据最小正周期求出ω，若选①，则根据三角函数的图象平移变换求得φ，可得解析式；若选②，则根据三角函数的对称性求得（2）根据三角函数的伸缩变换可得gx=2sin2tx−π6，结合【解答过程】（1）由题意可得f(x)=2=2sin=2sin由于其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差π4，故T=4×故f(x)=2sin若选①，函数fx的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象对应的函数为由题意知该函数为偶函数，故23由于φ<π且f0<0，即故f(x)=2sin若选②，函数fx的图象的一个对称中心为π12,0则π6由于φ<π且fπ6>0故f(x)=2sin（2）由题意可得gx由于y=gx在区间0,π3即t∈13一、单选题1．（2024·山东青岛·三模）为了得到y=sin2x+cos2x的图象，只要把A．向右平行移动π8个单位长度 B．向左平行移动πC．向右平行移动π4个单位长度 D．向左平行移动π【解题思路】利用诱导公式统一函数名，再根据函数y=Asin【解答过程】y=sin由诱导公式可知：y=又y=则π4−π故选：A.2．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数fx=sin2x+φ（0<φ<π）向左正移φ个单位后在区间0,A．π3 B．π2 C．π6【解题思路】根据图象平移规律、函数的单调性可得答案.【解答过程】函数fx=sin2x+φ向左平移当x∈0,π2∵fx+φ所以−π2+2k可得φ=−π又0<φ<π，∴φ=故选：B.3．（2024·四川自贡·三模）函数f(x)=Asin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π2）的部分图象如图所示，f(x)的图象与y轴交于M点，与x轴交于C点，点N在f(x)图象上，点M、N关于点A．函数f(x)的最小正周期是πB．函数f(x)的图象关于点5πC．函数f(x)在−πD．函数f(x)的图象向右平移π6后，得到函数g(x)的图象，则g(x)【解题思路】A选项，根据M、N关于点C对称得到C点横坐标，从而得到最小正周期T=π；B选项，根据f(x)的图象关于点−π6,0对称和最小正周期得到B正确；C选项，求出ω=2πT=2，将π12,A代入解析式求出【解答过程】A选项，点M、N关于点C对称，故xC设fx的最小正周期为T，则12T=B选项，可以看出函数f(x)的图象关于点−π又fx的最小正周期T=故函数f(x)的图象关于点5πC选项，又ω>0，故ω=2π3+−π6解得π6又|φ|<π2，故当且仅当k=0时，满足要求，故又当x=0时，f(x)=Asinπ3则fx当x∈−π2由于y=sinz在故fx=AsinD选项，gx又g−x=Asin故选：C.4．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数fx=22A．函数fx的最小正周期是B．函数fx在区间πC．函数fx的图象关于点−D．函数f(x)的图象可由函数y=2sin2x【解题思路】根据三角恒等式对已知函数进行化简得fx【解答过程】fx=2=sin2x+cos2x−1=2当x∈π8,又y=sinx在[π2,因为f(−π8)=2sin将y=2sin2x的图象向右平移π8个单位得到y=2故选：B．5．（2024·四川成都·三模）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在平面直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数fx=Asinωx+φ（A>0，ω>0，①函数fx的图象关于点π②函数fx的解析式可以为f③函数fx在π12,④若把fx图象上所有点的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，再向右平移πA．①③ B．②③ C．③④ D．①④【解题思路】根据图象求出函数表达式，对于①，由代入检验法判断；对于②，由诱导公式检验；对于③，由整体代入法求值域检验；对于④，由平移、伸缩变换法则验算即可判断.【解答过程】由图可知A=2,3T4=且2×π3+φ=又因为φ<π，所以只能所以fx对于①，fπ对于②，fx对于③，当x∈π12,13π24时，从而函数fx在π12,对于④，若把fx图象上所有点的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，再向右平移则所得函数是f3综上，正确的编号是②③.故选：B.6．（2024·陕西安康·模拟预测）将函数fx=sinx的图象向左平移π6个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍，可以得到函数gx的图象，若A．0,53 B．53,3 C．【解题思路】先根据图象的变换求出gx【解答过程】将函数fx=sinx的图象向左平移再把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍，得到函数g因为x∈π6,因为gx在π6,即π6ω+π因为6k−1≤2k+53ω>0⇒k≤故选：A.7．（2024·山西晋中·模拟预测）如图所示的音乐喷泉曲线，我们叫葫芦曲线（像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），每过相同的间隔，它的振幅就变化一次，且过点M3π4,32，其对应的方程为y=2−122xπsinωx（x≥0，A．±1 B．±22 C．±1【解题思路】先代入M3π4,32，求出ω=2，从而【解答过程】由题意得32=2−所以sin3ω因为1<ω<3，所以34故3ω4π=所以y=将x=7π6故y=±3所以点N的纵坐标为±3故选：D.8．（2024·四川南充·模拟预测）将函数fx=sinωx−π6(0<ω<6)的图象向右平移π12个单位长度后得到函数A．fx的最小正周期为π B．函数FC．fx在π2,2π3上单调递减【解题思路】A选项，根据图象的平移变换得到gx=sinωx−ωπ12−π6，然后根据0,πω是【解答过程】由题意得gx因为0,πω是gx的一个递增区间，所以g因为0<ω<6，所以ω=4，T=2Fx所以函数Fx的最大值为3x∈π2,2π3则4x−所以fx在πfx的图象如上，由fx与y=−12的图象交点可知，故选：D.二、多选题9．（2024·新疆喀什·三模）已知函数fx=3A．fB．函数fx的最小正周期为C．x=π3是函数D．函数fx的图象可由y=sin2x【解题思路】A由降幂公式，辅助角公式可得答案；B由周期计算公式可得答案；C将x=πD由函数图象平移知识可得答案．【解答过程】Ａ选项，fxB选项，由A选项结合周期计算公式可知最小正周期为2πC选项，将x=π3代入2x−π6=π2D选项，y=sin2x的图象向右平移π12故选：ACD.10．（2024·广西柳州·模拟预测）已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,0<φ<A．gx的一个对称中心B．gx的对称轴方程为C．gx在0,πD．gx的单调递减区间为【解题思路】由题图可得fx=3【解答过程】由题图可得A=3，34T=又f5可得5π6+φ=因为0<φ<π，所以φ=2π所以g=−32sin对于A，当x=π6，所以π6,0不是对于B，令2x+π3=故gx的对称轴方程为x=对于C，x∈0,π2时，2x+故gx在0,π2对于D，令2kπ≤2x+π所以gx的单调递减区间为k故选：BCD．11．（2024·广西南宁·一模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮的圆周上均匀地安装了36个座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，开始转动t分钟后距离地面的高度为H米，当t=15时，游客甲随舱第一次转至距离地面最远处．如图，以摩天轮的轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，则Ht=AsinA．H关于t的函数HtB．若在t1,tC．摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟D．若甲、乙两游客分别坐在P,Q两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆周上的点），则劣弧PQ的弧长l=50【解题思路】对A，先根据题意确定各参数的值，再根据三角函数的奇偶性判断即可；对B，根据Ht1=Ht2代入解析式可得π15t1=2k【解答过程】对A，由题意，A=50,所以Ht=50sinπ15t+φ+60故Ht=50sin对B，由题意Ht1=H即cosπ15t1=k∈N,t1≠t2对C，由题意50sinπ15t−π所以2kπ+2π3所以摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟，故C正确；对D，因为摩天轮的圆周上均匀地安装着36个座舱，故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为2π36因为P,Q两个座舱相隔5个座舱，所以劣弧PQ对应的圆心角是π18故l=π故选：BCD.三、填空题12．（2024·湖南邵阳·三模）宋朝诗人王镃在《蜻蜓》中写到：“轻绡剪翅约秋霜，点水低飞恋野塘”，描绘了蜻蜓点水的情形，蜻蜓点水会使平静的水面形成水波纹，截取其中一段水波纹，其形状可近似于用函数fx=Asinωx+φA>0，【解题思路】利用图象可以观察出振幅和周期，也就是能求出A,ω，最后通过代入最高点坐标去求φ即可.【解答过程】由题知：A=1，T=2πω=4π又∵f(π6)=1，φ<π故答案为：sin313．（2024·安徽池州·模拟预测）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心O距离水面BC的高度为1.5米，设筒车上的某个盛水筒P的初始位置为点D（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，t分钟时，该盛水筒距水面距离为H=ft=Asinωt+φ+bA>0,ω>0,【解题思路】由题意得T=6，ω=2πT=π3，A=3,b=1.5，又【解答过程】由题意得T=6，又ω>0，故ω=2且A+b=4.5,−A+b=−1.5，解得A=3,b=1.5，故H=ft当t=0时，H=0，即3sinφ+1.5=0，又φ<π2故H=ft所以f=3sin故答案为：3.14．（2024·四川南充·模拟预测）将函数fx=sinωx−π6(0<ω<6)的图象向右平移π12个单位长度后得到函数gx的图象，若0,πω【解题思路】根据三角函数图象变换规律求出gx，再由0,πω是gx的一个单调递增区间，可求出ω的值，从而可求出f(x)的解析式，再由x∈0,【解答过程】因为将函数fx=sinωx−π所以gx所以gx的最小正周期为T=所以0,πω是因为0,πω是gx所以−ωπ12因为0<ω<6，所以ω=4，所以fx当x∈0,π时，由fx4x−π6=−π6，或4x−π6所以方程fx=−1故答案为：5.四、解答题15．（2024·云南曲靖·模拟预测）已知函数fx(1)完善下面的表格并作出函数fx在0,2x−−0π11x5f1(2)将函数fx的图象向右平π3个单位后再向上平移1个单位得到gx【解题思路】（1）由表格中所给数据计算得到其他对应数据完善表格；由五点作图法绘出函数fx在0,（2）函数fx的图象向右平π3个单位后再向上平移1个单位得到gx【解答过程】（1）表格如下：2x−−0ππ

311x

0ππ7π5

πf

−010

−1

−函数fx在0,（2）将函数fx的图象向右平π3个单位后再向上平移1个单位得到则gx所以gx≥1则2kπ+得kπ+所以不等式gx≥116．（2024·甘肃·一模）如图，角αα∈R的始边为x轴非负半轴，终边与单位圆交于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为M,M到直线OP的距离为MN.若将MN关于角α的函数关系记为y=f

(1)求y=fx(2)将fx图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再将所得图象向左平移π6个单位