专题5.3 平面向量的数量积及其应用（举一反三）（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题5.3平面向量的数量积及其应用【八大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1平面向量数量积的运算】 4【题型2平面向量的夹角问题】 7【题型3平面向量的模长】 8【题型4平面向量的垂直问题】 11【题型5平面向量的投影】 12【题型6坐标法解决向量问题】 13【题型7平面向量的实际应用】 16【题型8向量数量积与解三角形综合】 181、平面向量的数量积及其应用考点要求真题统计考情分析(1)理解平面向量数量积的含义及其几何意义

(2)了解平面向量的数量积与投影向量的关系

(3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算(4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系(5)会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题2022年新高考全国Ⅱ卷：第4题，5分2023年新高考I卷：第3题，5分2023年新高考Ⅱ卷：第13题，5分2023年北京卷：第3题，5分2024年新高考I卷：第3题，5分2024年新高考Ⅱ卷：第3题，5分平面向量的数量积是高考的热点内容.从近几年的高考情况来看，试题往往以选择题、填空题的形式呈现，主要考查向量的数量积、夹角、模与垂直条件等知识，难度中等，有时会与三角函数、平面几何等相结合命题.学生在高考一轮复习中应注意加强训练，要能灵活运用定义法、坐标法和基底法解决常见的数量积有关问题.【知识点1向量数量积的性质和常用结论】1．向量数量积的性质和运算律(1)向量数量积的性质设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则

①==.

②=0.

③当与同向时，=；当与反向时，=-.

特别地，==或=.

④|a|，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立.

⑤=.(2)向量数量积的运算律由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：

对于向量，，和实数，有

①交换律：=；

②数乘结合律：()=()=()；

③分配律：(+)=+.2．向量数量积的常用结论(1)=；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等号成立.

以上结论可作为公式使用.【知识点2平面向量数量积的解题方法】1．平面向量数量积的两种运算方法(1)基底法：当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.【知识点3数量积的两大应用】1．夹角与垂直根据平面向量数量积的性质：若，为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.2．向量的模的求解思路：(1)坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；(2)公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算；(3)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.【知识点4向量数量积综合应用的方法和思想】1．向量数量积综合应用的三大解题方法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.【知识点5极化恒等式】1．极化恒等式的证明过程与几何意义(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：.证明：不妨设，则，，①，②，①②两式相加得：.(2)极化恒等式：上面两式相减，得：————极化恒等式平行四边形模式：.(3)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．【方法技巧与总结】1．平面向量数量积运算的常用公式(1)；(2).2．有关向量夹角的两个结论(1)若与的夹角为锐角，则>0；若>0，则与的夹角为锐角或0.(2)若与的夹角为钝角，则<0；若<0，则与的夹角为钝角或π.3．向量在向量上的投影向量为.【题型1平面向量数量积的运算】【例1】（2024·江西宜春·模拟预测）在△ABC中，已知AB=AC=2，BD=2DC，若AD⋅BC=2，则AB⋅AC=（

）A．−1 B．1 C．2 D．−2【解题思路】将AD和BC转化成AB和AC来表示，再结合AD⋅BC=2【解答过程】由题意D为BC边靠近C点的三等分点，所以AD=所以AD=4

故cos∠BAC=−12所以∠BAC=2π所以AB⋅故选：D.【变式1-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知向量a=(m,2),b=(n,−1)(n>0)，a,c=2π3，aA．32−262 B．−62【解题思路】根据数量积的坐标表示得到mn=2，再确定b,c，由b⋅c=【解答过程】因为a⋅b=0，所以a,b又b⋅c=32所以b⋅c=又n>0，所以n=1，则m=2，所以a=2,2，则所以a=22故选：A.【变式1-2】（2023·山东日照·一模）已知正六边形ABCDEF的边长为2，P是正六边形ABCDEF边上任意一点，则PA⋅PB的最大值为（A．13 B．12 C．8 D．2【解题思路】以正六边形ABCDEF中心O为原点建立平面直角坐标系如图所示，由向量数量积的坐标表示研究最值.【解答过程】以正六边形ABCDEF中心O为原点建立平面直角坐标系如图所示，AB、DE交y轴于G、H，则C2,0设Px,y，PA=−1−x,−（1）当P在EH上时，则x∈−1,0，y=3，则（2）当P在AG上时，则x∈−1,0，y=−3，则（3）当P在EF上时，则lEF：y=3x+2，x∈（4）当P在AF上时，则lAF：y=−3x+2，x∈综上，所求最大值为12.故选：B.【变式1-3】（2024·北京·三模）已知点N在边长为2的正八边形A1,A2,⋯,A8的边上，点MA．−4−22,22C．−22,4+22【解题思路】以A1为原点，建立平面直角坐标系，表示出点M、N的坐标，计算A【解答过程】以A1为原点，A1A2为x轴，设Nx1,所以A1由于正八边形的每个外角都为π4则x2所以A1故选：C.【题型2平面向量的夹角问题】【例2】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知单位向量a，b满足b⋅2a+b=2，则A．30° B．60° C．120° D．150°【解题思路】根据数量积的运算律求出a⋅【解答过程】因为b⋅2a+b设a与b的夹角为θ，则cosθ=a⋅ba即a与b的夹角等于60°.故选：B.【变式2-1】（2024·江西新余·二模）已知a=3,23，b=−3,λ，若a+A．-1 B．1 C．±1 D．±2【解题思路】利用向量积的运算律计算a+b⋅b，再利用向量数量积的定义计算【解答过程】因为a=3,2所以a⋅a+a+因为a+又a+所以λ2解得λ=1或λ=−1，因为23+λ≠0，所以解得−23所以λ=−1.故选：A.【变式2-2】（2024·湖北·二模）已知平面向量a=1−x,−x−3，b=1+x,2，a⋅b=−4A．π3 B．π4 C．2π3【解题思路】根据题意，由平面向量数量积的坐标运算可得x=【解答过程】a⋅b=∴cos∵〈a+2b故选：B.【变式2-3】（2024·河北·模拟预测）平面四边形ABCD中，点E､F分别为AD,BC的中点，CD=2AB=8,A．516 B．5564 C．−55【解题思路】由向量的加法法则可得2FE=CD【解答过程】因为平面四边形ABCD中，点E､F分别为所以FE=所以2FE由CD=2AB=8两边同时平方可得：4FE所以4×25=CD解得：DC⋅AB=10故选：A.【题型3平面向量的模长】【例3】（2024·河北·三模）已知非零向量a，b的夹角为π3，a=−32,1A．1 B．32 C．2 D．【解题思路】分析可知a=1，向量a，a−b的夹角为π【解答过程】因为a=−3且非零向量a，b的夹角为π3，a−b=1，可知向量a，则a⋅所以a+故选：D.【变式3-1】（2024·山东烟台·三模）已知向量a，b满足a=4，b在a方向上的投影向量为12a，且b⊥2A．4 B．43 C．16 【解题思路】根据题意结合投影向量可得a⋅b=8【解答过程】由题意可知：a=4，即a因为b在a方向上的投影向量为a⋅ba又因为b⊥2a−b则a+b2故选：B.【变式3-2】（2024·湖南长沙·三模）在平行四边形ABCD中，AC=2BD=4，点P为该平行四边形所在平面内的任意一点，则|PA|2A．6 B．8 C．10 D．12【解题思路】设AC与BD的交点为O，由PA=PO+OA，两边平方可表示出【解答过程】设AC与BD的交点为O，由PA=得|PA同理可得|PB|PC|PD所以|4|=4|PO|2+10≥10，当点故选：C.【变式3-3】（2024·湖南永州·三模）在△ABC中，∠ACB=120∘，AC=3，BC=4，DC⋅A．63−2 B．219−4 C．【解题思路】以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，过C垂直BC的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，求得点D的轨迹方程，取BD的中点为M，求得M的轨迹方程，数形结合可求|AB【解答过程】由题意，以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，过C垂直CB的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(−32,332)，B(4,0)所以D的轨迹方程为(x−2)2取BD的中点为M，设M(x,y),D(x可得x=x0+42y=所以点M的轨迹方程为(x−3)2+y2=1由AB+AD=2AM，所以所以|AM所以|AB故选：A.【题型4平面向量的垂直问题】【例4】（2024·西藏林芝·模拟预测）已知向量a=(x,3),b=(2,x+5)，若a⊥(aA．2或3 B．−2或−3 C．1或−6 D．−1或6【解题思路】计算出a−【解答过程】由题意，向量a=(x,3),b=(2,x+5)因为a⊥(a−b)，则x(x−2)+3(−2−x)=0故选：D.【变式4-1】（2024·辽宁沈阳·二模）已知向量a=(2,4),b=(3,−1)，则“k=2”是“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】先计算a⃗+k【解答过程】因为a=(2,4)，b所以a⃗+kb当a⃗a⃗+解得k=±所以“k=2”是a故选：A.【变式4-2】（2024·陕西·模拟预测）已知两个向量a=(2,−1),b=(3,m)，且(A．±1 B．±2 C．±2 D．【解题思路】利用垂直关系的向量表示，结合模的坐标表示求解即得.【解答过程】由(a+b)⊥(a−b因此22+(−1)故选：B.【变式4-3】（2023·全国·高考真题）已知向量a=1,1,b=A．λ+μ=1 B．λ+μ=−1C．λμ=1 D．λμ=−1【解题思路】根据向量的坐标运算求出a+λb，【解答过程】因为a=1,1,b=由a+λb⊥即1+λ1+μ+1−λ故选：D．【题型5平面向量的投影】【例5】（2024·浙江绍兴·三模）若非零向量a，b满足a=b=a+b，则A．2b B．32b C．b【解题思路】利用向量的模长关系可得a⋅【解答过程】根据题意a=b=所以，则所以a⋅则a+2b在b方向上的投影向量为故选：B.【变式5-1】（2024·山东青岛·二模）已知向量a=−1,2，b=(−3,1)，则a在bA．(−32,12) B．(−【解题思路】利用投影向量的定义直接求解即可.【解答过程】依题意，a⋅所以a在b上的投影向量为a⋅故选：A.【变式5-2】（2024·江苏·模拟预测）已知两个非零向量a、b满足a+b=a−A．b B．−b C．12b 【解题思路】由a+b=【解答过程】由a+b=即a2+2a所以a−b在b方向上的投影向量为故选：B.【变式5-3】（2024·湖北武汉·二模）已知x∈R，向量a=x,2,b=2,−1，且aA．5 B．5 C．1,2 D．2,−1【解题思路】借助向量垂直可得x=1，结合投影向量定义计算即可得解.【解答过程】由a⊥b，则有a⋅则a+b=故选：C.【题型6坐标法解决向量问题】【例6】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60∘，动点P在BC边上（包括端点），则AD⋅A．0,1 B．−1,2 C．−2,2 D．−1,1【解题思路】建立平面直角坐标系，利用向量积的坐标计算将目标式化简，求出取值范围即可.【解答过程】如图，作Cy⊥CB，以C为原点，建立平面直角坐标系，易知C(0,0)，A(1,3)，设P(x,0)，且x∈0,2，故AD=(−2,0)，故AD⃗⋅AP⃗=−2故选：C.【变式6-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）如下图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…，P10，记A．18 B．180 C．−18 D．−180【解题思路】建立坐标系，求出直线B3【解答过程】以A为坐标原点，AC1所在直线为则B1(1,3)，B2(3,3)，设Pi(xi,yi)，则Mi所以M1故选：B.【变式6-2】（2024·陕西安康·模拟预测）如图，已知AB是圆O的直径，C是圆O上一点，AC=CB，点P是线段BC上的动点，且△PAB的面积记为S1，圆O的面积记为S2，当PA⋅A．1π B．2π C．3π【解题思路】以O为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算分析可知点P与点C重合时，PA⋅【解答过程】由题意可知：OC⊥AB，以O为坐标原点建立平面直角坐标系，不妨设OC=2，则A−2,0可知直线BC对应的一次函数解析式为y=2−x，可设Pa,2−a可得PA=则PA⋅PB=因为y=2a−12−2且0≤a<2，可知当a=0时，即点P与点C重合时，PA⋅此时S1=12×2×4=4故选：A.【变式6-3】（2024·贵州贵阳·一模）如图，在边长为2的正方形ABCD中．以C为圆心，1为半径的圆分别交CD,BC于点E,F．当点P在劣弧EF上运动时，BP⋅DP的取值范围为（A．1−22,−1C．−1,1−2 D．【解题思路】根据给定条件，建立坐标系，设出点P的坐标，利用数量积的坐标表示建立函数关系，求出函数的值域即可.【解答过程】依题意，以点C为原点，直线DC,BC分别为x,y轴建立平面直角坐标系，如图，设点P(cosθ,sin则BP=(因此BP⋅由−π≤θ≤−π2，得因此1−22所以BP⋅DP的取值范围为故选：B.【题型7平面向量的实际应用】【例7】（2024·吉林长春·一模）长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|=10km/h，水流的速度v2的大小|v2|=4km/h，设v1和vA．−215 B．−25 C．【解题思路】由题意知v1【解答过程】由题意知v1+v2⋅v2故选：B．【变式7-1】（2024·浙江温州·二模）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：W=F⋅S（其中W是功，F是力，S是位移）一物体在力F1=2,4和F2A．25 B．5 C．−5 D．−25【解题思路】利用条件，先求出两个力的合力F1+F【解答过程】因为F1=2,4，F2=−5,3，所以F1+F故选：A.【变式7-2】（2024·山东潍坊·二模）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是F1,F2，且F1,F2与水平夹角均为45°【解题思路】根据力的平衡有|G|=|F【解答过程】由题意知|G|=|F1+所以|G所以|G所以|G故答案为:20.【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）如图，某物体作用于同一点O的三个力F1，F2，F3使物体处于平衡状态，已知F1=1N，F2=2N，F【解题思路】根据三力平衡得到F1→+【解答过程】由题意知三力平衡得F1→+两边同平方得F1→2即12+2×1×2×−故答案为：3N【题型8向量数量积与解三角形综合】【例8】（2024·江西·三模）已知钝角△ABC的面积为3,AB=4,AC=2，则AB·AC的值是（A．−6 B．−27 C．27或−27 【解题思路】根据题设求得sinA=34，依题分角A【解答过程】依题意，12×2×4sin若角A为钝角，则cosA=−由余弦定理，BC此时，AB·若角C为钝角，则cosA=由余弦定理，BC此时BC2+A此时AB·故选：C.【变式8-1】（2024·贵州毕节·三模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=2π3，若点D满足AD⋅AB=0，且A．12 B．2 C．14【解题思路】由AD=45AC+【解答过程】由AD=45故4(AD−AC)=AB设S△ACD,SABD的高为

由AD⋅AB=0得，AD⊥AB而A=2π3，故∠CAD=故S△ACDS△ABD故选：A.【变式8-2】（2024·山东菏泽·模拟预测）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知AB(1)若λ=1，判断△ABC的形状；(2)若λ=12，求【解题思路】（1）利用平面向量数量积的定义和余弦定理化简已知，可得解；（2）根据（1）可得b2−a【解答过程】（1）根据题意，AB⋅即AB⋅所以bcb化简得b2当λ=1时，得b2=c（2）当λ=12时，根据（1），有根据正弦定理，有sin2即sinB−根据和差化积公式，得2sin即2sinB−A=所以3tan设tanA=t,则所以tanB−A当且仅当1t=3t，即即当A=π6,B=π3【变式8-3】（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，两射线l1、l2均与直线l垂直，垂足分别为D、E且DE=1.点A在直线l上，点B、(1)若F为线段BC的中点（未画出），求AF⋅(2)若△ABC为等边三角形，求△ABC面积的范围.【解题思路】（1）建立坐标系，利用向量坐标运算结合二次函数的性质得到所求最小值；（2）设正三角形ABC的边长为a，设BA,DE=θ则DE,AC=2π3−θ,DE=1，利用向量的投影向量关系BA在DE上的投影向量为DA,AC在DE上的投影向量为AE,DE=【解答过程】（1）以D为坐标原点建立如图所示的直角坐标系xOy,

由已知可得F点的坐标为12，设A则AF=∴AF⋅当且仅当y=14时，AF⋅（2）设正三角形ABC的边长为a，对于直线l上任意一点A，对于不同的情况如图所示：

设BA,DE=θ，则θ∈0,2πBA在DE上的投影向量为DA,AC在DE上的投影向量为AE,DE=DA+AE=BA∴acosθ−π又∵θ−π3∈−π△ABC面积S=12a一、单选题1．（2024·黑龙江·模拟预测）已知向量|a|=3,|a−bA．3 B．2 C．5 D．3【解题思路】对|a−b|=|a【解答过程】由|a−b所以b2所以|a+b所以|a故选：D.2．（2024·江西吉安·模拟预测）若a=1,x,b=2,−2A．2 B．−2 C．−22【解题思路】由题设可得a⋅b=0【解答过程】a+b=a−b两边平方得故选:D.3．（2024·辽宁·模拟预测）若a，b是夹角为60°的两个单位向量，λa+b与2aA．0 B．2 C．−1 D．−2【解题思路】由数量积的定义可求出a⋅【解答过程】解：a，b是夹角为60°则a=b=1因为λa+b则λa即2λ−1+2−λ×1故选：A.4．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量a,b满足a=2,b=3,0,A．16,0 B．13,0 C．【解题思路】将a−b=【解答过程】因为a=2,b=3所以a−b2所以向量a在向量b方向上的投影向量为a⋅故选：C.5．（2024·陕西安康·模拟预测）若平面向量a,b满足a=2,A．22 B．−22 C．1【解题思路】根据已知条件，将a+【解答过程】设向量a,b夹角为a+b=又a=即2+1+2×2×1×cos故选：A.6．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知向量a=(−3,1),A．|b−a|=5C．向量b在向量a上的投影为102 D．若c=【解题思路】由条件根据向量线性运算坐标公式求b−a，再由向量的模的坐标表示计算|b−a|，判断A，根据定义单位向量定义和向量的线性运算坐标公式求【解答过程】对于A：由a=(−3,1),b=(2,1)可得，b对于B：因为a=(−3,1)，所以a所以a方向上的单位向量为aa对于C,向量b在向量a上的投影为bcos对于D：b⋅c=(2,1)⋅故选：D.7．（2024·四川绵阳·模拟预测）某公园设计的一个圆形健身区域如图所示，其中心部分为一个等边三角形广场，分别以等边三角形的三条边作为正方形的一条边构造三个正方形区域用于放置健身器材，其中每个正方形有两个顶点恰好在圆上．若AB=2a，则BD⋅CE=A．−4(2+3)a2 B．−2(2+3)【解题思路】建立平面直角坐标系，利用坐标法计算数量积.【解答过程】如图，以B为坐标原点建立平面直角坐标系，则B0,0，E0,−2a，又∠BCD=60°+90°=150°，所以∠DCx=30°，则D2a+所以BD=2a+3所以BD⋅故选：C.8．（2024·四川成都·三模）在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，点E满足2AE=3EB，在平面ABCD中，动点P满足PE⋅PBA．41+4 B．41−6 C．213【解题思路】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算即可结合三角函数的性质求解.【解答过程】以O为坐标原点（O是BE中点），建立如图所示的直角坐标系，因为在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，2AE=3EB所以动点P在以O为圆心，1为半径的圆上运动，故设Pcos则A0,4DP⋅其中锐角φ满足tanφ=54，故DP故选：A.二、多选题9．（2024·山东·模拟预测）已知向量a=1,3，bA．a⋅b=2 B．a与C．a⊥a+2b D．a【解题思路】利用向量的坐标运算即可，其中a+b在b上的投影向量公式为【解答过程】对于A，由向量a=1,3，b对于B，由向量的夹角公式得：，所以a与b的夹角为2π3对于C，由a+2b=1,3对于D，由a+b=1,3a+故选：CD.10．（2023·山东潍坊·模拟预测）已知非零向量a≠e，e→=1，对任意t∈R，恒有A．a在e上的投影的数量为1 B．aC．a⊥a−【解题思路】根据数量积的运算律求得a⋅【解答过程】由|a−te又e=1，令a⋅e=m则上式等价于故Δ=4m2−42m−1≤0，解得对A：由a⋅e=a⋅ecosa⋅对B：a+e2∴a+e对C：a⋅a−对D：e⋅a−故选：ABD.11．（2024·河北保定·一模）已知P为△ABC所在平面内一点，则下列正确的是（

）A．若PA+3PB+2PC=B．若PA+PB+PC=C．若AB⋅AC>0D．若AP=13AB+2【解题思路】设AB中点为D，BC中点为E，由PA+3PB+2设AB中点为D，由PA+PB+由AB⋅AC>0知A根据平面向量基本定理可知BP=23【解答过程】对于A，设AB中点为D，BC中点为E，∵PA+3PB∴2PD=−4PE，即PD又DE为△ABC的中位线，∴点P在△ABC的中位线上，A正确；对于B，设AB中点为D，由PA+PB+又PA+PB=2PD，∴CP=2PD∴P为△ABC的重心，B正确；对于C，∵AB⋅AC>0，∴AB与AC夹角为锐角，即A对于D，∵AP=13AB+23AC∴S故选：ABD.三、填空题12．（2024·陕西安康·模拟预测）已知向量a=(−2,k−3)，b=(k,k−2)，且a⊥b，则k=1【解题思路】依题意a⋅【解答过程】因为a=(−2,k−3)，b=(k,k−2)，且所以a⋅b=−2k+k−3k−2故答案为：1或6.13．（2024·上海·模拟预测）已知向量a，b，c满足a=b=1，c=45【解题思路】根据已知条件依次求出a·b=0、a·c=−1、b·【解答过程】由题a+b=−c，故⇒1+1+2a·ba+c=−b，故⇒1+2+2a·cb+c=−a，故⇒1+2+2b·c所以a−且a−c=所以cosa故答案为：4514．（2024·天津河西·二模）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2CD=2AD=2，在等腰直角三角形CDE中，∠C=90°，则向量AE在向量CB上的投影向量的模为22；若M，N分别为线段BC，CE上的动点，且AM⋅AN=52，则【解题思路】根据题意，建立平面直角坐标系，利用坐标法求解投影向量的模；再设BM=λBC=−λ,λ，CN=μCE=【解答过程】根据题意，如图，建立平面直角坐标系，因为AB=2CD=2AD=2，所以A0,0所以，AE=所以，向量AE在向量CB上的投影向量为AEcos故其模为−1因为M，N分别为线段BC，CE上的动点，所以，设BM=λBC=−λ,λ，所以AM=所以AM⋅AN=2−λ+λ+λμ=所以MD=所以MD⋅当且仅当λ=12λ，即故答案为：22；2四、解答题15．（2024·天津河北·模拟预测）已知向量a=3,4，b=(1)若a⊥b，求(2)若c∥a−2b，求向量【解题思路】（1）根据向量垂直的坐标表示求x，再代入模的公式，即可求解；（2）首先根据两向量平行求x，再代入向量夹角的余弦公式，即可求解.【解答过程】（1）由a