专题5.4 复数（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题5.4复数【七大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1复数的概念】 6【题型2复数的四则运算】 6【题型3复数的几何意义】 7【题型4复数的相等】 7【题型5复数的模】 7【题型6复数的三角表示】 8【题型7复数与方程】 91、复数考点要求真题统计考情分析(1)通过方程的解，认识复数

(2)理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义

(3)掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义2022年新高考全国I卷：第2题，5分、Ⅱ卷：第2题，5分2023年新高考I卷：第2题，5分2023年新高考Ⅱ卷：第1题，5分2024年新高考I卷：第2题，5分2024年新高考Ⅱ卷：第1题，5分2024年全国甲卷（文数）：第1题，5分、（理数）：第1题，5分复数是高考的热点内容，是高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，高考对复数的考查比较稳定，往往以单选题、填空题的形式考查，考查内容、难度变化不大，主要考查复数的概念、运算及其几何意义，属于简单题.预测明年高考复数依旧以单选题、填空题形式呈现，比较简单.【知识点1复数的概念】1．复数的概念(1)复数的概念

我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.这样，方程+1=0在复数集C中就有解x=i了.(2)复数的表示复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.(3)复数的分类对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.显然，实数集R是复数集C的真子集，即RC.

复数z=a+bi可以分类如下：

复数.

2．复数相等在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.【知识点2复数的几何意义】1．复数的几何意义(1)复平面

根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.

如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.(2)复数的几何意义——与点对应

由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.(3)复数的几何意义——与向量对应

在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.

因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义.2．复数的模向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).3．共轭复数(1)定义

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.(2)几何意义互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.(3)性质①=z.

②实数的共轭复数是它本身，即z=z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.4．复数的模的几何意义(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义.(2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部.【知识点3复数的运算】1．复数的四则运算(1)复数的加法法则

设=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.(2)复数的减法法则类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).

根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则.(3)复数的乘法法则

设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+=(ac-bd)+(ad+bc)i.

可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可.(4)复数的除法法则(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).

由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.2．复数加法、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义在复平面内，设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形(如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.(2)复数减法的几何意义两个复数=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复数的差-对应的向量是-，即向量.如果作=，那么点Z对应的复数就是-(如图所示).

这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.3．复数运算的常用技巧(1)复数常见运算小结论①；②；③；④；⑤.(2)常用公式；；.【知识点4复数有关问题的解题策略】1．复数的概念的有关问题的解题策略(1)复数z=a+bi(a,b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部b=0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a=0且b≠0.(2)复数z=a+bi(a,b∈R)的模记作或，即.(3)复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为，则，即，若，则.2．复数的运算的解题策略(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算；(2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轮复数.3．复数的几何意义的解题策略由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.4．复数的方程的解题策略(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.【方法技巧与总结】1．(1±i)2=±2i；；.2．.3．.4．复数z的方程在复平面上表示的图形(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；(2)|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心，r为半径的圆.【题型1复数的概念】【例1】（2024·湖北·模拟预测）已知z=i−1+2i，则z的虚部为（

）A．2 B．−1 C．2i

D．−【变式1-1】（2024·宁夏银川·一模）已知复数z=m2−1+m+iA．1 B．−1 C．1或−1 D．2【变式1-2】（2024·吉林白山·一模）复数z=i+2i2+3A．2i B．−2i C．2 【变式1-3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知复数z=m2−7m+6+m2A．±6 B．1或6 C．−6 D．1【题型2复数的四则运算】【例2】（2024·西藏·模拟预测）已知复数z=2−i，则zz−zA．−12+i B．12−【变式2-1】（2024·河南·三模）已知i为虚数单位，1+i31−A．1+i B．1−i C．−1+i【变式2-2】（2024·陕西西安·三模）已知复数z=3+i，则z−iz−1A．−3 B．−35 C．3 【变式2-3】（2024·北京·三模）若复数z=a−1+5a+1i为纯虚数，其中a∈R，i为虚数单位，则a+iA．i B．−i C．1 D．【题型3复数的几何意义】【例3】（2024·江西上饶·模拟预测）在复平面内，复数z=12+iA．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【变式3-1】（2024·重庆·二模）若复数z=2−a+2a−1ia∈RA．第一象限内 B．第二象限内C．第三象限内 D．第四象限内【变式3-2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）复平面内A,B,C三点所对应的复数分别为1−i,2−i,3+i，若四边形ABCDA．2 B．2+i C．1 D．【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）已知z1=2−i，z2=a−2i（a∈R，i为虚数单位）．若z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，A．1 B．－1 C．4 D．－4【题型4复数的相等】【例4】（2023·全国·三模）已知i3=a−bia,b∈R，则A．−1 B．0 C．1 D．2【变式4-1】（2024·辽宁·模拟预测）已知x+yi1+i=2−i，x,y∈A．2 B．3 C．4 D．5【变式4-2】（2023·内蒙古包头·一模）设a(1+i)+b=−i，其中a，bA．a=−1,b=−1 B．a=−1,b=1 C．a=1,b=1 D．a=1,b=−1【变式4-3】（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知i为虚数单位，x,y为实数，若x+yi+2=3−4i+2yA．2 B．3 C．4 D．5【题型5复数的模】【例5】（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知复数z=i1−i，z表示z的共轭复数，则zA．24 B．12 C．22【变式5-1】（2024·河北·模拟预测）若复数z=3−4i，则z⋅i−A．2 B．5 C．52 D．【变式5-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知a∈R，若z=a+i2i−1A．2 B．2 C．1 D．1【变式5-3】（2024·山东枣庄·模拟预测）已知复数z1,z2,z1≠z2，若A．1 B．3 C．2 D．2【题型6复数的三角表示】【例6】（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式(cosx+i⋅sinA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式6-1】（2024·广东·模拟预测）棣莫弗公式(cosx+isinx)n=cosnx+isinA．−ω B．1ω C．ω D．【变式6-2】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）复数z=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位)在复平面内对应点为Z，设r=OZ,θ是以x轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角，则z=a+bi=rcosθ+isinθ，把rcosθ+isinθA．2cosπ12C．62cos5【变式6-3】（2023·湖北恩施·模拟预测）任意一个复数z=a+bi都可以表示成三角形式，即a+bi=rcosθ+isinθ．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复数z1=r1A．12 B．12+32【题型7复数与方程】【例7】（2024·山西阳泉·三模）已知2+i是实系数方程x2+px−q=0的一个复数根，则p+q=A．−9 B．−1 C．1 D．9【变式7-1】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）在复数范围内方程x2−2x+2=0的两个根分别为x1，x2，则A．1 B．5 C．7 D．10【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）已知1+2i是方程x2+mx+5=0(m∈R)的一个根，则m=A．－2 B．2 C．i D．－1【变式7-3】（2024·浙江杭州·模拟预测）已知方程x2+ix+1=0（其中i为虚数单位）的两根分别为z1A．z12=z22>0 B．一、单选题1．（2024·北京大兴·三模）已知m−i2为纯虚数，则实数m=（A．0 B．1 C．−1 D．±12．（2024·新疆·三模）复数z满足z+2i=z，则zA．−i B．i C．−1 D．3．（2024·陕西西安·模拟预测）若复数z=10i1−3iA．5 B．10 C．5 D．104．（2024·浙江·模拟预测）若复数z满足z+2z=3+i（i为虚数单位)，则zA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（2024·浙江·模拟预测）已知z=−1+3i2，则A．1 B．3 C．2 D．36．（2024·四川内江·模拟预测）若复数z满足z2−2z+4=A．3 B．2 C．5 D．27．（2024·陕西安康·模拟预测）已知复数z满足3−iz−i=3，则复数A．12−32i B．128．（2024·四川绵阳·模拟预测）欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ把自然对数的底数e，虚数单位i，cosA．−1 B．0 C．1 D．i二、多选题9．（2024·江苏无锡·模拟预测）设z1,zA．z1z2C．若z1=z2，则z1210．（2024·湖北荆州·三模）已知复数z=m2−1+A．若z为纯虚数，则m=±1B．若z为实数，则z=0C．若z在复平面内对应的点在直线y=2x上，则m=−1D．z在复平面内对应的点不可能在第三象限11．（2024·浙江舟山·模拟