专题6.5 数列求和（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题6.5数列求和【九大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1公式法】 3【题型2错位相减法求和】 4【题型3裂项相消法求和】 5【题型4分组（并项）法求和】 6【题型5倒序相加法求和】 7【题型6含有（-1）n的类型求和】 8【题型7奇偶项问题求和】 9【题型8先放缩再裂项求和】 11【题型9新定义、新情景下的数列求和】 121、数列求和考点要求真题统计考情分析(1)熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式(2)掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法2023年新高考I卷：第20题，12分2023年新高考Ⅱ卷：第18题，12分2023年全国甲卷（理数）：第17题，12分2024年新高考Ⅱ卷：第12题，5分2024年全国甲卷（文数）：第17题，12分2024年全国甲卷（理数）：第18题，12分数列是高考的热点内容，命题形式多种多样，大小均有，属于高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，数列求和往往以解答题的形式考查，难度中等或稍难，往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合，与不等式结合时“放缩”思想及方法尤为重要，需要灵活求解.去年高考压轴题中出现数列的新定义、新情景题，综合性强，难度大，需要灵活求解.【知识点1数列求和的几种常用方法】1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.①等差数列的前n项和公式：.②等比数列的前n项和公式：=.2．分组求和法与并项求和法(1)分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.(2)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解.3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.常见的裂项技巧：(1).

(2).

(3).(4).

(5).5．倒序相加法如果一个数列{}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.【方法技巧与总结】常用求和公式(1).(2).(3).(3).【题型1公式法】【例1】（2024·四川达州·二模）等差数列an的前n项和为Sn,a1=8，且S9=0.(1)求Sn(2)若bn为等比数列，b1=【变式1-1】（2024·四川成都·模拟预测）已知{an}是等差数列，a1=1，且a(1)求数列{a(2)求数列{2an}的前【变式1-2】（2024·辽宁·一模）已知Sn为数列{an}的前n项和，满足Sn=1(1)求证：当n≥5时，{a(2)求{an}的前n【变式1-3】（2024·江西赣州·二模）已知数列an满足a1=14，a(1)求证：数列1an−1(2)记an的前n项和为Sn，证明：【题型2错位相减法求和】【例2】（2024·河南·三模）已知等差数列an满足a2=5(1)求an(2)求数列an⋅2【变式2-1】（2024·黑龙江牡丹江·一模）设n∈N∗，若数列an的前n项和为Sn，且an(1)求数列an(2)若an⋅bn是以2为首项，4为公差的等差数列，求数列bn【变式2-2】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,2S(1)求an(2)若bn=an2n,求数列【变式2-3】（2024·天津·模拟预测）数列an是等差数列，其前n项和为Sn，数列bn是等比数列，S3−S2=3，(1)求数列an、b(2)anbn的前n项和T【题型3裂项相消法求和】【例3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知数列an满足a(1)证明：数列2n(2)设bn=an+1an+2a【变式3-1】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）记Sn为数列an的前n项和，(1)求数列an(2)设bn=(−1)na【变式3-2】（2024·福建龙岩·三模）若数列an是公差为1的等差数列，且a3=2，点an,bn在函数f(x)=3x(1)求数列an(2)设cn=bn4SnSn+1【变式3-3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知等差数列an的前n项和为Sn，且(1)求数列an(2)若a1=−1，求数列1ana【题型4分组（并项）法求和】【例4】（2024·浙江·模拟预测）已知数列an为公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，S7=49，且a2(1)求an(2)若数列an+bn是公比为3的等比数列，且b3=22，求【变式4-1】（2024·山西·三模）已知等差数列an的公差d>0，前n项和为Sn，且a3(1)求数列an(2)若bn=an,n=2k−12n【变式4-2】（2024·黑龙江·三模）已知等差数列an的公差d>0，a2与a8(1)求数列an(2)设bn=an,n【变式4-3】（2024·湖南岳阳·三模）已知等差数列an满足：a1=2，且a1，(1)求数列an(2)若等差数列an的公差不为零且数列bn满足：bn=4n2【题型5倒序相加法求和】【例5】（2024·上海·模拟预测）已知fx=12x2+12x，数列(1)求数列an(2)若gx=4x4x+2【变式5-1】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列an满足：a12+a(1)求数列an(2)求bn(3)求b1【变式5-2】（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）已知数列an满足a12+a(1)求数列an(2)求数列nan的前n项和(3)求数列bn的前99项的和T【变式5-3】（23-24高二下·全国·课前预习）已知函数fx(1)求证fx(2)若数列an的通项公式为an=fnm（m为正整数，n=1，2，⋯，m），求数列a【题型6含有（-1）n的类型求和】【例6】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列an满足a1=1，an>0，Sn是数列a(1)求数列an(2)设bn=(−1)【变式6-1】（23-24高二下·广东佛山·期中）设an是等差数列，bn是公比大于0的等比数列，已知a1=b(1)求an和b(2)设cn=−1nan+【变式6-2】（2024·陕西渭南·二模）已知等比数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足a1(1)求数列an(2)若数列bn满足bn=an+(−1)【变式6-3】（2024·陕西安康·模拟预测）记Sn为数列an的前n项和，已知(1)求an(2)若bn=(−1)nan+【题型7奇偶项问题求和】【例7】（2024·山东·二模）已知an是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且a(1)求数列an(2)设bn=2an,n为奇数【变式7-1】（2024·陕西安康·模拟预测）记数列an的前n项和为Sn，已知an(1)证明：an(2)记bn=2an,n为奇数【变式7-2】（2024·福建泉州·二模）已知数列an和bn的各项均为正，且a3=18b1，bn是公比3的等比数列．数列a(1)求数列an，b(2)设cn=bn+3bn+3−3【变式7-3】（2024·福建厦门·三模）设Sn为数列an的前n项和，已知a1(1)求an(2)若bn=an,n为奇数1【题型8先放缩再裂项求和】【例8】（2024·福建厦门·二模）已知数列an满足a1=2（1）证明：数列1a（2）令bn=1【变式8-1】（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知数列an的前n项和为Sn，a1（1）求证1a（2）求证：Sn【变式8-2】（23-24高一下·四川眉山·期末）已知数列an满足a1=1，2an+1an+a(1)求证：数列bn(2)若存在n∈N+，使不等式a1(3)设正项数列cn满足cn2【变式8-3】（2024·广东惠州·一模）约数，又称因数．它的定义如下：若整数a除以整数mm≠0除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数．设正整数a共有k个正约数，记为a1，a2，…，ak−1，(1)当k=4时，若正整数a的k个正约数构成等比数列，请写出一个a的值；(2)当k≥4时，若a2−a1，a3(3)记A=a1a【题型9新定义、新情景下的数列求和】【例9】（2024·陕西·三模）数列an的前n项的最大值记为Mn，即Mn=maxa1,a2,⋅⋅⋅,an(1)设数列pn的“生成数列”为qn，求证：(2)若an=2n−3n【变式9-1】（2024·重庆·模拟预测）对于数列an，定义Δan=an+1−ann∈(1)试写出“2−函数”f(2,n)，并求f(2,3)的值；(2)若“1−函数”f(1,n)≤15，求n的最大值；(3)记函数S(x)=x+2x2+⋯+nxn，其导函数为S【变式9-2】（2024·山东泰安·模拟预测）已知数列an是斐波那契数列，其数值为：1,1,2,3,5,8,13,21,34⋅⋅⋅⋅⋅⋅.这一数列以如下递推的方法定义：a1=1，a2=1，an+2=an+1+a(1)已知数列cn满足cn=man（n∈N*，(2)设数列{dn}的前n项和为S（i）若数列{dn}为“1（ii）在（i）问的前提下，若数列fn满足fn=anSn，n∈N*，其前n【变式9-3】（2024·江西·模拟预测）我国元代数学家朱世杰在他的《四元玉鉴》一书中对高阶等差数列求和有精深的研究，即“垛积术”．对于数列a1,a2,⋅⋅⋅,an,⋅⋅⋅，①，从第二项起，每一项与它前面相邻一项的差构成数列a11,a12,⋅⋅⋅,a1n−1,⋅⋅⋅，②，称该数列②为数列①的一阶差分数列，其中a1i=ai+1(1)若高阶等差数列an为3,4,9,18,31,48,⋅⋅⋅，求数列a(2)若r阶等差数列bn的通项公式b（ⅰ）求r的值；（ⅱ）求数列bn的前n项和S附：12一、单选题1．（2024·新疆·二模）已知等差数列an的前n项和为Sn，若a7a8A．S4 B．S5 C．S62．（2024·四川内江·模拟预测）在数列an中，已知a1=12A．1929 B．2829 C．29303．（2024·湖北·模拟预测）已知an是各项均为正数的等比数列，a1+a2+aA．2 B．3 C．4 D．54．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知数列bn是公比为q（q≠1）的正项等比数列，且2lnb1012=0，若fA．4069 B．2023C．2024 D．40465．（2024·河北张家口·三模）已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1=1,aA．3×251−156 B．3×251−1036．（2024·四川攀枝花·三模）数列an的前n项和为Sn，a1=−1，nan=A．−149 B．−49 C．49 D．1497．（2024·天津北辰·模拟预测）设数列an满足a1+2a2A．53 B．85 C．1278．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知数列an的各项均为正数，a1=1,an+1−an=A．615 B．620 C．625 D．630二、多选题9．（2023·山东日照·模拟预测）已知数列an中，an=2n+1,A．anbB．(−1)nC．1anan+1D．an+10．（2024·吉林·模拟预测）已知在公差不为0的等差数列an中，a4=−5,a5是a2与a6的等比中项，数列bn的前A．an=2n−13 C．Sn=−111．（2024·贵州毕节·三模）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S4A．an=2n−1 C．数列1anan+1的前n项和为2n2n+1 D．数列三、填空题12．（2024·山东青岛·三模）已知等差数列an的公差d≠0，首项a1=12，a4是a2与a8的等比中项，记S13．（2024·四川·三模）在数列an中，已知a1=12，．14．（2024·江西宜春·模拟预测）已知数列an是等差数列，bn=an−8,n为奇数2an+1,n为偶数，记Sn，Tn四、解答题15．（2024·内蒙古包头·三模）已知数列an的前n项和为Sn，a1(1)证明：数列Sn−1是等比数列，并求(2)求数列1an的前n项和1