自动控制原理：第2章-控制系统的数学模型

自动控制原理

第二章控制系统的数学模型

§2.1引言

§2.2控制系统的时域数学模型复习：拉普拉斯变换有关知识自动控制原理课程的任务与体系结构§2控制系统的数学模型自动控制原理时域模型—微分方程复域模型—传递函数§2.1引言数学模型描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式

建模方法

解析法（机理分析法）根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程

实验法（系统辨识法）给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性§2.2控制系统的数学模型—微分方程线性定常系统微分方程的一般形式§2.2控制系统的数学模型—微分方程§2.2.1

线性元部件及系统的微分方程例1R-L-C串连电路控制系统的数学模型—基本术语：2024/11/1a.输入量：体现引起运动的原因的物理量。本例中，Ur(t)是输入量b.受控量：体现运动的物理量。

本例中，电流i(t)、uc(t)是受控量。c.输出量：需要重点研究的受控量。d.中间变量：某些受控制量选为输出量后，其余的受控量就视作中间变量。把uc(t)选作输出量，i(t)为中间量。§2.2控制系统的数学模型—分析法建模的步骤2024/11/1建立物理模型。任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。列写原始方程。利用适当的物理定律—如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等）选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模型时要求），消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。§2.3线性微分方程的解2024/11/1有两种解法（1）正规解法;（2）拉普拉斯变换法1.正规解法的解是特解，是齐次线性微分方程的通解。代表对象的自由运动。§2.3线性微分方程的解2024/11/1例特征方程是特征根是齐次微分方程的解§2.3线性微分方程的解2024/11/1定义：如果微分方程的特征根是其中没有重根，则把函数定义为该微分方程所描述的运动的模态。每一种模态代表一种类型的运动形态。

线性定常微分方程求解微分方程求解方法

复习拉普拉斯变换有关内容（1）1复数有关概念

（1）复数、复函数复数复函数例1（2）模、相角（3）复数的共轭模相角

复习拉普拉斯变换有关内容（2）2拉氏变换的定义

（1）阶跃函数像函数原函数3常见函数的拉氏变换（2）指数函数

复习拉普拉斯变换有关内容（3）（3）正弦函数

复习拉普拉斯变换有关内容（4）（1）线性性质4拉氏变换的几个重要定理（2）微分定理证明：0初条件下有：

复习拉普拉斯变换有关内容（5）例2求解：

例3求解：

复习拉普拉斯变换有关内容（6）（3）积分定理零初始条件下有：进一步有：

例4求L[t]=?

解.例5求解.

复习拉普拉斯变换有关内容（7）（4）实位移定理证明：例6解：

令

复习拉普拉斯变换有关内容（8）（5）复位移定理证明：令例7例8例9

复习拉普拉斯变换有关内容（9）（6）初值定理证明：例10由微分定理

复习拉普拉斯变换有关内容（10）（7）终值定理证明：例11（终值确实存在时）例12由微分定理

复习拉普拉斯变换有关内容（11）用拉氏变换方法解微分方程L变换系统微分方程L-1变换控制系统的数学模型课程小结(1)时域模型—微分方程元部件及系统微分方程的建立线性定常系统微分方程的特点微分方程求解

课程小结(2)1拉氏变换的定义

（2）单位阶跃2常见函数L变换（5）指数函数（1）单位脉冲（3）单位斜坡（4）单位加速度（6）正弦函数（7）余弦函数

课程小结(3)（2）微分定理3L变换重要定理（5）复位移定理（1）线性性质（3）积分定理（4）实位移定理（6）初值定理（7）终值定理2024/11/12.5传递函数一．传递函数１．定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初使条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。系统微分方程的一般形式为：设R(s)=L[r(t)],C(s)=L[c(t)],当初始条件均为0时,有

(sn+a1sn-1+…+an-1s+an)C(s)=(b0sm+b1sm-1+…+bm-1s+bm)R(s)

即传递函数:

2024/11/1二．注意

（1）传递函数是由微分方程在初始条件为零时进行拉氏变换得到的,是以s为自变量的函数，s为复频率。（2）如果已知系统的传递函数和输入信号,则可根据式求得初始条件为零时输出量的拉氏变换式C（S）,再求C（S）的拉氏反变换可得到系统的响应

c(t)。所以传递函数和微分方程、传递函数与时域响应之间都具有密切联系

。（3）传递函数的分母多项式即为微分方程的特征多项式

。G(s)还可写成2024/11/1性质1传递函数是复变量s的有理真分式函数，m≤n，且具有复变量函数的所有性质。三．传递函数的几点性质性质2G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关。性质3G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。性质4如果G(s)已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用下的输出响应。2024/11/1性质5传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)

脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)是系统在单位脉冲输入时的输出响应。

例求课本中的例2.2.2中的传递函数系统的微分方程为零初始条件下，对两端求拉氏变换得2024/11/1系统的传递函数为：若输入为单位阶跃函数,初始时刻电容电压为0,则所以2024/11/1四、脉冲响应与阶跃响应1、单位脉冲函数特别地，当时，2、脉冲响应零初值条件下，令对象的输入量为，则对象的响应为脉冲响应2024/11/13、阶跃响应零初值条件下，若对象的输入量是单位阶跃函数1(t),则对象的响应称为阶跃响应。2024/11/1五、传递函数的极点和零点对输出的影响

极点是微分方程的特征根，因此，决定了所描述系统输入量为零时自由运动的模态。为传递函数的零点为传递函数的极点设对象的传递函数是显然，极点分别是-1，-2，自由运动的模态是e-t,e-2t设输入量是

2024/11/1是实常数在零初始条件下，得到系统的输出可求得2024/11/1

零点作用：影响各模态在响应中所占的比重，因而影响响应曲线的形状。从工程角度看，决不能认为系统的动态性质唯一或主要地由传递函数的极点决定，必须注意到零点的作用。极点作用：传递函数的极点可以受输入函数的激发，在输出响应中形成自由运动的模态控制系统的数学模型结构图的组成及绘制2024/11/11．方框图的基本概念

控制系统的方框图是系统各元件特性、系统结构和信号流向的图解表示法。六.控制系统的方框图(结构图）2024/11/1（1）方框（BlockDiagram）:表示输入到输出单向传输间的函数关系。方框中写入元部件或系统的传递函数。G(s)R(s)C(s)

图2-12

方框图中的方框信号线方框r(t)c(t)2.方框图元素（2）信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。2024/11/1表示对两个或两个以上的输入信号进行加减运算。“+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略不写。注意：进行相加减的量，必须具有相同的量刚。+Υ1Υ1+Υ2Υ2+-)()(21sRsR-)(1sR)(2sRΥ1Υ1-Υ2+Υ3Υ2-Υ3图2-13（3）比较点（合成点、综合点）2024/11/1表示信号测量或引出的位置。从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同。(4)分支点（引出点、测量点）2024/11/1（1）分别列写系统各元部件的微分方程或传递函数，并将它们用方框表示。（2）根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方块连接起来，便可得到系统的方块图。系统方框图-也是系统数学模型的一种。

4．方框图的绘制2024/11/1RCi（a）iuou图2-18一阶RC网络

解：由图2-18，利用基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得：对其进行拉氏变换得：

例１：画出下列RC电路的方块图。2024/11/1将图（b）和(c)组合起来即得到图(d)——一阶RC网络的方块图。（b）I(s))(sUi)(sUoI(s)（c）)(sUo图2-19（d）－I(s))(sUo)(sUo)(sUi图2-202024/11/1(1)前向通路传递函数--假设N(s)=0,打开反馈后，输出C(s)与R(s)之比。等价于C(s)与误差E(s)之比++H(s)-+R(s)E(s)B(s)N(s)打开反馈)(1sG)(2sGC(s)图2-15反馈控制系统方块图2.7闭环系统的传递函数一.闭环系统2024/11/1(3)开环传递函数：假设N(s)=0，主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。(2)反馈回路传递函数：假设N(s)=0，主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比。2024/11/1(4)闭环传递函数Closed-loopTransferFunction假设N(s)=0

输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。推导：因为

右边移过来整理得

即

请记住**2024/11/1-N(s)C(s)H(s))(2sG)(1sG图2-16输出对扰动的结构(5)输出对扰动的传递函数假设R(s)=0利用公式**，直接可得：**++-R(s）B(s)N(s))(2sGC(s))(1sGH(s)2024/11/1

方框图的等效变换相当于在方框图上进行数学方程的运算。常用的方框图等效变换方法可归纳为两类。环节的合并;信号分支点或相加点的等效移动。

方框图变换必须遵循的原则是：变换前、后的数学关系保持不变，因此方框图变换是一种等效变换，同时由于传递函数和变量的方程是代数方程，所以方框图变换是一些简单的代数运算。（－）环节的合并

环节之间互相连接有三种基本形式：串联、并联和反馈连接。2.方框图的等效变换2024/11/11．环节的串联

特点:前一个环节的输出信号就是后一环节的输入信号。下图所示为三个环节串联的例子。图中，每个环节的方框图为：2024/11/1

上式表明，三个环节的串联可以用一个等效环节来代替。这种情况可以推广到有限个环节串联（各环节之间无负载效应）的情况，等效环节的传递函数等于各个串联环节的传递函数的乘积，如有n个环节串联则等效传递函数可表示为：2024/11/12.环节的并联

环节并联的特点是各环节的输入信号相同，输出信号相加（或相减）。等效传递函数为：下图所示为三个环节的并联，图中含有信号相加点。从图中可见:2024/11/1

以上结论可推广到一般情况，当有n个环节并联时，其输出信号相加则有等效传递函数2024/11/13．反馈连接

将系统或环节的输出信号反馈到输入端，并与原输入信号进行比较后再作为输入信号，即为反馈连接，如下图所示。负反馈：反馈信号与给定输入信号符号相反的反馈。正反馈：反馈信号与给定输入信号符号相同的反馈。2024/11/1

上述三种基本变换是进行方框图等效变换的基础。对于较复杂的系统,例如当系统具有信号交叉或反馈环交叉时,仅靠这三种方法是不够的。

（二）信号相加点和信号分支点的等效变换

对于一般系统的方框图，系统中常常出现信号或反馈环相互交叉的现象，此时可将信号相加点（汇合点）或信号分支点（引出点）作适当的等效移动，先消除各种形式的交叉，再进行等效变换即可。2024/11/1

信号相加点的移动分两种情况：相对于某个环节前移和后移。

信号分支点（取出点）的移动也分两种情况：相对于某个环节前移和后移。2024/11/1下表列出了信号相加点和信号分支点等效变换的各种方法。

2024/11/1

此外，两个相邻的信号相加点或两个相邻的信号分支点可以互换位置。但必须注意，相邻的相加点与分支点的位置不能简单互换。2024/11/1例：求传递函数R1C2S++---EiEoEiEEo++－－R1C2s+－图2-27（a)图2-27（b)2024/11/1+EoR1C2S-Ei图2-27（c)R1C2S+-EiEo图2-27（d)EiEo图2-27（e)2024/11/12.6典型环节及其传递函数传递函数可表示成零、极点表示形式：传递函数可表示成复变量s的有理分式:2024/11/1

系统传递函数有时还具有零值极点，设传递函数中有

个零值极点,并考虑到零极点都有实数和共轭复数的情况,则传递函数表示的一般形式为：2024/11/1

从传递函数的表示式中可以看到，传递函数的基本因子对应的典型环节有比例环节、积分环节、微分环节、惯性环节、振荡环节和延迟环节等。

l．比例环节

比例环节又称为放大环节，其输出量与输入量之间的关系为固定的比例关系，即它的输出量能够无失真、无延迟地按一定的比例关系复现输入量。时域中的代数方程为c(t)=Kr(t)t

0

比例环节的传递函数为：式中K为比例系数或传递系数，有时也称为放大系数2024/11/12．惯性环节

惯性环节又称为非周期环节，其输入量和输出量之间的关系可用下列微分方程来描述：式中T——惯性环节的时间常数

K——比例系数。2024/11/13．积分环节K为比例系数。积分环节的动态方程为：

积分环节具有一个零值极点，即极点位于S平面上的坐标原点处。T称为积分时间常数。从传递函数表达式易求得在单位阶跃输入时的输出为：

C（t）=K

t

上式说明，只要有一个恒定的输入量作用于积分环节，其输出量就与时间成比例地无限增加。积分环节的传递函数为：2024/11/14．振荡环节

振荡环节的微分方程是：相应的传递函数为：

T——时间常数；

——阻尼系数（阻尼比），且0＜

＜1。

传递函数具有一对共轭复数极点,在复平面S上的位置见右图。

n=1/T——无阻尼自然振荡频率。共轭复数极点为：传递函数可改写为：2024/11/15．微分环节

微分是积分的逆运算,按传递函数的不同,微分环节可分为三种：理想微分环节、一阶微分环节（也称为比例加微分环节）和二阶微分环节。相应的微分方程为：相应的传递函数为：

2024/11/16．延迟环节延迟环节又称为纯滞后环节、时滞环节。延迟环节的输出是一个延迟时间

后，完全复现输入信号，即：式中

——纯延迟时间。根据拉氏变换的实位移定理，可得延迟环节的传递函数为：单位阶跃输入时，延迟环节的输出响应如右图示。2024/11/1前述几种典型环节的方框图如下图所示：2024/11/12.7信号流图与梅逊公式

信号流图和方框图类似，都可用来表示系统结构和信号传送过程中的数学关系。因而信号流图也是一种数学模型。

方框图及其等效变换虽然对分析系统很有效，但是对于比较复杂的系统，方框图的变换和化简过程往往显得繁琐、费时，并易于出错。如采用信号流图，则可利用梅逊公式，不需作变换而直接得出系统中任何两个变量之间的数学关系。一.信号流图及其等效变换2024/11/1

信号流图中，用小圆圈“O”表示变量，并称其为节点。节点之间用加权的有向线段连接，称为支路。通常在支路上标明前后两个变量之间的数学关系，因此支路的权又称为增益（传输）。e1abcdfghC(s)R(s)1.基本概念2024/11/1信号流图中除有节点和支路外，还常用到下述术语。（1）出支路：离开节点的支路。（2）入支路：进入节点的支路。（3）源节点（输入节点）：只有出支路的节点，对应于自变量或外部输入，因此也称为输入节点。（4）汇节点（输出节点）：只有入支路的节点，对应于因变量，有时也称为输出节点。（5）混合节点：既有入支路，又有出支路的节点。2024/11/1（8）回路：如果通道的终点就是通道的起始点，并且通道中每个节点只经过一次，则该通道称为回路、回环等。如果一个通道从一个节点开始，只经过一个支路又回到该节点，则称这样的通道为自回环。

（9）前向通道：从源节点出发到汇节点终止，而且每个节点只通过一次的通道称为前向通道。（10）互不接触回环：如果一些回路没有任何公共节点和回路，就称它们为互不接触回环。（11）通道传输：指沿通道各支路传输的乘积，也称为通道增益。

（12）回环传输：又称为回环增益，指回环通道中各支路传输的乘积。

2024/11/1

例如下图中，X0为源节点，X6为汇节点。X1、X2、X3、X4和X5为混合节点。通道abcdej是一条前向通道，而abcde和fghi是普通的通道，bi是一个回环，bchi不是一个回环，因为有两次经过节点x2。图中共有四个回环，即bi,ch,dg和ef。两个互不接触的回环有三种组合，即bi和ef，bi和dg，ch和ef。本系统没有三个及三个以上互不接触的回环。2024/11/12.信号流图的基本性质

（1）用节点表示变量，源节点代表输入量，汇节点代表输出量，用混合节点表示变量或信号的汇合。在混合节点处，所有出支路的信号（即混合节点对应的变量）等于各支路引入信号的代数和。

（2）以支路表示变量或信号的传输和变换过程，信号只能沿着支路的箭头方向传输。在信号流图中每经过一条支路，相当于在方框图中经过一个用方框表示的环节。（3）对于同一系统，信号流图的形式不是唯一的。2024/11/13例题

试将下图所示的系统方框图化为信号流图。解（a）所示的方框图可化为图(b)所示的信号流图，注意：方框图中比较环节的正负号在信号流图中表现在支路传输的符号上。Pk—从R(s)到C