数学自我小测：向量的正交分解与向量的直角坐标运算

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自我小测1．如图,设e1,e2为互相垂直的单位向量，则向量a－b可表示为()A．e1－3e2B．－2e1－4e2C．2e2－e1D．3e1－e22．若向量a＝（1,1），b＝(1，－1），c＝（－1,2），则c＝（）A．－a＋bB．a－bC．a－bD．－a＋b3．△ABC的两个顶点为A(4，8），B(－3,6），若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上,则点C的坐标为(）A．（－8，3）B．(－3，4）C．（3，－8）D．(－4，3）4．已知在▱ABCD中，＝(3，7），＝(－2，3），对角线AC，BD交于点O，则的坐标为（)A．B．C．D．5．设点A，B，C，D的坐标依次为(－1,0)，（3，1)，(4，3)，（0，2）,则四边形ABCD的形状为________．(填“平行四边形”“菱形”)6．平面上有A（2，－1），B(1，4)，D（4，－3）三点,点C在直线AB上，且＝，连接DC延长至点E,使｜｜＝｜｜，则点E的坐标为________．7．已知边长为1的正方形ABCD．若点A与坐标原点重合,边AB，AD分别落在x轴，y轴的正方向上，则向量4＋－3的坐标为__________．8．已知点O（0，0),A（1，2）,B(4,5）及＝＋t，求：（1）t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能,请说明理由．9．已知向量u＝（x，y）与v＝(y,2y－x）的对应关系用v＝f（u)表示．(1）证明：对于任意向量a，b及常数m，n，恒有f(ma＋nb）＝mf(a）＋nf（b)成立；(2）设a＝(1,1），b＝(1,0），求向量f(a）及f(b)的坐标；（3）求使f(c)＝（p，q)（p，q为常数)的向量c的坐标．

参考答案1．答案：A2．答案：B3．答案：C4．解析:如图所示，=+=（—2，3）+（3，7）=(1,10），所以==．所以MBEDEquation.DSMT4错误！未定义书签。=．答案:C5．解析：如图所示,＝(0,2)－(－1，0)＝(1,2)，＝(4，3)－(3，1)＝(1,2），所以＝．又＝(3,1)－（－1,0)＝(4，1)，所以｜｜＝，||＝，所以｜｜≠｜|，所以四边形ABCD为平行四边形．答案:平行四边形6．解析:因为＝，所以－＝(－），即＝（3,－6）．又因为＝－，设E(x，y)，则得答案：7．解析：如图，各顶点的坐标为A(0，0），B（1,0），C(1，1），D（0,1）,所以＝(1,0)，＝（0,1），＝(1，1）．所以4＋－3＝（1，－2）．答案：(1,－2）8．解：（1)设P（x，y），由＝＋t得（x，y)＝(1,2)＋t(3，3)，即若P在x轴上，则yP＝0,即2＋3t＝0，所以t＝－．若P在y轴上，则xP＝0，即1＋3t＝0，所以t＝－．若P在第二象限，则⇔－<t<－．（2)若四边形OABP能构成平行四边形，则＝，即（1＋3t，2＋3t）＝（3，3）．所以这是不可能的．故不能成为平行四边形．9．解：(1）证明：设a＝（a1，a2）,b＝(b1，b2)，则ma＋nb＝（ma1＋nb1,ma2＋nb2），所以f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1），mf(a）＋nf（b)＝m（a2，2a2－a1）＋n(b2，2b2－b1)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1）．所以f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf（b）,即对于任意向量a，b及常数m，n,恒有f(ma＋nb）＝mf(a)＋nf（b)．(2)f(a）＝f((1，1)）＝(1，2×1－1)＝（1，1)，f