数学自我小测：数学归纳法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自我小测1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝eq\f（1－an＋2,1－a）(a≠1,n∈N＋)，在验证n＝1时，等式左边的项是（）A．1B．1＋a C．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a32．对于不等式eq\r（n2＋n）＜n＋1（n∈N＋）,某同学用数学归纳法证明的过程如下:（1)当n＝1时，eq\r（12＋1）＜1＋1，不等式成立．（2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即eq\r(k2＋k)＜k＋1，则当n＝k＋1时，eq\r（k＋12＋k＋1）＝eq\r(k2＋3k＋2)＜eq\r（k2＋3k＋2＋k＋2）＝(k＋1）＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立．上述证法（）A．过程全部正确 B．n＝1时验证不正确C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确3．一个关于自然数n的命题，如果验证n＝1时命题成立，并在假设n＝k（k≥1)时命题成立的基础上，证明了n＝k＋2时命题成立，那么综合上述说法，可以证明对于（）A．一切自然数命题成立B．一切正奇数命题成立C．一切正偶数命题成立D．以上都不对4．平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f（k），则增加一条直线后，它们的交点个数最多为（)A．f（k)＋kB．f(k）＋1 C．f(k）＋k＋1D．kf(k5．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N）时该命题成立,那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得()A．当n＝6时该命题不成立 B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立 D．当n＝4时该命题成立6．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N）第一步应验证当n＝________时成立．7．用数学归纳法证明1＋eq\f(1，2）＋eq\f（1,3）＋…＋eq\f（1,2n－1）＜n(n∈N且n＞1),第二步证明从“k到k＋1"，左端增加的项数是________．8．用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中,当n＝k＋1时，34(k＋1）＋2＋52(k＋1)＋1应变形为______________．9．用数学归纳法证明:eq\f(1，22)＋eq\f(1，32)＋eq\f（1，42)＋…＋eq\f(1,n2）＜1－eq\f(1，n)(n≥2，n∈N＋）．10．是否存在常数a，b使等式eq\f（12，1×3)＋eq\f（22,3×5)＋…＋eq\f(n2,2n－12n＋1）＝eq\f(an2＋n,bn＋2)对一切n∈N＋都成立？

参考答案1．解析：当n＝1时,左边＝1＋a＋a2.故选C项．答案:C2．解析：因为从n＝k到n＝k＋1的证明过程中没有用到归纳假设，故从n＝k到n＝k＋1的推理不正确．答案：D3．答案：B4．解析：第k＋1条直线与原来k条直线相交，最多有k个交点．答案：A5．解析：由反证法可知当n＝4时该命题不成立,因为若n＝4时该命题成立，必将推得n＝5时该命题成立，这与已知矛盾．答案：C6．答案:37．解析：当n＝k时左端为1＋eq\f（1，2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f（1，2k－1)，当n＝k＋1时左端为1＋eq\f（1,2)＋eq\f（1,3）＋…＋eq\f（1,2k－1）＋eq\f(1,2k）＋eq\f(1,2k＋1)＋…＋eq\f（1,2k＋1－1），故增加的项数为2k项．答案：2k8．解析：当n＝k＋1时,34（k＋1)＋2＋52（k＋1)＋1＝81×34k＋2＋25×52k＋1＝25（34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2.答案：25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋29．证明:(1)当n＝2时，左边＝eq\f(1，22）＝eq\f（1，4）,右边＝1－eq\f(1,2）＝eq\f(1,2），左边＜右边,不等式成立；（2)假设当n＝k时（k∈N＋，k≥2）不等式成立．即eq\f（1,22）＋eq\f(1，32）＋eq\f（1，42）＋…＋eq\f（1，k2）＜1－eq\f(1，k)。则当n＝k＋1时,eq\f(1,22）＋eq\f(1,32）＋eq\f（1，42)＋…＋eq\f（1，k2)＋eq\f（1，k＋12)＜1－eq\f（1,k）＋eq\f（1,k＋12)＝1－eq\f（k＋12－k，kk＋12)＝1－eq\f(k2＋k＋1,kk＋12)＜1－eq\f(kk＋1，kk＋12）＝1－eq\f(1，k＋1),∴当n＝k＋1时不等式也成立．综合（1)（2)得，对任意n≥2的正整数，不等式均成立．10．解：假设存在常数a,b使等式成立，将n＝1，n＝2代入上式,有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(1,3）＝\f（a＋1,b＋2)，，\f（1,3)＋\f(4,15)＝\f（4a＋2,2b＋2)））eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝1,,b＝4.）)即有eq\f（12，1×3)＋eq\f(22，3×5)＋…＋eq\f（n2,2n－12n＋1)＝eq\f（n2＋n，4n＋2).下面用数学归纳法证明:(1)n＝1时，左边＝eq\f(12,1×3)＝eq\f(1，3)，右边＝eq\f（12＋1，4×1＋2）＝eq\f(1，3），所以等式成立．(2)假设n＝k（k∈N＋)时成立，即eq\f(12,1×3)＋eq\f(22,3×5）＋…＋eq\f（k2，2k－12k＋1)＝eq\f（k2＋k,4k＋2），则当n＝k＋1时，eq\f(12，1×3）＋eq\f（22,3×5)＋…＋eq\f(k2,2k－12k＋1)＋eq\f（k＋12,2k＋12k＋3）＝eq\f（k2＋k,4k＋2)＋eq\f（k＋12,2k＋12k＋3)＝eq\f（k＋1，2k＋1）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（k，2)＋\f(k＋1,2k＋3）))＝eq\f（k＋1，2k＋1)·eq\f(