从圆锥曲面到圆锥曲线的几何直观讲义 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

从圆锥到圆、椭圆、抛物线、双曲线——圆锥曲线的几何直观平面和圆锥曲面相交，有两种情形需要考虑，一种是这个截平面过圆锥曲面的顶点A，另一种是不过顶点A。2.1截平面过圆锥曲面顶点首先来看过顶点A的情形：我们可以用这个红色的线条M来代表和二维纸面垂直的一个平面，这个平面和圆锥曲面的轴线夹角为β，如下图：假如这个平面一直在水平面和圆锥曲面的母线之间来回摆动，我们不考虑角度的象限问题，只关注角度的大小的话，可以认为θ<β≤π2，此时，这个平面和圆锥曲面的截面只是一个点这是第一个结论：一个点。假如平面M转到了和圆锥曲面相切的位置，β角正好和θ相等，那么截面就是一条直线，也就是一条母线。这是第二个结论：一条直线。如果平面M继续转动，位置跑到了母线和轴线之间，这时平面就会和A点两侧相互对称的圆锥曲面都相交，因为截面是开放的，呈现出来的截线就会是圆锥曲面的两条母线。这是第三个结论：两条相交直线。同样，如果这个M平面正好转到了轴线上，二者夹角为0，那就相当于平面把圆锥曲面从上往下直着从中间劈开，我们能看到的截线也是两条母线。第四个结论：两条直线。因为圆锥曲面是关于轴线对称的，所以平面M再继续旋转的话，得到的结果和以上没什么区别。第二种情况就是平面M位置靠下或者靠上，不通过顶点A和圆锥曲面相切割的情形。这种情形下就会出现我们将要深入讨论的圆、椭圆、抛物线和双曲线这些圆锥曲线。1.2.2圆和椭圆的几何来源如果截平面过圆锥曲面的顶点，又碰巧和圆锥的轴线平行的话，也就相当于平面从中间把圆锥曲面一劈两半，截线就会是两条相交的无限伸展的母线；如果截面和轴线不平行，但和轴线的夹角小于轴线和母线的夹角，那它的截面也还是两条母线。如果平面过顶点，又正好和圆锥面的母线平行，也就相当于一个平面和圆锥面相切，得到的截面曲线就是单一的一条母线。最普通的情形是平面并没有过圆锥曲面的顶点，而是随便找一个位置就将圆锥曲面切开，这时候的截面曲线会怎样呢？我们还是分几种情况分别讨论。第一种情况，平面和圆锥曲面的轴线垂直此时β=90°，也就相当于我们把过顶点的水平面直接往下或者往上平移一段距离：如上图，此时截面曲线为C，是一个圆。为什么是圆呢？怎么证明？如果我们设截面与圆锥轴线的交点为A’,这个点其实就是顶点A在截平面上的投影。对于圆锥面来说，从顶点A到截线的任一点的长度都是母线的一段，长度都是相同的，现在这些相等的线段在截平面上的投影也应该是相同的，也就是从A’点出发到截面曲线C上任一点的长度也是相同的，从而可以得出截线为圆的结论：如果截平面和圆锥曲面的轴线垂直，且截平面不经过圆锥曲面的顶点，其截线为圆。如果给出了从顶点到截面母线的长度，截线圆的半径数据也很容易求出。第二种情况，平面不过顶点，但平面和轴线的夹角β小于90°，但又比θ角大，也就是下面这种情形：这种情况下，我们看到的截平面，似乎都具有相同的特征。只要能够保证平面和圆锥曲面轴线的夹角在90°和θ角之间，那么截平面看着都会像一个压扁的圆，只是程度不太一样而已。这种扁扁的圆，被定名为椭圆。既然外形相似，那么这些相似的外形肯定是由一个共同的规则来保证的，我们现在需要找出这个共同的规则到底是什么！几何学家经过仔细研究后认为，如果把一个球塞到截平面和圆锥顶点之间的较小的空间的话，总能找到一个合适的小球（Dandelin球）S-1，确保球体既能和圆锥曲面相切，又能和截平面相切；同样，在截平面之下，也能找到这么一个球（Dandelin球）S-2，确保球体和锥面与截平面均相切：我们现在找到平面上方狭小空间里的小球和截平面的切点F1，以及呆在下面较为宽松环境的大球与截平面的切点F我们继续找到小球S-1和大球S-2分别与圆锥曲面相切的切点，此时我们发现，一个球和一个圆锥面相切，切点可以围成一个圆，我们现在把分别把这两个圆称为“球小圆”:C这两个球小圆，我们用绿色的虚线表示。显然，球小圆上的点，都是在圆锥曲面上的。我们知道，从圆外一个点向圆做切线的话，这个点到所有切点的距离都是相等的，这个规则对于球来说也适用，也就是说，从球外一点向同一个球引切线，那么所有的切线也是相等的。上图中，在扁圆的红色的截线上随便找到一点P，点P既在圆锥曲面的其中一条母线上，又在切割圆锥面的平面上。这条母线和球相切，切点为G，那么，PG的长度，应该和PF的距离相等，也就是：|PF同样的道理：

|PF如下图：P点变换位置的话，其实就是在圆锥面的各条母线上来回变换，都会有上述的结论。那么现在就有：|PF也就是说：|PF为什么说G1很明显，只要圆锥面和截面的数据确定，两个球小圆的位置是确定的，二者之间母线的长度也就是确定的。由此我们知道，我们看着具有类似外形特征的封闭截线，是具有共同的数据特征的，那就是这个扁扁圆上的任意一点，到两个固定点的距离之和是一个定值。数学家们把符合这种数据特征的扁的圆称为椭圆。也就是说：如果一个点到两个固定点的距