【温州医学院-数学建模】数学建模培训-综合评价

数学建模培训讲座----数据建模与综合评价2021/7/29Thursday221世纪的社会是信息社会，其影响最终将要比十九世纪由农业社会转向工业社会更加深刻。“一个国家总的信息流的平均增长与工业潜力的平方成正比”。信息资源与自然资源和物质资源被称为人类生存与发展的三大资源。数据处理与数据建模方法2021/7/29Thursday3实际中大量信息或海量信息对应着大量的数据或海量数据，从这些数据中寻求所需要的问题答案--数据建模问题。通过实际对象过去或当前的相关信息，研究两个方面问题：（1）分析研究实际对象所处的状态和特征，依此做出评价和决策；（2）分析预测实际对象未来的变化状况和趋势，为科学决策提供依据。数据处理与数据建模方法2021/7/29Thursday4数据处理与数据建模方法

1.数据建模的一般问题

2.数据处理的一般方法

3.数据建模的综合评价方法

4.数据建模的动态加权方法５.数据建模的综合排序方法６.数据建模的预测方法2021/7/29Thursday5实际对象都客观存在着一些反映其特征的相关数据信息；如何综合利用这些数据信息对实际对象的现状做出综合评价，或预测未来的发展趋势，制定科学的决策方案？--数据建模的综合评价、综合排序、预测与决策等问题。数据建模一般问题的提出：一、数据建模的一般问题一般2021/7/29Thursday6综合评价是科学、合理决策的前提。综合评价的基础是信息的综合利用。综合评价的过程是数据建模的过程。数据建模的基础是数据的标准化处理。一、数据建模的一般问题如何构成一个综合评价问题呢？2021/7/29Thursday7依据相关信息对实际对象所进行的客观、公正、合理的全面评价。如果把被评价对象视为系统，则问题：在若干个(同类)系统中，如何确定哪个系统的运行(或发展)状况好，哪个状况差？即哪个优，哪个劣？一类多属性(指标)的综合评价问题。综合评价：一、数据建模的一般问题2021/7/29Thursday8综合评价问题的五个要素（1）被评价对象:被评价者，统称为评价系统。（2）评价指标：反映被评价对象的基本要素，一起构成评价指标体系。原则:系统性、科学性、可比性、可测性和独立性。（3）权重系数：反映各指标之间影响程度大小的度量。（4）综合评价模型：将评价指标与权重系数综合成一个整体指标的模型。（5）评价者：直接参与评价的人。2021/7/29Thursday9构成综合评价问题的五个要素分别为:被评价对象、评价指标、权重系数、综合评价模型和评价者。构成综合评价问题的五个要素2021/7/29Thursday10构成综合评价问题的五个要素（2）评价指标评价指标是反映被评价对象(系统)的运行状况的基本要素。通常的问题都是有多项指标构成，每一项指标都是从不同的侧面刻画系统所具有某种特征大小的一个度量。一个综合评价问题的评价指标一般可用一个向量表示，其中每一个分量就是从一个侧面反映系统的状态，即称为综合评价的指标体系。评价指标体系的建立及筛选方法选取指标的原则：尽量少地选取主要的评价指标1、专家调研法2、最小均方差法求第j项指标的均方差求最小的均方差如果最小的均方差接近0，可将其删去，继续筛选；否则工作结束。3、极小极大离差法 求每项的最大离差求所有最大离差中最小的离差将最小离差对应的指标项删除，原理同最小均方差法构成综合评价问题的五个要素2021/7/29Thursday12注意到：当各被评价对象和评价指标值都确定以后，问题的综合评价结果就完全依赖于权重系数的取值了，即权重系数确定的合理与否，直接关系到综合评价结果的可信度，甚至影响到最后决策的正确性。构成综合评价问题的五个要素客观赋权法——从指标的统计性质来考虑，它是由客观数据决定。变异信息构权相关信息构权熵信息构权。（3）权重系数----客观赋权法1.变异信息构权（离散/方差信息构权）指标的区分度越高，对排序的影响就越大。基于这种观点，以区分度(方差)信息量为权重。均方差法极差法：（3）权重系数----客观赋权法构成综合评价问题的五个要素２.熵信息构权根据综合评价的数值所提供信息量的大小来确定权重的方法，对于i个被评价对象的第j项指标的指标值2.1第j项的熵值（3）权重系数----客观赋权法构成综合评价问题的五个要素2.2第j项指标的差异系数2.３第j项指标的权重系数（3）权重系数----客观赋权法2021/7/29Thursday（4）综合评价模型对于多指标（或多因素）的综合评价问题,就是要通过建立合适的综合评价数学模型将多个评价指标综合成为一个整体的综合评价指标，作为综合评价的依据，从而得到相应的评价结果。2021/7/29Thursday18（5）评价者评价者是直接参与评价的人，可以是某一个人，也可以是一个团体。对于评价目的选择、评价指标体系确定、评价模型的建立和权重系数的确定都与评价者有关。综合评价的一般步骤：明确评价目的；确定被评价对象；建立评价指标体系（包括评价指标的原始值、评价指标的若干预处理等）；确定与各项评价指标相对应的权重系数；选择或构造综合评价模型；计算各系统的综合评价值,并给出综合评价结果。构成综合评价问题的五个要素2021/7/29Thursday19综合评价过程的流程2021/7/29Thursday20二、数据处理的一般方法

1.数据类型的一致化处理方法极大型:期望取值越大越好；极小型:期望取值越小越好；中间型:期望取值为适当的中间值最好;

区间型:期望取值落在某一个确定的区间内为最好。什么是一致化处理?为什么要一致化?2021/7/29Thursday21二、数据处理的一般方法

1.数据类型的一致化处理方法2021/7/29Thursday22二、数据处理的一般方法

1.数据类型的一致化处理方法2021/7/29Thursday23二、数据处理的一般方法

1.数据类型的一致化处理方法2021/7/29Thursday24

2.评价指标的无量纲化如果不对这些指标作相应的无量纲处理，则在综合评价过程中就会出“大数吃小数”的错误结果，从而导致最后得到错误的评价结论。无量纲化处理又称为指标数据的标准化,或规范化处理。常用方法:标准差法、极值差法和功效系数法等。

2.数据指标的无量纲化处理方法二、数据处理的一般方法2021/7/29Thursday25

2.数据指标的无量纲化处理方法(3)功效系数法：二、数据处理的一般方法(1)标准差法：(2)极值差法：2021/7/29Thursday26

2.数据指标的无量纲化处理方法二、数据处理的一般方法2021/7/29Thursday27

2.数据指标的无量纲化处理方法二、数据处理的一般方法2021/7/29Thursday28二、数据处理的一般方法

3.模糊指标的量化处理方法在实际中，很多问题都涉及到定性，或模糊指标的定量处理问题。诸如:教学质量、科研水平、工作政绩、人员素质、各种满意度、信誉、态度、意识、观念、能力等因素有关的政治、社会、人文等领域的问题。如何对有关问题给出定量分析呢？2021/7/29Thursday29按国家的评价标准,评价因素一般分为五个等级，如A，B，C，D，E。如何将其量化？若A-，B+，C-，D+等又如何合理量化？根据实际问题，构造模糊隶属函数的量化方法是一种可行有效的方法。二、数据处理的一般方法

3.定性指标的量化处理方法2021/7/29Thursday30假设有多个评价人对某项因素评价为A，B，C，D,E共5个等级:{v1,v2,v3,v4,v5}。譬如：评价人对某事件“满意度”的评价可分为{很满意，满意，较满意，不太满意，很不满意}将其5个等级依次对应为5，4，3，2，1。这里为连续量化，取偏大型柯西分布和对数函数作为隶属函数：二、数据处理的一般方法2021/7/29Thursday31二、数据处理的一般方法

3.定性指标的量化处理方法2021/7/29Thursday32二、数据处理的一般方法

3.定性指标的量化处理方法根据这个规律，对于任何一个评价值，都可给出一个合适的量化值。据实际情况可构造其他的隶属函数。如取偏大型正态分布。2021/7/29Thursday33模糊定性指标量化的应用案例（1）CUMCM2003-A,C:SARS的传播问题（2）CUMCM2004-D:公务员招聘问题；（3）CUMCM2005-B:DVD租赁问题；（4）CUMCM2008-B:高教学费标准探讨问题；（5）CUMCM2008-D:NBA赛程的分析与评价问题；（6）CUMCM2009-D:会议筹备问题。2021/7/29Thursday34问题:如何来构造合适的综合评价模型？三、数据建模的综合评价方法2021/7/29Thursday35三、数据建模的综合评价方法适用条件:各评价指标之间相互独立。对不完全独立的情况，其结果将导致各指标间信息的重复，使评价结果不能客观地反映实际。

1.线性加权综合法2021/7/29Thursday36线性加权综合法的特点：（1）该方法能使得各评价指标间作用得到线性补偿，保证综合评价指标的公平性；（2）该方法中权重系数的对评价结果的影响明显，即权重较大指标值对综合指标作用较大；（3）当权重系数预先给定时，该方法使评价结果对于各备选方案之间的差异表现不敏感；（4）该方法计算简便，可操作性强，便于推广使用。三、数据建模的综合评价方法2021/7/29Thursday37

2.非线性加权综合法三、数据建模的综合评价方法主要特点：（1）突出了各指标值的一致性，即平衡评价指标值较小的指标影响的作用；（2）权重系数大小的影响不是特别明显，而对指标值的大小差异相对较敏感。（3）要求所有的评价指标值（无量纲）都大于或等于1；（4）非线性加权综合法相对线性加法计算复杂。2021/7/29Thursday38三、数据建模的综合评价方法

3.逼近理想点（TOPSIS）方法2021/7/29Thursday39三、数据建模的综合评价方法

3.逼近理想点（TOPSIS）方法2021/7/29Thursday40返回三、数据建模的综合评价方法

3.逼近理想点（TOPSIS）方法2021/7/29Thursday41综合评价方法的应用案例（1）CUMCM1993-B:足球队排名问题；（2）CUMCM2001-B:公交车调度问题；（3）CUMCM2002-B:彩票中的数学问题；（4）CUMCM2004-D:公务员招聘问题；（5）CUMCM2005-A:长江水质的评价和预测问题；（6）CUMCM2005-C:雨量预报方法评价问题；（7）CUMCM2006-B:艾滋病疗法评价与预测问题；（8）CUMCM2007-C:手机“套餐”优惠几何问题；（9）CUMCM2008-B:高教学费标准探讨问题；（10）CUMCM2008-D:NBA赛程的分析与评价问题；（11）CUMCM2009-D:会议筹备问题。2021/7/29Thursday42

2005年中国大学生数学建模竞赛的A题：“长江水质的评价和预测”问题的第一部份给出了17个观测站（城市）的最近28个月的实际检测指标数据，包括反映水质污染程度的最主要的四项指标：溶解氧（DO）、高锰酸盐指数（CODMn）、氨氮(NH3-N)和PH值，要求综合这四种污染指标的28个月的检测数据对17个城市的水质情况做出综合评价。

1.动态加权综合评价问题的提法四、数据建模的动态加权方法2021/7/29Thursday信息工程大学信息工程学院43根据国标（GB3838—2002）的规定，关于地表水的水质可分为Ⅰ类、Ⅱ类、Ⅲ类、Ⅳ类、Ⅴ类、劣Ⅴ类共六个类别，每一个类别对每一项指标都有相应的标准值（区间），只要有一项指标达到高类别的标准就算是高类别的水质，所以实际中不同类别的水质有很大的差别，而且同一类别的水在污染物的含量上也有一定的差别。在对17个城市的水质做综合评价时，要充分考虑这些指标值不同类别的“质的差异”和同类别水的“量的差异”,在此简称为“质差”和“量差”。因此，这是一个较复杂的多因素多属性的综合评价问题。

1.动态加权综合评价问题的提法四、数据建模的动态加权方法2021/7/29Thursday44四、数据建模的动态加权综合方法

1.动态加权问题的一般提法问题:如何对n个系统做出综合评价呢?2021/7/29Thursday45四、数据建模的动态加权方法注意:问题对于每一个属性而言，既有不同类别的差异，同类别的又有不同量值的差异。对于既有“质差”，又有“量差”的问题，合理有效的方法是动态加权综合评价方法。

1.动态加权问题的一般提法2021/7/29Thursday信息工程大学信息工程学院46根据这个问题的实际背景和综合评价的一般原则，解决问题的主要过程分三步完成：将各评价指标作标准化处理；根据各属性的特性构造动态加权函数；构建问题的综合评价模型，并做出评价。实际中问题的评价指标可能有极大型的、极小型的、中间型，或区间型的四种情况，也有时各有不同的量纲，这就需要根据不同情况分别作标准化处理，即对三种不同类型指标变换成统一的、无量纲的标准化指标。

2.动态加权综合评价的一般方法四、数据建模的动态加权方法2021/7/29Thursday信息工程大学信息工程学院472.1评价指标的标准化处理四、数据建模的动态加权方法2021/7/29Thursday482.1评价指标的标准化处理四、数据建模的动态加权方法2021/7/29Thursday49考虑到评价指标的“质差”与“量差”，在确定综合评价指标时，既要能体现不同类型指标之间的差异，也要能体现同类型指标的数量差异。根据实际问题具体取什么样的动态加权函数，主要是从实际问题出发分析确定。对于不同的指标可以取相同的权函数，也可以取不同的权函数。2.2动态加权函数的设定

2.动态加权综合评价的一般方法四、数据建模的动态加权方法2.2动态加权函数的设定四、数据建模的动态加权方法2021/7/29Thursday512.2动态加权函数的设定四、数据建模的动态加权方法2021/7/29Thursday522.2动态加权函数的设定2021/7/29Thursday53四、数据建模的动态加权方法3.动态加权的综合评价模型2021/7/29Thursday54五、数据建模的综合排序方法

1.综合排序问题的一般提法问题:如何给出n个系统的最终排序结果呢?2021/7/29Thursday55五、数据建模的综合排序方法

2.综合排序问题的方法例设有6名运动员U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}参加五项全能比赛,已知他们每项比赛的成绩如下：

200m跑u1,u2,u4,u3,u6,u5；

1500m跑u2,u3,u6,u5,u4,u1；跳远u1,u2,u4,u3,u5,u6；掷铁饼u1,u2,u3,u4,u6,u5；掷标枪u1,u2,u4,u5,u6,u3；B(u1)=5+0+5+5+5=20;B(u2)=4+5+4+4+4=21;B(u3)=2+4+2+3+0=11;B(u4)=3+1+3+2+3=12;B(u5)=0+2+1+0+2=5;B(u6)=1+3+0+1+1=6;按Borda数集中后的排序为：u2,u1,u4,u3,u6,u5.五、数据建模的综合排序方法Borda数排序方法举例2021/7/29Thursday57动态加权与综合排序的应用案例动态加权的综合排序案例：（1）CUMCM2002-B:彩票中的数学问题；（2）CUMCM2005-A:长江水质的评价和预测问题；综合评价的排序案例：（1）CU