2024-2025学年陕西省西安市陕西师大附中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年陕西师大附中高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β=l，则l(

)A.与m，n都相交 B.与m，n中至少一条相交

C.与m，n都不相交 D.至多与m，n中的一条相交2.如果实数x，y满足等式(x−2)2+y2=3A.−12 B.−33 3.如图ABCD−A1B1C1D1是正方体，B1EA.1517 B.12 C.8174.瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(−4,0)，B(0,4)，C(2,0)，则该三角形的欧拉线方程是(

)A.x+y−2=0 B.x−2y+1=0 C.x−y+2=0 D.2x−y+2=05.已知直线l过点(1,3)，若l与x轴，y轴的正半轴围成的三角形的面积为S，则S的值可能是(

)A.3 B.4 C.5 D.66.已知点M(−1,1)，N(2,1)，且点P在直线l：x+y+2=0上，则下列命题中错误的是(

)A.存在点P，使得PM⊥PN B.存在点P，使得2|PM|=|PN|

C.|PM|+|PN|的最小值为29 D.||PM|−|PN||的最大值为7.已知正三棱台ABC−A1B1C1的侧面积为6，AB=3A1B1A.63 B.223 8.若方程组ax+by=1x2+y2=50A.60 B.66 C.72 D.78二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知圆C1：(x−3)2+y2=4，圆A.圆C1与圆C2内切

B.直线x=1是两圆的一条公切线

C.直线x=my+2被圆C1截得的最短弦长为23

D.10.在三棱锥A−BCD中，已知AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则(

)A.MN⊥AD

B.平面AND⊥平面ABC

C.三棱锥A−BCD的体积为473

D.三棱锥11.设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx−y−m+3=0交于点P(x,y)，则(

)A.|AB|=10

B.|PA||PB|的最大值是5

C.|PA|+|PB|的取值范围是[10, 25三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。12.已知a=(cosα,−1,sinα),b=(sinα,1,−cosα)，其中若α∈R，则(a13.为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为A，B，C三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理A，B，C三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站M只能建在与A村相距5km，且与C村相距31km的地方.已知B村在A村的正东方向，相距33km，C村在B村的正北方向，相距3km，则垃圾处理站M与B14.连接三角形三边中点所得的三角形称为该三角形的“中点三角形”，定义一个多面体的序列Pi(i=0,1,2,⋯,)；P0是体积为1的正四面体，Pi+1是以Pi的每一个面上的中点三角形为一个面再向外作正四面体所构成的新多面体.四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题10分)

已知坐标平面内两点M(m+3,3m+5)，N(2m−1,1)．

(1)当直线MN的倾斜角为锐角时，求m的取值范围；

(2)若直线MN的方向向量为a=(1,−2023)，求m的值．16.(本小题12分)已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,−2)，且圆心C在直线l:x−y+1=0上．(1)求圆心为C的圆的标准方程;(2)线段PQ的端点P的坐标是(5,0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ中点M的轨迹方程．17.(本小题12分)

已知圆C：(x−3)2+(y−3)2=10，直线l：x+y−6=0．

(1)若从点M(4,1)发出的光线经过直线y=−x反射，反射光线l1恰好平分圆C的圆周，求反射光线l1的一般方程．

(2)若点Q在直线l18.(本小题12分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC为边长为2的正三角形，AA1=3，D为AC中点，点E在棱CC1上，且CE=λCC1，0<λ<1．

(1)当λ=23时，求证A1E⊥19.(本小题12分)

如图，经过原点O的直线与圆M：(x+1)2+y2=4相交于A，B两点，过点C(1,0)且与AB垂直的直线与圆M的另一个交点为D．

(1)当点B坐标为(−1,−2)时，求直线CD的方程；

(2)记点A关于x轴对称点为F(异于点A，B)，求证：直线BF恒过x轴上一定点，并求出该定点坐标；

(3)

参考答案1.B

2.D

3.A

4.C

5.D

6.A

7.A

8.C

9.BCD

10.ABD

11.BCD

12.0

13.7或214.30312815.解：(1)因为倾斜角θ为锐角，则k=tanθ>0，而k=1−(3m+5)2m−1−(m+3)=−3m−4m−4>0，

即(3m+4)(m−4)<0，解得：−43<m<4，

所以m的范围为(−43,4)；

(2)16.解：(1)∵A(1,1)，B(2,−2)，

∴kAB=1−(−2)1−2=−3，

∴弦AB的垂直平分线的斜率为13，

又弦AB的中点坐标为(32,−12)，

∴弦AB的垂直平分线的方程为y+12=13(x−32)，即x−3y−3=0，

与直线l：x−y+1=0联立，解得：x=−3，y=−2，

∴圆心C坐标为(−3,−2)，

∴圆的半径r=|AC|=5，

则圆C的方程为(x+3)2+(y+2)2=25；

(2)设Q(x1,y1)，线段PQ的中点M为17.解：(1)∵反射光线l1恰好平分圆C的圆周，

圆C：(x−3)2+(y−3)2=10，∴l1经过圆心C(3,3)，

设点M(4,1)关于直线y=−x的对称点N(x,y)，

则直线MN与直线y=−x垂直，且线段MN的中点在y=−x上，

则有：y−1x−4×(−1)=−1y+12=−x+42，解得x=−1y=−4，所以N(−1,−4)，

∴kl1=kCN=3−(−4)3−(−1)=74，

∴直线l118.(1)证明：取A1C1的中点D1，连接DD1，

因为三棱柱ABC−A1B1C1为直棱柱，且△ABC为正三角形，

所以以DB，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，

根据已知条件得D(0,0,0),B(3,0,0),A1(0,−1,3)，C(0,1,0)，C1(0,1,3)，

当λ=23时，CE=23CC1，所以E(0,1,2)，

所以A1E=(0,2,−1),DB=(3,0,0),DE=(0,1,2)，

因为A1E⋅DB=0,A1E⋅DE=0+2−2=0，

所以A1E⊥DB,A1E⊥DE，即A1E⊥DB，A1E⊥DE，

又DB∩DE=D，而BD，DE⊂平面BDE，所以A1E⊥平面BDE．

(2)解：由(1)知B1(3,0,3)，E(0,1,3λ)(0<λ<1)，DE=(0,1,3λ)，

因为O1为19.解：(1)∵B为(−1,−2)，O(0,0)，

∴AB的斜率为−2−0−1−0=2，又CD⊥AB，

∴CD的斜率为−12，又C(1,0)，

∴直线CD的方程y=−12(x−1)，即x+2y−1=0；

(2)根据题意可