2021北京中考数学一模分类汇编《代数综合》含答案解析

2021北京中考数学一模分类汇编——代数综合12021xOyyax﹣2+﹣a0别过点t+2xAB，B之间的部分为图象G（包括，B1）求抛物线的顶点坐标；2）记图象G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为m．当a2时，若图象G为轴对称图形，求m的值；若存在实数，使得m2，直接写出a的取值范围．2222021•西城区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax﹣2ax+1（a≠0）与y轴交于点，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点B．1）直接写出抛物线的对称轴；2AB4，求抛物线所对应的函数解析式；（3）已知点（+4，1Q（0，a+1恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．第1页（共7页）32021•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，点（xyBx，y）在抛物线y112222＝﹣x（a﹣）xa+2a上，其中xx．121）求抛物线的对称轴（用含a2当xa时，求y的值；若y＝y0x的值（用含a1213）若对于xx＜﹣4，都有y＜ya的取值范围．121242021•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOyy＝+aa0轴是直线x＝．1）求抛物线yax++﹣4a0）的顶点坐标；2）当﹣2≤≤3时，y的最大值是5a的值；（3）在（2）的条件下，当t≤x≤时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．第2页（共7页）52021•丰台区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣（+1）x．1）若抛物线过点（202Mx，y（xy）为抛物线上两个不同的点．1122当x+x＝﹣4时，y＝ya的值；1212若对于x＞x≥﹣，都有y＜ya的取值范围．12122262021xOyA是抛物线y＝﹣x+2mx﹣m+2m+1的顶点．1）求点A的坐标（用含m2）若射线OA与x轴所成的锐角为°，求m的值；3（04个单位得到点Q只有一个公共点，直接写出m的取值范围．第3页（共7页）72021•通州区一模）已知二次函数y＝2+1a01）求此二次函数图象的对称轴；2x轴交于不重合两点x0x0xx1212且满足x＜﹣2xa的取值范围．1282021xOyy＝2+a0x得的线段长度为4．1）求抛物线的对称轴；2c的值（用含a3x3x3x＜xx（x2121215）≤0a的取值范围．第4页（共7页）92021•平谷区一模）已知关于x的二次函数y＝x2mx﹣．1）当抛物线过点（2，﹣）时，求抛物线的表达式，并求它与y轴的交点坐标；2）求这个二次函数图象的对称轴（用含m3）若抛物线上存在两点a，b，﹣b＜0b0时，总有ab0，求m的取值范围．102021•顺义区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2﹣ax+3a（a＞0）与y轴交于点A．1）求点A和抛物线顶点的坐标（用含a2＝﹣ax+3a与抛物线＝4ax+3aG纵坐标都为整数的点叫做整点．当a1时，结合函数图象，求区域G中整点的个数；当区域G中恰有6个整点时，直接写出a的取值范围．第5页（共7页）222021xOyyx﹣bxb﹣b0点（m，1）用含b的代数式表示抛物线顶点的坐标；2）若抛物线经过点0，0＜＜3n的取值范围；3≤m≤5时，n2，结合函数图象，直接写出b的取值范围．2021xOyx的二次函数yx2tx+1．1）求该二次函数图象的对称轴；2t2m（+3yx﹣txmn的大小；23xy（xyyx﹣tx1x＜311221且x＝，都有yyt的取值范围．212第6页（共7页）2021•延庆区一模）在平面直角坐标系xOy中，直线：y＝﹣2x与y轴交于点，与x轴交于点B，二次函数的图象过AB两点，且与x轴的另一交点为点BC＝；1）求点C的坐标；2PxyPxyxx211122212有y＞y．12求二次函数的表达式；A在抛物线上的对称点为点DD之间的部分为图象C，Dy＝﹣k0Gk的取值范围．第7页（共7页）2021北京中考数学一模分类汇编——代数综合12021xOyyax﹣2+﹣a0别过点t+2xAB，B之间的部分为图象G（包括，B1）求抛物线的顶点坐标；2）记图象G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为m．当a2时，若图象G为轴对称图形，求m的值；若存在实数，使得m2，直接写出a的取值范围．22【分析】1）＝ax2axa2变形为ya（﹣1）2，即可得到顶点坐标；2a＝2时，抛物线对称轴＝1，由图象G为轴对称图形，可得t的值，从而求出、B坐标，得到m的值；分四种情况讨论：≤﹣1，﹣1≤00＜1t1，根据m2分别列出方程，由t的范围即可求出a的范围．22【解答】1）＝ax2axa2a（﹣1）2，∴抛物线y＝2+a2的顶点为（1，﹣22当a2时，y2x4x，抛物线对称轴x＝，G为轴对称图形，M（0N（+201t+21，＝0，M，0）和点N+20x轴的垂线，交抛物线于点A，A00B20∵顶点为（1，﹣2m＝﹣（﹣2）＝；M（0）和点t+20x轴的垂线，交抛物线于点AB，22A，at﹣at+a2（+2，a+2）﹣2（+2）a2又a0，抛物线对称轴x＝，（一）当t+21≤﹣1时，图象G上A的纵坐标的值最大，B的纵坐标的值最小，22at﹣ata2）﹣[at+2）﹣2（t）+﹣＝2，t，第1页（共22页）≤﹣1，a≤；＜＜+2t+21≤﹣1t0G上A的纵坐标的值最大，顶点纵坐标的值最小，∴（at2ata﹣）﹣（﹣2）＝2，a＝，又﹣＜≤，∴＜a2；（三）当t1t+2+21＞﹣t0t＜1时，图象G上B的纵坐标的值最大，顶点纵坐标的值最小，at+22a+2a2﹣（﹣）＝2，a＝，又0＜1，∴＜a2；（四）当t1时，图象G上B的纵坐标的值最大，A的纵坐标的值最小，22at+2）2a+2a2﹣（at2ata﹣）＝2，＝又≥，a≤，，综上所述，若存在实数t，使得m＝20＜≤2．【点评】本题考查二次函数知识的综合应用，难度较大，解题的关键是分类讨论图象G上纵坐标的最大值与最小值列方程．2222021•西城区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax﹣2ax+1（a≠0）与y轴交于点，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点B．1）直接写出抛物线的对称轴；2AB4，求抛物线所对应的函数解析式；（3）已知点（+4，1Q（0，a+1恰有一个公共点，结合第2页（共22页）函数图象，求a的取值范围．【分析】1）根据抛物线对称轴公式即可得；2）根据题意求得a＝±2，即可求得抛物线所对应的函数解析式；（3）根据点（+4，1Q（0，a+1恰有一个公共点，结合函数图象，即可求a的取值范围．22【解答】1）∵抛物线y＝ax2ax+1a≠∴抛物线的对称轴为直线xa；2）由题意可知抛物线的对称轴为直线＝±2，a＝±2，22∴抛物线所对应的函数解析式为y＝x8x或y＝﹣2x8x+1；3＞0时，抛物线过点（+41）时，则＝a，解得＝4，Q（，5此时，抛物线与线段有一个公共点．当a0时，抛物线过点（a+4，）时，a＝0，解得a＝﹣4，此时，Q（，﹣3有一个公共点；综上所述，当0＜≤4或﹣≤a0时，抛物线与线段恰有一个公共点．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能对a进行分类讨论，并能数形结合解决函数与线段的交点问题是解题的关键．32021•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，点（xyBx，y）在抛物线y1122第3页（共22页）22＝﹣x（a﹣）xa+2a上，其中xx．121）求抛物线的对称轴（用含a2当xa时，求y的值；若y＝y0x的值（用含a1213）若对于xx＜﹣4，都有y＜ya的取值范围．1212【分析】1）抛物线的对称轴x，计算即可；2222将xa＝﹣x2a2xa+2a若yy0x+1222a2x﹣a+2a0，解方程并根据x＜x，即可得出x的值．1213x＜﹣2xa﹣1当a≥﹣111xx＜a1xa﹣＜xxx＜﹣4计121212算即可；当a＜﹣1时，令x＝a﹣1，x＝﹣2，此时xx＜﹣4，但y＞y，不符合121212题意．【解答】1）抛物线的对称轴为直线xa﹣；222当xa时，y＝﹣a（a﹣）aa+2a222＝﹣aa2aa+2a0；当y＝y0时，﹣x2a2）﹣a+2a0，221222x﹣（2a2x+a﹣2＝0，∴（﹣a+2xa）＝0，x＜x，12x＝﹣2；3）方法一、当a≥﹣1x＜xxx＜﹣4，1212x＜﹣2，只需讨论x＜﹣1的情况．11若x＜x＜a1，12xa﹣1时，yx的增大而增大，y＜y，符合题意；12若x＜﹣1x，12a1≥﹣2，第4页（共22页）2a﹣）≥﹣4，x+x＜﹣4，12x+x＜2a112x＜（a1）﹣x．12x2（﹣1）﹣x时，y＝yx＜﹣1时，yx的增大而增大，212y＜y，符合题意．12当a＜﹣1时，令x＝﹣1x＝﹣2，此时xx＜﹣4yy，不符合题意；121212综上所述，a的取值范围是≥﹣1．方法二、22yy＝﹣x（a﹣）xx﹣（a﹣）x＝（x﹣xx+x）2a2xx）121122212112＝（xxa﹣﹣x﹣x）＜0，12122a2x+x，12x+x＜﹣4，122a2≥﹣4，a≥﹣1．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数与一元二次方程的关系及一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键．42021•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOyy＝+aa0轴是直线x＝．1）求抛物线yax++﹣4a0）的顶点坐标；2）当﹣2≤≤3时，y的最大值是5a的值；（3）在（2）的条件下，当t≤x≤时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．【分析】1）利用xa和b的关系，再将其代入原解析式即可；2）分两种情况讨论，利用抛物线的对称性即可求解；3）分类讨论，利用二次函数的性质求解即可．【解答】1x1代入抛物线yax++﹣4第5页（共22页）＝aba4＝ab﹣，∵对称轴是直线x1．1，b＝﹣2，y2ab4＝a﹣a﹣＝﹣4，∴抛物线y＝bxa4a≠）的顶点坐标为（1，﹣42a＜0时，抛物线开口向下，y的最大值是﹣4，∵当﹣2x≤3时，y的最大值是5，a0不合题意；＞0时，抛物线开口向上，∵对称轴是直线x1.1到﹣2的距离大于1到3的距离，x＝﹣2时，y的值最大，y4a2ba4＝a﹣b﹣＝5，将b＝﹣a代入得，a1；3t0a1，b＝﹣2＝﹣2，222y的最大值是m＝t﹣2+1﹣＝t﹣23，最小值是＝（t+1）2+1）﹣3，m﹣＝3，22t﹣2﹣3[（+1）2（+1）﹣3]3，解得：＝﹣1；②t1y的最大值是m＝（t+12t）﹣3，最小值是n＝﹣，m﹣＝3，∴（+12（+1）﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：＜≤22y的最大值是mt2t+14t2﹣3，最小值是n＝﹣4，mnt﹣﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：＝±+1≥122y的最大值是m＝（t+1）2t）﹣3，最小值是nt2﹣，第6页（共22页）22mn＝（+1）2（+1）﹣3﹣（t2﹣）＝3，解得：t2；综上，t的值为﹣1或2．【点评】本题考查的是二次函数的最值，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等．52021•丰台区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣（+1）x．1）若抛物线过点（202Mx，y（xy）为抛物线上两个不同的点．1122当x+x＝﹣4时，y＝ya的值；1212若对于x＞x≥﹣，都有y＜ya的取值范围．1212【分析】（1）把点（2，0）代入抛物线y＝ax﹣（a+1）x，求出解析式，再利用对称轴公式计算即可；2x+x＝﹣4yyxyxy12121122a即可；3）利用二次函数的性质，即可求得．【解答】1）∵函数图象过点（，004a2（+1a1，yx﹣2x，对称轴x＝，∴二次函数的对称轴为直线x＝．2∵x+x＝﹣4时，y＝y，1212二次函数的对称轴为直线x＝﹣，∴∴，．由题意可知，对于任意的x≥﹣2y随x的增大而减小，从而：，解得：．第7页（共22页）【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握性质是解题的关键．2262021xOyA是抛物线y＝﹣x+2mx﹣m+2m+1的顶点．1）求点A的坐标（用含m2）若射线OA与x轴所成的锐角为°，求m的值；3（04个单位得到点Q只有一个公共点，直接写出m的取值范围．【分析】1）直接将解析式配成顶点式，可以求得点A坐标；2OA与x轴夹角为45A坐标与纵坐标相等，或者横坐标与纵坐标互为相反数，同时，也可以发现点A在直线y2x上运动；（3）先由平移知识，可以得到Q点坐标，且PQ∥x轴，画出草图，可以发现，顶点A所在直线y＝x也经过PA与PmA沿直线y＝x向上运动时，m值越来越大，最大值位置是当抛物线刚好经过Q点时，同时，要注意排除抛物线与直线的两个交点均落在线段上的特殊情况．222【解答】1）∵y＝﹣x+2mx﹣m+2m+1＝﹣（xm）+2m+1，（m2m+12＝m，＝2m+1，消掉＝2+1，A在直线y2x上运动，A所在象限可能为第一、第二、第三象限，OA与x轴所成的夹角为°，∴可以分两类讨论，当A在第一、第三象限时，＝2m+1，m＝﹣，当A在第二象限时，m+2m+10，m＝，m＝﹣1或；30，）向右平移4个单位长度得到Q，则Q（，1PQx轴第8页（共22页）∵抛物线与线段只有一个交点，且抛物线顶点A在直线y＝x上运动，1可得，当顶点A与P点重合时，符合条件，此时m＝0，2A沿直线y＝x均有两个交当抛物线经过Q点时，即当x4y＝1时，﹣（﹣m+2m+11，m＝2或，当m＝2时，抛物线为y＝﹣（x﹣）+5，它与线段的交点为P和Q，有两个交点，不合题意，舍去，当m＝8时，抛物线对称轴右侧的部分刚好经过点Q，符合题意，∴当0≤m≤8，且m≠2时，抛物线与线段只有一个交点【点评】此题考查的是二次函数综合题，主要考查的是数形结合思想，根据题意，充分挖掘题目中的数据参数，是画图的关键，根据图象，判断临界位置，即可解决问题．72021•通州区一模）已知二次函数y＝2+1a01）求此二次函数图象的对称轴；2x轴交于不重合两点x0x0xx1212第9页（共22页）且满足x＜﹣2xa的取值范围．12【分析】1）由二次函数的对称轴x，求出对称轴x1；2xxxx6﹣x1212a的取值范围．【解答】1）∵yax﹣ax+1（≠0aa，＝﹣2ac＝，∴函数的对称轴为：x2）由求根公式得：＝1；＝＝＝，＝，x+x＝2，12x＜﹣2x，12x+2x＜，12即xxx6，122x＜＜4，∵二次函数的图象与x轴交于不重合两点M（x，x012∴△＝4a4a0，解得•：a1或a0，当a1时，2+a1，8a，解之得a＞1或第页（共22页）当a0时，2+a0．8a＞6a恒成立，a0的时候，x2需要小于4，所以x＝4时应该保证＜016a8a+10，a．a的取值范围：＞1或a．222）＝ax2ax+1ax﹣）﹣a+1，对称轴为x＝，顶点坐标为（1，﹣+1x+x＝2，12又x＜﹣2x，12解得：x＜，当a0时，二次函数开口向上，如图：二次函数的图象与x轴交于不重合两点Mx0（x，12∴顶点在x轴的下方，＝4时，y0，则，解得：a1；当a0时，二次函数开口向下，如图：第页（共22页）顶点在x轴的上方，x4时，y＜，则，解得：a．a的取值范围：＞1或a．【点评】0，解不等式等知识．关键是二次函数的应用．82021xOyy＝2+a0x得的线段长度为4．1）求抛物线的对称轴；2c的值（用含a3x3x3x＜xx（x2121215）≤0a的取值范围．【分析】1）由二次函数的对称轴公式，求出对称轴x1；2）根据对称轴求出抛物线于x轴的交点坐标，即可得出结论；3）先判断出点，MN关于抛物线的对称轴对称，再用xx5）≤0，判断出x≤121﹣3或0≤≤1，再用判别式判断出a＞0或a＜﹣，用a表示出x，再分两种情况解【解答】1）∵yax﹣axc（≠0∴函数的对称轴为直线x＝1；2）由（1）知，抛物线的对称轴为直线x＝，第页（共22页）∵抛物线y＝2+ca0x轴截得的线段长度为4，x轴的交点为（﹣1030ya（+1x3）＝ax2﹣3，c＝﹣3；3）∵点M（x3Nx3）为抛物线上不重合两点（其中xx1212M，N关于对称轴x＝1对称，1，x＝﹣x，∴21x（x5）≤0，12x（﹣x﹣）≤0，11∴﹣xx+3）≤0，11x（x+3）≥，11x≤﹣3或x≥0，11x＜x，12x＜，x≤﹣3或0x1，1122x、x是方程ax﹣ax+＝3的根，即ax2ax﹣a﹣＝0的两个根，12∴△＝16a4a4a+3）＞0，a0或a，x＝＝，当a0时，解不等式≤﹣3得，0≤≤；即0a≤；当a时，解不等式组0≤∴﹣≤a1得，≥﹣1，第页（共22页）即0a≤或﹣≤a．【点评】此题主要考查了抛物线的对称轴公式，抛物线的性质，确定出点M，N关于对称轴对称是解本题的关键．92021•平谷区一模）已知关于x的二次函数y＝x2mx﹣．1）当抛物线过点（2，﹣）时，求抛物线的表达式，并求它与y轴的交点坐标；2）求这个二次函数图象的对称轴（用含m3）若抛物线上存在两点a，b，﹣b＜0b0时，总有ab0，求m的取值范围．【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，令x0，求得函数值，即可求得抛物线与y轴的交点；2）利用对称轴公式求得即可；3）由题意可知a|||，即可判断抛物线的对称轴在y轴的右侧，即m0．【解答】1）∵抛物线过点（2，﹣3∴﹣＝44m3，m＝，∴抛物线为：＝x2x﹣，令x0y＝﹣，y轴交点（，﹣32）∵二次函数＝x﹣mx﹣3，∴对称轴x＝m；3）∵ab0，b＞﹣a，a0，＞0，|||b，AaaBb，﹣b）是抛物线yx﹣2mx3上的两点，∴抛物线的对称轴在y轴的右侧，m＞．第页（共22页）【点评】本题考查了抛物线与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．102021•顺义区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2﹣ax+3a（a＞0）与y轴交于点A．1）求点A和抛物线顶点的坐标（用含a2＝﹣ax+3a与抛物线＝4ax+3aG纵坐标都为整数的点叫做整点．当a1时，结合函数图象，求区域G中整点的个数；当区域G中恰有6个整点时，直接写出a的取值范围．22【分析】1yax﹣4+3a化成顶点式y＝x﹣）﹣＝0，＝3，可求出点A的坐标；2当a1时，则y＝﹣x+3y＝4x+3，再根据整点的定义可得结论；对a进行讨论，再结合整点的定义进行分析．22【解答】1）∵yax﹣ax+3aa（﹣2）a，∴顶点坐标（，﹣a∵抛物线y＝4+3（a0y轴交于点A，A03a2当a1时，y＝﹣+3，yx﹣4+3，y＝﹣x与y＝4x的交点为（3，0，则（，1，0）是区域G中的两个整点，即区域G中整点的个数为2联立直线＝﹣ax+3a与抛物线＝4ax+3，可得交点为（03a，0G是0≤≤3，﹣≤y3a组成；第页（共22页）当x1时，与直线的交点为（12a1，同理可得，当x＝2时，与直线的交点为（2，2，﹣aG中的整点不包括边界，整点有6个，如图，当0a1时，G中最多有1个整点；当a1时，G2个整点；当1a1.5时，G中最多有5个整点；当1.5＜a2时，G中最多有6个整点；当2a3.5时，G中最多有13个整点；时，区域G中恰有6个整点．【点评】本题属于新定义类问题，主要考查二次函数图象的性质，利用数形结合思想分析会更直观．222021xOyyx﹣bxb﹣b0点（m，1）用含b的代数式表示抛物线顶点的坐标；2）若抛物线经过点0，0＜＜3n的取值范围；3≤m≤5时，n2，结合函数图象，直接写出b的取值范围．【分析】1）把抛物线的解析式化成顶点式即可；2）把点B坐标代入抛物线的解析式，求出抛物线的解析式，结合图形，再求当0m3时，n的取值范围；第页（共22页）3）分别讨论m和b的大小关系，根据n2，求出b的取值范围．222【解答】1）∵yx﹣2+b2＝（xb）2，∴顶点坐标为（b，﹣2222）把（0，）代入＝x﹣bxb﹣2b0得b2b＝﹣b2，∴解析式为：＝x4x+2，对称轴为＝2；顶点坐标为（，﹣2结合函数图象可得，在顶点处n取得最小值﹣；当x0时，y2，0＜m3时，﹣2≤＜2．3）如图，若3≤m5≤b＝（3b22，1b≤，矛盾，不成立；若3b≤5x＝3时，y＝（3b）2≤1≤≤5，x＝5时，y＝（5b）2≤3≤≤7，3b≤；当b3≤m5＝（5b223b≤，矛盾；综上，b的取值范围为≤b5．第页（共22页）【点评】本题主要考查二次函数的取值范围问题，涉及待定系数法求解析式，数形结合思想等，利用数形结合思想结合图象求取值范围是常见方法．2021xOyx的二次函数yx2tx+1．1）求该二次函数图象的对称轴；2t2m（+3yx﹣txmn的大小；23xy（xyyx﹣tx1x＜311221且x＝，都有yyt的取值范围．212【分析】1）把解析式化成顶点式即可求得；2）根据二次函数的性质即可判断；（3）当t1时，此时﹣1≤x＜3，x＝3都有y≤y，当t＞1时，令x＝﹣1时，y＞121211，不符合题意，由此即可解决问题．222【解答】1）∵yx﹣2tx+1＝（xt）﹣t+1，第页（共22页）∴抛物线的对称轴为直线xt；2）抛物线开口向上，对称轴为直线xt，M（2，m）关于对称轴的对称点为（+2mt+2t，m＜，故答案为：＜；3≤﹣1时，此时﹣1x3x23yy，符合题意；112只要满足x1到对称轴距离小于3到对称轴距离，从而取﹣1与3的中点1，即可得之．综上所述：≤1．【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握性质是解题的关键．2021•延庆区一模）在平面直角坐标系xOy中，直线：y＝﹣2x与y轴交于点，与x轴交于点B，二次函数的图象