2021北京中考数学二模分类汇编《代数综合》含答案解析

2021北京中考数学二模分类汇编——代数综合2212021•海淀区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2mxm与y轴的交点为，过点A作直线l垂直于y1）求抛物线的对称轴（用含m2）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形GMx，y（x，y）为图形G上任意两点．1122当m＝0时，若xx，判断y与y的大小关系，并说明理由；1212若对于x＝m2，xm+2，都有yym的取值范围．121222021•西城区二模）在平面直角坐标系xOy（ayayy＝12x上两点，其中0．1）求抛物线与x轴的交点坐标；2）若t＝1，点M，点N在抛物线上运动，过点M作y轴的垂线，过点N作x轴的垂线，两条垂线交于点Q，当△为等腰直角三角形时，求a的值；3）记抛物线在MN两点之间的部分为图象G（包含M，NG上最高点与最低点的纵坐标之差为1，直接写出t的取值范围．第1页（共6页）32021xOyy＝﹣3ax与y轴交于点A．1）求抛物线的对称轴；2BA关于对称轴的对称点，求点B的坐标；（3）已知点P0，2Q（+1，1与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．42021•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy（xyxyy112222ax2ahx+ah+1a＜）上的两点．1＝1时，求抛物线的对称轴；2）若对于≤x≤，4hx≤﹣h，都有yyh的取值范围．1212第2页（共6页）52021•丰台区二模）在平面直角坐标系xOyy＝+aa0轴是直线x＝．1）用含a的式子表示b；2）求抛物线的顶点坐标；3）若抛物线与y轴的一个交点为（0，﹣4m≤x≤n时，y的取值范围是﹣5yn，结合函数图象，直接写出一个满足条件的n的值和对应m的取值范围．62021•石景山区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝bxc．1＝﹣2若c4，求该函数最小值；若2x≤，则此时x对应的函数值的最小值是5c的值；2＝2bxbx≤且此时x所对应的函数值的最小值是，直接写出b的值．第3页（共6页）272021•房山区二模）已知抛物线yaxbx（≠0）经过点A33Mx，y11（x，y）为抛物线上两个不同的点，且满足x＜xxx2．2212121）用含a的代数式表示；2yy时，求抛物线的对称轴及a的值；123yy时，求a的取值范围．1282021•昌平区二模）在平面直角坐标系xOyy＝bx+3（≠0x交点为点A10）和点．1）直接写出抛物线的对称轴和点B的坐标；2）分别过点Pt，）和点Q（+2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M和点，记抛物线在MN之间的部分为图象MNG上任意一点的纵坐标的最大值是m，最小值为n．当a2时，画出抛物线的图象，根据图象直接写出mn的最小值；若存在实数，使得mn＝，直接写出a的取值范围．第4页（共6页）92021•顺义区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2﹣ax+2（a＞0）与y轴交于点．1）求点A的坐标及抛物线的对称轴；2≤x5时，y的最小值是﹣2，求当≤x5时，y的最大值；3xy（xy＜xt+1+2＜x+3112212yy，直接写出t的取值范围．122021•平谷区二模）已知抛物线＝2axa4（＞01）直接写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；2）已知该抛物线经过（0y（，y）两点，12直接写出y与y的大小关系；12过B点垂直于x轴的直线交x轴于点C，若四边形的面积小于或等于6，直接a的取值范围．第5页（共6页）2021xOyyxbx的对称轴为直线＝2．1b的值；2y轴上有一动点0nP作垂直y轴的直线交抛物线于点（xy11（x，yx＜x．2212当x﹣x3时，结合函数图象，求出n的值；21②把直线上方的函数图象，沿直线向下翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W，新图象W在0x5时，满足﹣4y4n的取值范围．第6页（共6页）2021北京中考数学二模分类汇编——代数综合参考答案与试题解析2212021•海淀区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2mxm与y轴的交点为，过点A作直线l垂直于y1）求抛物线的对称轴（用含m2）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形GMx，y（x，y）为图形G上任意两点．1122当m＝0时，若xx，判断y与y的大小关系，并说明理由；1212若对于x＝m2，xm+2，都有yym的取值范围．1212【分析】1）根据对称轴公式x，求解即可．2yy．利用图象法，根据函数的增减性判断即可．12②通过计算可知，P（m﹣2，4Q（m+2，4）为抛物线上关于对称轴x＝m对称的两my轴与点PQ2y点PP3y轴在点QQ4y轴在点P，Q之间时（不含PQ22【解答】1）抛物线yx﹣2mxm的对称轴为直线x＝m．2yy．12理由：当m0时，二次函数解析式是＝x，对称轴为y所以图形G上的点的横纵坐标x和y，满足y随x的增大而减小；x＜x，12y＞y．12第1页（共18页）②通过计算可知，P（m﹣2，4Q（m+2，4）为抛物线上关于对称轴x＝m对称的两下面讨论当m变化时，y轴与点PQ的相对位置：2y轴在点P左侧时（含点P经翻折后，得到点M，N的纵坐标相同，yy，不符题意；123y轴在点Q右侧时（含点Q点MN分别和点PQ重合，yy，不符题意；124y轴在点PQ之间时（不含，Q经翻折后，点N在l下方，点MP重合，在l上方，y＞y，符合题意．12第2页（共18页）此时有m﹣＜0m+2，即﹣2m＜．综上所述，m的取值范围为﹣＜m2．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称翻折变换，函数的增减性等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，正确作出图形是解决问题的关键．22021•西城区二模）在平面直角坐标系xOy（ayayy＝12x上两点，其中0．1）求抛物线与x轴的交点坐标；2）若t＝1，点M，点N在抛物线上运动，过点M作y轴的垂线，过点N作x轴的垂线，两条垂线交于点Q，当△为等腰直角三角形时，求a的值；3）记抛物线在MN两点之间的部分为图象G（包含M，NG上最高点与最低点的纵坐标之差为1，直接写出t的取值范围．【分析】1yx+x0，解得x0或﹣1，即可求解；2）由题意得，此时点Q的坐标为（+，MQ，即可求解；3MNMNa2yy＝t+2at＝MNM、21N在对称轴两侧时，同理可解．【解答】1yx+x0，解得x0或﹣1，故抛物线与x轴的交点坐标为（，0）或（﹣，02）由题意得，此时点Q的坐标为（+，∵△为等腰直角三角形，故MQNQ，则MQ＝+at＝，22|y﹣y＝（a+1）a+1a﹣|MQ1，12a；3）由抛物线的表达式知，顶点坐标为（﹣MN在对称轴同侧时，第3页（共18页）M、N均为对称轴的右侧时，即a≥﹣，222则y﹣y＝（a+）（+）﹣aa＝t+2at＝1，21a＝1t）≥﹣，解得≤t1；M、N均在对称轴左侧时，可得：0t1；0t1；MN在对称轴两侧时，则最小值为﹣，最大值为y或y，12当最大值为y时，则y﹣（﹣）＝，11即aa+＝1，解得a或则与点M关于抛物线对称轴对称的点的横坐标为，N的横坐标a+t1≤2；和之间，即﹣≤﹣≤，当最大值为y2时，同理可得，1≤≤2；故1≤2；综上，0t2．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形性质、解不等式等，其中（332021xOyy＝﹣3ax与y轴交于点A．1）求抛物线的对称轴；2BA关于对称轴的对称点，求点B的坐标；（3）已知点P0，2Q（+1，1与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．【分析】1）利用配方法将抛物线yax﹣ax化成顶点式，抛物线对称轴可得；2）先求出点A坐标，利用抛物线的对称性即可求点B的坐标；3＞0和a0Q的位置确定Q的横坐标a的大小，a的取值范围可以求得．22【解答】1）∵yax﹣ax+1＝（x﹣x）+1a+，第4页（共18页）∴抛物线y＝3的对称轴为直线x＝．2＝0＝1．A01BA关于对称轴的对称点，A与B的纵坐标相同．∵对称轴为直线x＝，A与B到直线x＝的距离均为，B的横坐标为．B313）由题意：a≠．当a0时，如图，Q（+11A01B31QAB在直线＝1P02QAAB与抛物线只有一个公共点．A01B31a+10（不合题意，舍去）或a+13．a2．当a0时，如图，第5页（共18页）知：点QAB在直线y1P02∴从图上可以看到：当Q在点A与点B之间（包括点A，不包括点B）时，线段与抛物线只有一个公共点．A01B310a+1＜．∴﹣≤a2．又∵＜0，∴﹣≤a0．综上，若线段与抛物线与恰有一个公共点，a的取值范围为：﹣1a＜0或≥2．【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的对称轴，开口方向，图象上点的坐标的特征．利用配方法求二次函数的对称轴和顶点坐标是解决此类问题的重要方42021•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy（xyxyy112222ax2ahx+ah+1a＜）上的两点．1＝1时，求抛物线的对称轴；2）若对于≤x≤，4hx≤﹣h，都有yyh的取值范围．1212【分析】1）先化抛物线的表达式为y＝（x1+1，依此可求抛物线的对称轴；20y2y4hy﹣hyABCDa＜，分情况讨论即可求得答案．【解答】1h1时，抛物线的表达式为＝2axa+1，ya（﹣1+1，∴抛物线的对称轴为直线x1；第6页（共18页）20y2y4hy﹣hyABCDa0，y的最小值必为y或y．1AB由a0可知，当时，存在yy，不符合题意．21当h2时，总有4h2．x＞h时，y随x的增大而减小，y＞yy．BCD当时，4hh≥h．y≥yy，符合题意．ACD当时，4﹣﹣hh．y＜y，不符合题意．AC当＜h5x＜h时，y随x的增大而增大，yyyy．CDAB当时，5﹣＞0．yy，不符合题意．DA当h5时，5h0．yy，符合题意．DA综上所述，h的取值范围是或h5．【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数上的点的特征，熟练掌握对称轴公式及求顶点坐标的方法是解本题的关键，根据图象及性质确定t的范围是本题的难点．52021•丰台区二模）在平面直角坐标系xOyy＝+aa0轴是直线x＝．1）用含a的式子表示b；2）求抛物线的顶点坐标；3）若抛物线与y轴的一个交点为（0，﹣4m≤x≤n时，y的取值范围是﹣5yn，结合函数图象，直接写出一个满足条件的n的值和对应m的取值范围．第7页（共18页）【分析】1）根据对称轴公式得﹣＝1，可得b的值；2b＝﹣2ax1代入抛物线可得y＝﹣1，5304a﹣＝﹣41b＝﹣2程可得a，b的值，根据题意横坐标和纵坐标相等，即抛物线与y＝x联立可得x＝4或x＝﹣n4，mn可推出m≤1．【解答】1）∵﹣b＝﹣2；1，2）由（1b＝﹣a，yax﹣axa﹣，当x1时，ya2aa5＝﹣5，1，﹣3）∵抛物线与y轴交点为（0，﹣联立方程得解得：，，yx﹣2﹣4，mxn时，y的取值范围是﹣5y≤，由图象可知，﹣5为抛物线最低点的纵坐标，x＝，由，得x4x＝﹣1，n4或n＝﹣1m≤n＝4时，m≤n，﹣≤m≤．第8页（共18页）【点评】本题属于二次函数压轴题，综合性较强，解本题关键掌握二次函数的性质，会画二次函数图象，结合图象来分析．62021•石景山区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝bxc．1＝﹣2若c4，求该函数最小值；若2x≤，则此时x对应的函数值的最小值是5c的值；2c2bxbx≤且此时x所对应的函数值的最小值是，直接写出b的值．【分析】1）利用配方法，把二次函数的解析式写成顶点式即可．由题意，判断出x2时，y5，利用待定系数法可得结论．2＝2b时，y＝bx+2b，图象开口向上，对称轴为直线x，分三种情形：①当﹣＜b，即b＞0时，②当b≤﹣≤b时，即﹣≤b≤0，③当﹣＞b+2，即b，分别利用待定系数法，构建方程求解即可．22【解答】1）由题意，二次函数的解析式为yx2x+4＝（x1）+3，∴顶点坐标为（13∴函数的最小值为3．y＝2xc，∴对称轴是直线x1，2x≤，则此时x对应的函数值的最小值是5，x2时，y5，54﹣4+，c5．第9页（共18页）2＝2b时，y＝bx+2b，图象开口向上，对称轴为直线x，bb0在自变量x的值满足bxb的情况下，y随x的增大而增大，22x＝b时，y＝bb•+2b＝bb最小值，22b+2＝，解得，b＝﹣b＝；12当b≤时，即﹣b0，x，y的值最小，∴b﹣b+2b在自变量x的值满足bxb的情况下，y随x的增大而减小，+2b12，方程无解．，22x＝时，y＝（b+2）b（+2）+2b2b+8b为最小值，22b+8+412．解得，b＝﹣2+2b＝﹣22；1综上所述，满足条件的b的值为2或﹣22．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．272021•房山区二模）已知抛物线yaxbx（≠0）经过点A33Mx，y11（x，y）为抛物线上两个不同的点，且满足x＜xxx2．2212121）用含a的代数式表示；2yy时，求抛物线的对称轴及a的值；123yy时，求a的取值范围．12【分析】1（，3）代入y＝，变形即可得答案；2yy知MN关于对称轴对称，即可根据x+x＝2求出对称轴；1212（3）由且y＜y得1﹣a0即可得答12【解答】1）∵过A339a+3＝3，b1﹣a；第页（共18页）2）∵（x，yNx，y）为抛物线上两个不同的点，y＝y，112212Mx，yNxy）关于对称轴对称，1122而xx2，12∴对称轴为直线，，a1；23）将点M（xyNx，y）代入yax（﹣3）x1122，，∴，ax+xx﹣x+13ax﹣x）121212＝（xxa+13a）12＝（xx﹣a12x＜xyy，1212x﹣x0，yy＜．12121a＞．a1且a≠．【点评】本题考查二次函数综合知识，解题的关键是熟练应用二次函数的性质．82021•昌平区二模）在平面直角坐标系xOyy＝bx+3（≠0x交点为点A10）和点．1）直接写出抛物线的对称轴和点B的坐标；2）分别过点Pt，）和点Q（+2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M和点，记抛物线在MN之间的部分为图象MNG上任意一点的纵坐标的最大值是m，最小值为n．当a2时，画出抛物线的图象，根据图象直接写出mn的最小值；若存在实数，使得mn＝，直接写出a的取值范围．【分析】（1）根据A点的坐标代入函数可以得出系数关系式，根据对称轴公式可求出对称轴，再根据对称性求出B点坐标；2）①当a2时，根据函数解析式可以求出顶点坐标，根据给出的P、Q点坐标可以第页（共18页）t值，即进一步确定G的图象，即可求出mn最小值；分a＞0和a0两大情况，再每种情况下按t的取值范围分四小类，分别讨论a的取值范围．【解答】1）∵抛物线y＝bx+3（a0x轴的交点为点A1，0ab+3a，即b＝﹣a，∴对称轴为直线x2，B点是函数图象与x轴的另一交点，根据对称性可得，（，02当a2时，函数解析式为＝28x+6a≠∴对称轴为直线x2，顶点坐标为（2，﹣2∵由图象知当图象G为对称图形时m﹣n有最小值，P，）Q（+2，02t+22，＝1，Pt0）和点Q+20x轴的垂线，交抛物线于点M，M10N（，0∵顶点坐标为（2，﹣2m﹣n的最小值为﹣（﹣2）＝；t，）和点Q+2，0x轴的垂线，交抛物线于点MN，由（b＝﹣4，22Mtat4at+3a（+2，（+2）﹣4（+2+3a又∵抛物线对称轴为2，顶点坐标为（2，﹣2MN点的相对位置和抛物线的开口方向可分以下四种情况讨论a的取值：（Ⅰ）当a＞t0时，即图象G在对称轴左侧时，M点的纵坐标最大，N点的纵坐标最小，22at﹣at+3﹣[at+2）﹣4（t）+3a]2，t1﹣又∵0，＞0，，第页（共18页）1﹣0且a0，0a≤，（Ⅱ）当a＞t2时，即图象G在对称轴右侧时，N点的纵坐标最大，M点的纵坐标最小，22at+2）4a+2+3a﹣（at﹣at+3）＝2，t1+，又∵2，＞0，1+≥2且a0，0a≤，（Ⅲ）当a＞0＜1时，即最低点是图形顶点时且M点纵坐标大，M点的纵坐标最大，当＝2时的纵坐标最小，m＝at﹣at+3，＝4﹣8+3a＝﹣a，即at﹣4+3a﹣（﹣a）＝2，t2±，又∵＜≤，a0，＝2﹣，即02﹣1，∴≤a2，（Ⅳ）当a＞1＜2时，即最低点是图形顶点时且N点纵坐标大，N点的纵坐标最大，当x2时的纵坐标最小，m＝（+2）4at+2+3a，＝4﹣8+3a＝﹣a，即a+2﹣a（+2）+3﹣（﹣a）＝，t＝，又∵＜＜，a0，第页（共18页）1＜4，∴＜a2，同理可得当a0时，﹣2≤＜0也符合条件，综上，a的取值范围为＜a2或﹣≤a0．【点评】本题考查二次函数的综合应用，难度较大，解题的关键是分类讨论图象G上纵坐标的大小值．92021•顺义区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2﹣ax+2（a＞0）与y轴交于点．1）求点A的坐标及抛物线的对称轴；2≤x5时，y的最小值是﹣2，求当≤x5时，y的最大值；3xy（xy＜xt+1+2＜x+3112212yy，直接写出t的取值范围．12【分析】x0A（2）由0≤x≤5时，y的最小值是﹣2，可知抛物线开口向上，且对称轴x＝2，故最小值是顶点纵坐标，可求出a及抛物线解析式，又抛物线开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，可知x5时函数取最大值，即可得到答案；（3t+1＜2时，需满足x＝时的函数值小于x＝时的t+12x＝的函数值大于xt的函数值，分别列出不等式即可得到答案．【解答】1x0得y2，A02第页（共18页）222yax﹣ax+2＝（x﹣x+4）+24aa（﹣2）+24a，∴二次函数图象的对称轴是直线x＝；2＞0可知抛物线开口向上，∵对称轴是直线x20x5时，y的最小值是﹣，∴最小值在顶点处取得，24a＝﹣2，解得a1，∴二次函数表达式为yx﹣4+2，∵抛物线开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，且|0﹣（﹣2）＜|25|，x＝5时，y有最大值，y54×5+27；3）对于＜x＜+1，+2＜x＜+3，都有yy，分两种情况：1212（一）当t+12时，需满足x＝时的函数值不大于x时的函数值，如图：22at+3）4a+3+2a（+1）4at+1+2，t0；（二）当t+12时，需满足x＝的函数值不小于x＝t的函数值，如图：22at+2）4a+2+2at4at+2，t1，综上所述，对于＜x+1+2x＜+3，都有yyt0或≥．12122：yyxyQx，y）不关于对称轴x2对称，121122第页（共18页）x+x≠4恒成立，即xx4成立或x+x4成立，121212