空间直线、平面的垂直

8.6.1空间直线、平面的垂直

【知识点一】直线与平面垂直的定义

如果直线1与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线/与平面a互相

定义

垂直

记法

直线/叫做平面a的垂线，平面a叫做直线/的垂面，它们唯一的公共点尸叫

有关概念

做垂足

/

图示▲IT7

画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直

【知识点二】直线和平面垂直的判定定理

文字

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

语言

分上口

付万

/_La,/±Z?,bUa,aGb=P=>/J_ct

语言

I

图形

语言

【知识点三】直线与平面垂直的性质定理

文字语言垂直于同一个平面的两条直线壬任

a.La

符号语言•^a//b

b_La,

图形语言4f7

【知识点四】平面与平面垂直

（1）平面与平面垂直

①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

②画法:

3/

③记作：aLp.

（2）判定定理

文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

\

___________\

图形语言/

，/n(----:

匚(

符号语言/±a,luga邛

【知识点五】平面与平面垂直的性质定理

两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,

文字语言

那么这条直线与另一个平面垂直

符号语言a_L£,aC£=l,aUa,

图形语言ni:

=ii

【例1-1】（概念的理解）下列命题中，正确的序号是.

①若直线/与平面a内的无数条直线垂直，则/，a；

②若直线/与平面a内的一条直线垂直，则/J_a；

③若直线/不垂直于平面a,则a内没有与/垂直的直线；

④若直线I不垂直于平面a,则a内也可以有无数条直线与/垂直；

⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.

【变式1】（1）若三条直线04,OB,OC两两垂直，则直线OZ垂直于（）

A.平面0/8B.平面O4C

C.平面08CD.平面Z8C

（2）如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边：③圆的两条直径；④正五边

形的两边.能保证该直线与平面垂直的是.（填序号）

【变式2】下列说法中，正确的有（）

①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直：

②过直线/外一点P,有且仅有一个平面与/垂直；

③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面；

④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面；

⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内.

A.2个B.3个

C.4个D.5个

【例2-1](线面垂直的判定)在四棱锥P—A3C。中，ZABC=ZL4CD=90-ZBAC=ZCAD=60S

平面ABC。，E为尸。的中点，M为AO的中点，PA=2AB=4.

(1)取PC中点F,证明：PC_L平面AEF；

(2)求点。到平面ACE的距离.

【变式1】如图，在三棱锥s-NBC中，ZABC=90°,。是ZC的中点，且SZ=S8=SC.

匚1

匚I-

(1)求证：SZ)_L平面/8C；

(2)若/8=BC,求证：8。_1平面“C

【变式2】将棱长为2的正方体ABCO-AgGA沿平面ABCR截去一半(如图1所示)得到如图2

所示的几何体，点E，尸分别是3C，。。的中点.

(I)证明：EF_L平面4AC；

(II)求三棱锥A—。族的体积.

【例2-2】（线面垂直的性质）如图，在四棱锥尸一N8C。中，底面是矩形，平面RID,AD

=AP,5'是尸。的中点，M,N分别在PC上，且MNJL/8,MV_LPC证明：AE//MN.

【变式1】如图，aC£=l,PALa,PB邛,垂足分别为/,B,a^a,.求证：a//l.

/

/

【例3-1】（概念理解）下列不能确定两个平面垂直的是（）

A.两个平面相交，所成二面角是直二面角B.一个平面垂直于另一个平面内的一条直线

C.一个平面经过另一个平面的一条垂线D.平面a内的直线a垂直于平面£内的直线分

【例3-2】已知直线“，〃与平面a,仇给出下列三个结论：

①若加〃a,n//a,则机〃”；②若机〃a,则〃?_!_〃；③若m//p,则

其中正确结论的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【变式1】过两点与一个已知平面垂直的平面（）

A.有且只有一个B.有无数个

C.有且只有一个或无数个D.可能不存在

【例3-3](证明面面垂直)如图，四棱锥P—ABQD中，底面ABCD是正方形，PD_L平面ABC。，

AB=2,PD=2娓,。为AC与BD的交点，E为棱PB上一点、.

(1)证明：平面平面PBD；

(2)若PD〃平面E4C,求三棱锥8-AEC的体积.

【变式1】如图，在三棱锥P-ABC中，PALAB，PALBC,ABA.BC,PA=AB=BC=2,

O为线段AC的中点，E为线段PC上一点.

(1)求证：平面B£)E_L平面PAC；

(2)当B4//面3OE时，求三棱锥E—8CD的体积.

【例3-4】（面面垂直的性质）如图，在三棱锥产一Z8C中，平面平面以8_L平面P8C.

求证：BCLAB.

【变式1】如图,边长为2的正方形所在的平面与平面/8C垂直,与CE的交点为M,NCJ_BC.

求证：/A/_L平面E8C.

课后练习题

1.如图，已知PA_L。。所在平面，48为。。的直径，。是圆周上的任意一点，过力作AE_LPC于反求

证：AEJ_平面阳C

2.如图，在正方体A5CD—44G2中，"为4A的中点，ACnBO=O.求证:

(1)4。，平面用8。2；

（2）OE//平面AC4.

3.如图所示，在正方体ABC。—AQCQI中，点。为底面ABC。的中心，点尸为CG的中点，求

证：4。，平面8。咒.

4.已知直三棱柱ABC-AAC中，ABAC=90°,AB^AC,。是BC中点，E是的中点.

(1)求证：AD1BC,；

(2)求证：OE//平面AGB.

5.如图，在四棱锥P—ABC。中，Q4,底面ABCD,AB±AD,AC±CD,PA=AC,E是PC

的中点.

证明：(I)CD1AE；

(II)平面ABE.

6.如图，边长为2的正方形ABC。所在的平面与半圆弧C。所在平面垂直，M是上异于C,D

的点.证明：平面AMD1平面

7.如图，在三棱锥A4%中，/%，平面/%且45=3。，D、K分别为小、/C的中点.

(1)求证：PA//平面BDE；

(2)求证：平面匝应_1_平面用C

8.如图，在棱长为2的正方体ABC。—48GA中，E,尸分别为AA，4G的中点.

(1)求证：平面A4E〃平面8。尸；

(2)求平面与平面8。尸之间的距离.

8.6.1空间直线、平面的垂直

【知识点一】直线与平面垂直的定义

如果直线/与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线/与平面a互相

定义

垂直

记法/_La

直线/叫做平面a的垂线，平面a叫做直线/的垂面，它们唯一的公共点P叫

有关概念

做垂足

4

图示

画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直

【知识点二】直线和平面垂直的判定定理

文字

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

语言

KX口

付万'

/±a,lA-b,aUa,bUa,aC6=P=>/_l_a

语言

图形

语言

【知识点三】直线与平面垂直的性质定理

文字语言垂直于同一个平面的两条直线壬任

符号语言\"a"b

h-La\

图形语言

/TrTi7

【知识点四】平面与平面垂直

（1）平面与平面垂直

①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.

②画法：

3/

③记作：a邛.

（2）判定定理

文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

图形语言

符号语言Z±a,luga4

【知识点五】平面与平面垂直的性质定理

两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,

文字语言

那么这条直线与另一个平面垂直

符号语言a邛,aCi/3=l,gCg,a_LQa_l_6

图形语言

【例1-1】（概念的理解）下列命题中，正确的序号是

①若直线/与平面a内的无数条直线垂直，贝

②若直线/与平面a内的一条直线垂直，则/La；

③若直线/不垂直于平面a,则a内没有与/垂直的直线；

④若直线/不垂直于平面a,则a内也可以有无数条直线与/垂直；

⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.

【答案】④⑤

【解析】当直线/与平面a内的无数条直线垂直时，/与a不一定垂直，所以①不正确；当/与a内的

一条直线垂直时，不能保证/与平面a垂直，所以②不正确；当/与a不垂直时，/可能与a内的无数

条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确.

【变式1】（1）若三条直线04,OB,OC两两垂直，则直线垂直于（）

A.平面OABB.平面OAC

C.平面08cD.平面/8C

（2）如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边

形的两边.能保证该直线与平面垂直的是.（填序号）

【解析】0A1.0C,OBHOC=O,OB,OCU平面。8C,

平面OBC.

（2）根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相

交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件.

【变式2】下列说法中，正确的有（）

①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直；

②过直线/外一点P,有且仅有一个平面与/垂直；

③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面；

④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面：

⑤过点A垂直于直线«的所有直线都在过点A垂直于a的平面内.

A.2个B.3个

C.4个D.5个

【答案】B

【解析】①④不正确，其他三项均正确.

【例2-1］（线面垂直的判定）在四棱锥P-ABCD中，ZABC=ZACD=90.ABAC=ACAD=60-

PAJ_平面ABC。，E为PO的中点，M为AD的中点，PA=2AB=4.

（1）取PC中点尸，证明：PC_L平面AEF；

（2）求点。到平面ACE的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）273

【解析】（1）证明：因为PC中点产，

在中，A5=2,N5AC=6（r,则3c=2右,AC=4.

而F4=4,则在等腰三角形APC中，PCLAF①.

又在APCD中,PE=ED,PF=FC,则EF//CD，

因为平面ABC。，COu平面ABC。，则Q4LCD,

又NAC£>=90，即AC_L8,ACoPA^A,

则CD_L平面PAC,因为PCu平面PAC,所以PC_LCD,因此乏：b_LPC②.

又比'0人尸=/，由①②知PC_L平面AEP；

⑵在HAACfH」，CO=46,AC=4,:.S&ACD=Sy/3,

又EMMPA,PA_L平面ABC。，

.•.EM_L平面ABCO，即£N为三棱锥E—ACO的高，

.-.V£ACD=-SACD-EM=--Sy/3-2=^^~，

£-AC。3A/ICL/3"3

在△ACE中，AE=CE=2后,AC=4--••\ACE=8>

设点D到平面ACE的距离为h,

则%ACE~LACD='，S'h=

U-AL匕tZ-3AHALCEI3'",

/7=2百，即点D到平面ACE的距离为2下）.

【变式1】如图，在三棱锥S-48C中，ZABC^90°,。是NC的中点，且S/=S8=SC.

(1)求证：S£>_L平面/8C；

(2)若/8=8C,求证：8。_1_平面SZC.

【解析】证明(1)因为S/=SC,。是4C的中点，

所以SDUC.在RtAABC中，AD=BD,

由已知S4=S8,

所以△/OS<△8OS,

所以SZ)_L8D又40(18。=。，AC,B0U平面/BC,

所以SD_L平面Z8C

(2)因为/8=8C,力为/C的中点，

所以8£>_L4C.由(1)知SD1BD.

又因为SDC/C=O,SD,/CU平面S/C,所以8。_1_平面”C.

【变式2】将棱长为2的正方体ABCO—dga，沿平面ABCR截去一半(如图1所示)得到如图2

所示的几何体，点E，尸分别是BC,OC的中点.

(1)证明：石尸_L平面AAC；

(II)求三棱锥A—。E尸的体积.

【答案】(I)证明见解析；(II)1.

【解析】(I)如图所示：

连接BD，易知30,AC，

因为平面ABCD，BDu平面ABCD，

所以4A_L8。，又AAIAC=A,

所以BO1平面4AC.

在ACSO中，点E，F分别是8C，0c的中点,

所以BD//EF.

所以三下_L平面4AC.

(II)；平面ABCO，

。。是三棱锥。一AE/在平面AEE上的高，且。。=2.

•.•点E，尸分别是5C,。。的中点,

/.DF=CF=CE=BE=1.

1113

2

/.S^AEF=2--ADDF--CFCE--ABBE=-.

113

=XX=

=「

^A-DtEFVDAEF—§-S&AEF-^1^'

【例2-2】（线面垂直的性质）如图，在四棱锥P—48C。中，底面是矩形，平面以。，AD

=AP,E是PD的中点，M,N分别在PC上，JIMNVAB,MALLPC证明：AE//MN.

【解析】证明平面均。，/Eu平面均。，.•.ZE_L/8,

又AB"CD、J.AEVCD.

；4D=4P,E是PO的中点，：.AELPD.

又CDCPD=D,CD,PDu平面PCD,

；.NE_L平面PCD.

,：MNLAB,AB//CD,:.MNLCD.

又,：MNLPC,PCQCD^C,PC,COu平面PC。，

平面PC。，J.AE//MN.

【变式1】如图，aCQ=i,PAVa,PB邛,垂足分别为4,B,〃Ua,a_L/5.求证：a//L

【解析】证明Ya,，刃，/.同理PBL

；B4CPB=P,PA,P8U平面必18,.1_L平面/MB.

又,.,/54J_a,aUa,'.PAYa.

:aUB,PAnAB^A,PA,Z8U平面以2,

.♦.a_L平面PAB.

：.a//l.

【例3-1】（概念理解）下列不能确定两个平面垂直的是（）

A.两个平面相交，所成二面角是直二面角B.一个平面垂直于另一个平面内的一条直线

C.一个平面经过另一个平面的一条垂线D.平面a内的直线。垂直于平面口内的直线b

【答案】D

【解析】如图所示，在正方体/8C。-48C1D1中，平面小8CZ）内的直线小9垂直于平面488内

的一条直线BC,但平面A\B\CD与平面ABCD显然不垂直.

【例3-2】已知直线机，〃与平面a,p,给出下列三个结论:

①若”?〃a,n//a,则机〃〃；②若机〃a,“J_a,则机_1_〃；③若机J_a,机〃4，则a_L夕.

其中正确结论的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】①若加〃a,”〃a,则与〃可能平行、相交或异面，故①错误；易知②③正确.所以正确

结论的个数是2.

【变式1】过两点与一个已知平面垂直的平面（）

A.有且只有一个B.有无数个

C.有且只有一个或无数个D.可能不存在

【答案】C

【解析】若过两点的直线与已知平面垂直时，此时过这两点有无数个平面与已知平面垂直，若过两点

的直线与已知平面不垂直时，则有且只有一个过这两点的平面与已知平面垂直.

【例3-3］（证明面面垂直）如图，四棱锥P-ABCD中，底面AB8是正方形，PDJ_平面

AB=2,PD=2>/6,。为AC与BD的交点，E为棱PB上一点、.

（1）证明：平面E4CJ■平面

（2）若〃平面E4C,求三棱锥3-AEC的体积.

/7

【答案】（1）证明见解析；（2）=9四.

3

【解析】（1）因为四边形ABC。为正方形，则AC，比>,

•.•PO_L底面ABC。，4。(=平面筋。。，，4。，尸。,

;PZ)c=£＞，..AC，平面P3D,

；ACu平面E4C,；.平面E4C_L平面P8£)；

(2)如下图所示，连接OE,

P

R-

-识

•.•四边形ABC。为正方形，且ACnB£>=O,则。为6。的中点，

因为PD〃平面AEC,PDu平面PBD,平面PBOn平面A£C=OE,.•.OE//PD,

•.•。为8。的中点，为的中点，

•.•P£>_1平面438,，0七，平面438,且OE=，PO=新，

2

1,

△ABC的面积为S^ABC=万x2?=2,

所以，VBAEC=VEABC=_S&ABC，0E=—x2x瓜=2#-.

【变式1】如图，在三棱锥P—ABC中，PALAB，PA±BC,ABA.BC,PA=AB=BC=2,

。为线段AC的中点，E为线段PC上一点.

B

（1）求证：平面BDE_L平面PAC；

（2）当PA//而BDE时，求三棱锥E—BCO的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）

3

【解析】（1）证明：由A3=3C,。为线段AC的中点，

可得BD_LAC，

山Q4_LAB，PA±BC.ABcBC=B,

可得PAL平面ABC,

又6Du平面ABC,

可得PAA.BD,

又24nAe=A

所以30L平面PAC,BDu平面BDE,

所以平面BDE，平面尸4C；

（2）解：PA//平面BDE，PAu平面PAC，

且平面P4CD平面BDE=DE，

可得PA//DE,

又。为AC的中点，

可得E为PC的中点，且。E=,PA=1,

2

由平面ABC，可得。平面4BC，

可得S=——x—x2x2=l,

ADRDCC2AA6C22

则三棱锥E-88的体积V=-£>£SBDC=-xlxl=l.

333

【例3-4］（面面垂直的性质）如图，在三棱锥P-/18C中，平面/8C,平面刃8_L平面P8C.

P

求证：BCLAB.

【解析】证明如图，在平面R/8内,

作4Z)_LP8于点D.

•.・平面以5_L平面PBC,

且平面R48rl平面PBC=PB,

NOU平面PAB,

.•.4Z)_L平面PBC.

又8CU平面P3C,：.AD1BC.

又平面Z8C,8CU平面/8C,：.PAVBC,

又「■R4n"0=4二台。，平面为8.

又48U平面以8,:.BCLAB.

【变式1】如图,边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直,49与CE的交点为M,ACLBC.

求证：/加上平面血。.

【解析】证明I,平面/C£>E_L平面/8C,平面/CDEC平面X8C=XC,8CU平面/5C,BCLAC,

，8CJL平面/CAE.

又4V/U平面/CDE,J.BCLAM.

•..四边形/CDE是正方形，C.AMLCE.

又BCCCE=C,BC,ECU平面EBC,

.,.月M_L平面EBC.

课后练习题

1.如图，已知E4J_。。所在平面，四为G）。的直径，。是圆周上的任意一点，过1作4E_LPC于反求

证：M_L平面阳C

【答案】证明见解析.

【解析】证明：由力6是。。的直径,

得8CJ_AC.

又B4，。。所在平面

8Cu。。所在平面内

所以BC_LP4,又4CcB4=A,

所以BCJ_面分GAEu面序C

所以3C_LAE,又AE_LPC，BCcPC=C，

所以4“,平面PBC.

2.如图，在正方体ABC。-A,4GA中，£为瓦乌的中点，47080=0.求证:

（1）4。_£平面48。。|；

（2）OE〃平面AC4.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】（1）:在正方体中,BB,1平面ABCD.

4。＜=平面48。，BB]±AC,

vACABD,BDcBB]=B,

ACJ_平面与8。。；

(2)连接。耳，

•••在正方体中，BB、MDD、且BB】=DR,

.•・四边形8BQQ是平行四边形，.•.8。//旦。且3。=用Q,

••・O,E分别为BD,与A中点，；.DO=鹤,

四边形OEBQ是平行四边形，；.DE//OBi,

•/OE<Z平面4c耳，。与u平面ACM,

•••DE”平面ACB一

3.如图所示，在正方体A8C。一A4G。中，点。为底面A8CD的中心，点F为CG的中点，求

证：4。，平面8DE.

【答案】证明见解析.

【解析】证明：在正方形ABCD中，AC1BD.

A4,_L平面ABCD,BDu平面ABCD,可得A4,_L3。,

而ACAA4,=A,可得BO_L平面AAG。，

而AOu平面A41G。，则8。，A。，

在直角三角形4AO和直角三角形FCO中，

v^=—=V2,.-.△AAO-AOCF,ZAA,O=Z.COF,

COCF

ZAA.0+NAOA=90,NCOF+ZAOA,=90,即ZA.OF=90,即OF

又6O_L4。，而=则4。，平面厂.

4.已知直三棱柱ABC—A5G中，ZBAC=90°,AB^AC,。是8c中点，E是的中点.

(1)求证：AD±BC,；

（2）求证：OE//平面4aB.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】证明：（1）•.♦A8=AC，，AABC为等腰三角形

QO为3C中点，.•.4）_L3C，

ABC-AB.C,为直棱柱，二平面ABC_L平面BC],

•.■平面A8CCI平面BG=BC,4)u平面ABC，

r.45_1_平面BG，

AD1BC1.

（2）取CG中点/，连结OF，EF,

QD,E，尸分别为BC，CG，AA,的中点

EF//4G，DF//BQ,

•••AGnBC1=C1,DFp\EF^F

二平面。砂//平面Acs,

•.£>Eu平面OEE

.,.£>£//平面AG8.

5.如图，在四棱锥尸一ABCO中，PA_L底面ABC。，AB±AD,AC±CD,PA=AC,E是PC

的中点.

证明：（I）CD±A£；

（II）PDL平面ABE.

【答案】（I）详见解析；（H）详见解析.

【解析】（I）因为B4J_底面ABC。，CDu底面A8CO,

所以24,CD,

又AC_LCO,PAQAC=A,

所以CDJ_平面F4E，

又AEu平面/^AE

所以CDLAE：

(H)因为B4=AC,E是PC的中点，

所以PC1.AE,又C£>J_AE,CD±PC=C，

所以平面PCD,又PDu平面PCD，

所以PD±AE,

又因为AB_L49,45_LR4且A£>_LP4=A，

所以ABJ_平面?AD，

又。Du平面PAD，

所以AB_LPD，又AEIAB=A,

所以PZ)J_平面ABE.

6.如图，边长为2