一元二次方程综合（解析版）-北师大版2022年初三数学期末压轴题汇编30题

【玩转压轴题】考题2：一元二次方程综合（解析版）

一、单选题

1.如图，在AABC中，ZABC=90°,AB=8cm,BC=6cm,动点尸，。分别从点A,B

同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为Icm/s,点。的速度为2cm/s,点。

移动到C点后停止，点尸也随之停止运动，当△尸8Q的面积为15cm2时，则点尸运动

的时间是（）

A.3sB.3s或5sC.4sD.5s

【答案】A

【分析】

设出动点P,。运动，秒,能使△依。的面积为15cm2,用t分别表示出BP和BQ的长，

利用三角形的面积计算公式即可解答.

【详解】

解：设动点P，。运动”少，能使△P8Q的面积为15cm2,

则8尸为（8-f）cm,BQ为2tan,由三角形的面积公式列方程得

^-（8-r）x2/=l5,

解得。=3,女=5（当”=5,8gl0,不合题意，舍去）

二动点P,。运动3秒，能使△P8Q的面积为15cm2.

故选A.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用.借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题.

73

2.已知M=J-2,N=〃-?（7为任意实数），则M,N的大小关系为（）

A.M>NB.M<NC.M=ND.不能确定

【答案】B

【分析】

利用作差法比较即可.

【详解】

根据题意，得

->37

NKT-M=厂——t一一，+2

55

=”-2，+2=。-1)2+1,

v(r-l)2>0

/.(/-1)2+1>1>0

：.M<N,

故选B.

【点睛】

本题考查了代数式的大小比较，熟练作差法，灵活运用完全平方公式，配方法的应用，

使用实数的非负性是解题的关键.

3.若关于x的一元二次方程37-2履+1-4«=0有两个相等的实数根，则代数式(k

-2)2+2k(1-A)的值为()

77

A.3B.-3C.——D.-

22

【答案】D

【分析】

先根据一元二次方程根的判别式求出k的值，再代入求值即可得.

【详解】

解：由题意得：方程依+1-以=0根的判别式A=4公-4xg(l-4Q=0,

整理得：2k2+4jt-1=0.即/+2A=g,

则(％-2)2+2%(1-%)=/-4%+4+2%—2产，

=-k2-2k+4,

=-(无2+2k)+4,

2

故选：D.

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式、代数式求值，熟练掌握一元二次方程根的判别式

试卷第2页，共30页

是解题关键.

4.已知关于x的一元二次方程标区2-（2%-l）x+Z-2=0有两个不相等的实数根，则实

数"的取值范围是（）

,1,1

A.k>—B.k<一

44

C.k>—且々w0D.k<—k^0

44

【答案】C

【分析】

由一元二次方程定义得出二次项系数上0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”,

解这两个不等式即可得到k的取值范围.

【详解】

解：由题可得：\r,‘2八八，

-4k（k-2）>0

解得：%>-J且&H0；

4

故选：C.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的

关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式

（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求.

5.已知关于x的一元二次方程ax2+Bx+c=o（中0）,下列命题是真命题的有（）

①若。+2）+4c=0,贝！|方程ax2+ftx+c=0必有实数根；

②若/>=3。+2,c=2a+2,则方程如2+取+,=0必有两个不相等的实根；

③若c是方程ax2+bx+c=O的一个根，则一定有ac+b+l=O成立；

④若f是一元二次方程a/+8x+c=0的根，则加-4ac=（2at+b'）2.

A.①②B.②③C.①@D.③④

【答案】C

【分析】

①正确，利用判别式判断即可.②错误，。=-2时，方程有相等的实数根.③错误，c=0

时，结论不成立.④正确，利用求根公式，判断即可.

【详解】

解：①,."+2H4c=0,

a=-2b-4c,

•二方程为(-2/？-4c)f+bx+eO,

/.J=fe2-4(-2&-4c)•c=/?2+8Z?c+16c2=(b+4c)2>O,

，方程ax2+bx+c=O必有实数根，故①正确.

②*/b=3a+2,c=2〃+2,

,方程为以2+(3^7+2)无+2〃+2=0,

(3a+2)2-4a(2。+2)=a2+4tz+4=(i+2)2,

当a=-2时，zf=O,方程有相等的实数根，故②错误，

③当仁0时，。是方程渥+6=0的根，但是。+1不一定等于0,故③错误.

④,门是一元二次方程a^hx+c=O的根，

.,-b±\jb2-4ac

..------------,

2a

：.2at+b=t］廿_4ac>

b2-4ac-(2at+b)2,故④正确,

故选：C.

【点睛】

本题考查命题与定理，一元二次方程的根的判别式，公式法解一元二次方程等知识，解

题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型.

6.下列命题：①顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形；②平行四边形既是中心

对称图形又是轴对称图形；③囱的算术平方根是3；④对于任意实数如关于x的方

程f+(机+3)x+m+2=()有两个不相等的实数根.其中正确的命题个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】

利用中点四边形的判定、平行四边形的对称性、算术平方根的定义及一元二次方程的根

的情况进行判断后即可确定正确的答案.

【详解】

解：①顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，正确，符合题意；

②平行四边形是轴对称图形但不是中心对称图形，故原命题错误，不符合题意；

③的的算术平方根是6,故原命题错误，不符合题意；

试卷第4页，共30页

④：对于任意实数如关于x的方程/+(利+3)工+m+2=0的4=62-4牝=(布+3)2-4

(m+2)=(ni-1)2>0,

•••有两个实数根，故原命题错误，不符合题意，

正确的有1个，

故选：A.

【点睛】

考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解中点四边形的判定、平行四边形的对称性、

算术平方根的定义及一元二次方程的根的情况，难度不大.

7.若整数“使得关于x的一元二次方程(。+2)/+*+。-1=0有实数根，且关于x的

a-x<0

不等式组，、有解且最多有6个整数解，则符合条件的整数”的个数为

x+2<—(x+7)

()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】

利用根的判别式确定。的一个取值范围,根据不等式组的解集，确定一个。的取值范围，

综合两个范围确定答案即可.

【详解】

V整数。使得关于x的一元二次方程(。+2)/+0+。-1=0有实数根，

：.a+2^,(2a)2-4((7+2)(a-l)>0,

a<2且*2；

a-x<0

.1/的解集为烂3,且最多有6个整数解，

%+2<-(X+7)

.".-3<a<3,

.'.-3<a<2,a/-2,

•••a的值为-3,-1,0,1,2共有5个，

故选C.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式，不等式组的特殊解，熟练掌握根的判别

式，不等式组解法是解题的关键.

8.已知a,是方程f+x—3=0的两个实数根，贝!|/一。+2021的值是（）

A.2025B.2023C.2022D.2021

【答案】A

【分析】

根据一元二次方程的解与根与系数的关系计算即可；

【详解】

,''a,。是方程x?+x-3=0的两个实数根，

a2+a-3=0a+b=-l,

.•.6—6+2021=3-4-6+2021=3-（4+6）+2021=2025；

故答案选人

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的解与根与系数的关键，准确计算是解题的关键.

9.若关于X的一元二次方程依2+2x_1=0有两个不相等的实数根，则实数%的取值范

围是（）

A.k>-lB.k<-lC.%>—1且&W0D.k>-\

【答案】C

【分析】

根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到上0,且A>0,然后解两个不等式即可得

到实数”的取值范围.

【详解】

解：根据题意得，原0,且A>0,即22-4XZX（-1）>0,解得%>-1,

实数人的取值范围为4>-1且原0.

故选C.

【点睛】

本题考查了一元二次方程加+少"=0（a/0）根的判别式A=/_44C：当△>（）,方程有两

个不相等的实数根；当△=（）,方程有两个相等的实数根；当△<（）,方程没有实数根；

也考查了一元二次方程的定义.

10.若a、P为方程2x2-5x-l=0的两个实数根，则2a?+3〃+5£的值为（）

A.-13B.12C.14D.15

【答案】B

【详解】

试卷第6页，共30页

根据一元二次方程的根与系数的关系，可知2a2-5a-1=0,a+p=--=(,a-p=-=-i

a2a2

因止匕可得2a2=5a+l,代入2a2+3a0+5p=5a+l+3aB+50=5(a+p)+3此可=5x,+3x(-y)

+1=12.

故选B.

点睛：此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，关键是利用一元二次方程的一

hc

般式，得到根与系数的关系X|+X2=-T,X「X2=£,然后变形代入即可.

aa

二、填空题

11.将关于x的一元二次方程/-必+4=0变形为/=「*一4,就可以将V表示为关于

x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3=x.x2=x(px-g)=…，我们将这种

方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”，已知：

x2+x-l=0,且x>0.贝！IX，-2/+3x的值为.

【答案】6-2百

【分析】

先利用V+X一1=0得至IJ9=1一%,再利用x的一次式表示出/和/,则x4-2x3+3》化

为-2x+4,然后解方程/+》_[=0得》=土叵，从而得到f—2V+3x的值.

2

【详解】

解:\*x2+x-l=0,

..x2=1-X,

X3=x»x2=x(l-x)=x-x2=x-(1-x)=2x-1,

x4=x-x3=x（2x-l）=2x2-x=2（I-x）-x=-3x+2,

-1+75一

解方程]?+工一1=0得%=1-6

222

vx>0,

-1+75

x=-----

2

.•,X4-2X3+3X=-4X-1+^+4=6-25/5.

2

故答案为：6-2亚.

【点睛】

本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解.所以解

高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程.也有的通过因式分解来解.通

过把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题

的关键.

12.定义运算a砂=届一2朋+1,下面给出了关于这种运算的几个结论其中正确的

()

f(-3)®x-l<03

A.2(85=-15；B.不等式组n的解集为xV一：;

[20x-5<02

C.方程2x&=0是一元一次方程；D.方程的解是x=-1.

Xx-

【答案】AD

【分析】

根据定义的运算规则“旗=/-2帅+1,对各选项逐一进行计算判断，即可得到答案.

【详解】

解：A.2颔=22-2x2x5+1=15,故A正确；

B.不等式组等价于((一3)：-2*(？，+1<。，解得该不等式组无解，

I2®x-5<022-2X2X+1-5<0

故B错误；

C.2A-01=(2X)2-2x2xxl+l=4x24r+l=0是一元二次方程，故C错误；

D.，软=-^-2xLx+l=I+x则x=-l,故D正确；

xxxx

故答案为：AD.

【点睛】

本题考查了不等式组的解集、实数的运算、一元二次方程的定义等，其中利用a励=标

-2ab+\是解题关键，本题对计算要求较高，要求学生具备观察仔细、计算细心等品质.

13.已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4,且a、》是关于x的一元二次方程好-

12x+w»+2=0的两根，则机的值是.

【答案】34

【分析】

分三种情况讨论，①当。=4时，②当斤4时，③当a4时；结合韦达定理即可求解；

【详解】

解：当a=4时,b<i,

试卷第8页，共30页

Va.b是关于龙的一元二次方程F12x+m+2=0的两根，

・・・4+。=12,

，。二8不符合；

当8=4时，a<8,

Va>h是关于x的一元二次方程/-12x+m+2=0的两根，

/.4+a=12,

***a=S不符合；

当。=力时，

Va>b是关于x的一元二次方程W-12x+m+2=0的两根，

/.12=267=2/?,

a=b=6f

Am+2-36,

.*./??=34；

故答案为：34.

【点睛】

本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合一

元二次方程根与系数的关系和三角形三边关系进行解题是关键.

14.如图所示，某小区想借助互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域40m长的

篱笆围成一个面积为384m2矩形花园.设宽A8=xm,且A8V5C,则l=m.

【答案】16

【分析】

根据A3=xm可知BC=（40-x）〃z,再根据矩形的面积公式即可得出结论;

【详解】

解：由题意得：=S即：x（4O-x）=384.

解这个方程得：为=16,々=24.

"：AB<BC

AB=x=l6m.

故答案为16.

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，能利用数形结合列出方程是解答此题的关键.

15.若一元二次方程（。+1）/-奴+/_1=0的一个根为0,则〃=,

【答案】1

【分析】

把x=0代入原方程求得a的值，结合一元二次方程的定义综合得到答案.

【详解】

解：把x=0代入得：〃=1,

解得：a=±l,

又因为：（a+l）Y—如+/_1=（）为一元二次方程，

所以：a工—1,

所以：a=l.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查的是一元二次方程的概念及一元二次方程的解，掌握相关知识点是解题关键.

16.若方程2炉+》-5=0的两个根是玉，x2（x,>x2）,则^的值为.

X\X2

【答案】叵

5

【分析】

利用一元二次方程根与系数的关系可得玉+超=-3,不七=-|，然后利用完全平方

公式的变形可求出々-4=半，即可求解.

【详解】

解：•・•方程Zf+x-SuO的两个根是X，占，

・15

••芭+超=一/，，X2=-2，

*.*（X）+=%；+¥+2XjX2,

试卷第10页，共30页

+而

叵

••4一々

国

2

故答案为:a

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式的变形，熟练掌握一元

二次方程根与系数的关系是解题的关键.

17.关于X的方程*2+(21-1)x+好-1=0有两个实数根X],*2,若Xl,X2满足X1X2

+XI+*2=3,则k的值为.

【答案】T

【分析】

根据判别式求出G的取值范围，再根据韦达定理进行计算即可.

【详解】

解：•••方程有两个实数根

A>0

二(21)2—4伏2_1)*0

解得

•••内，X2是关于x的方程/+(2)1-1)x+R-1=0的两个实数根

2

/.Xy+x2-1-2k,xtx2=k

X\X2+X\+X2=3

:,公一1+1-2%=3

/•后2-2左一3=0

.♦.(Z-3)/+1)=0

即4-3=0或％+1=0

解得：吊=3,&=-1

?.k=-l

故答案为：-1

【点睛】

本题考查一元二次方程的判别式，一元二次方程的解法，一元二次方程根与系数的关系,

牢记知识点是解题关键.

18.如果(a2+Z>2-l)(a2+b2+3)=5,则标+从的值为.

【答案】2

【分析】

运用因式分解法解方程，再进行选择即可.

【详解】

解：；(层+按一1)(层+〃+3)=5

：.(a2+b2)2+2(a2+b2)-8=0

(a2+b2-2)(a2+b2+4)=0

a2+b2>0

a2+b2-2=0,B|Ja2+b2=2

故答案为2.

【点睛】

此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，明确/+〃20是解答本题的关键.

19.对于实数tn,n,定义运算m0i=mn2-n.若2@=1⑥(-2)则a=.

3

【答案】2或-机

【分析】

根据题意，列出关于”的方程，解方程即可.

【详解】

解：根据定义，2@=18(-2)转化为：2a2-a=lx(-2)2-(-2),

3

解方程得，ai=2,ai=--,

3

故答案为：2或

【点睛】

本题考查了新定义运算和一元二次方程，解题关键是理解题意，把等式转化为一元二次

方程，准确求解.

20.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品的销售价格，即根据商品的最低销售限价”，

试卷第12页，共30页

最高销售限价〃伍>。)以及实数x(O<x<l)确定实际销售价格c=a+x(。-。)，这里的

x被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x恰好使得*=9*，据此可得，最

c-ab-c

佳乐观系数X的值等于.

【答案】或二1

2

【分析】

由"£=产得到：(c-)2=s_a)2_s_a)(c_a),再根据。=。+、仍一”)，可得

c-ab-c

》=了，再列方程，解方程可得答案；

【详解】

解：由二得到：(。一〃)2=(〃一〃)3-。)，

c-ab-c

即：(c-a)2—(b-a)[(b—a)-(c-a)]=(b-a)2-(b-a)(c-a),

)2+--1=0,

b-ab-a

c=aJt-x(b-d),

c-a

x=----

b-a

解得…=铝,寸孚

Q0<x<l,

.•“2=也]不合题意，

2

75-1

「•％二^—，

故答案为：叵口.

2

【点睛】

本题考查了等式的变形，一元二次方程的解法等知识，关键是根据已知条件

变形为从而可转化为关于X的一元二次方程.

三、解答题

21.尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商

品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据

市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件.

（1）若每件商品降价5元，则商店每天的平均销量是________件（直接填写结果）；

（2）不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要平均每天达到1280元，每

件商品的定价应为多少元？

（3）在（2）的前提下，若商店平均每天至少要销售200件该商品，求商品的销售单价.

【答案】（1）280；（2）23元或19元；（3）19元

【分析】

（1）根据每天的平均销售量=80+降低的价格+0.5x20,即可求出结论；

（2）设每件商品降价x元，则销售每件商品的利润为（25-15-x）元，根据每天的总利

润=销售每件商品的利润x平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即

可得出结论；

（3）由（2）的结论结合平均每天至少要销售200件该商品，可确定x的值，再将其代

入（25-x）中即可求出结论.

【详解】

解：（1）80+540.5x20=280（件）.

故答案为:280.

（2）设每件商品降价x元，则销售每件商品的利润为（25-15-x）元，平均每天可售出

X

80+——x20=（40x+80）件，

0.5

依题意，得:（25-15-x）（40x+80）=1280,

整理，得：x2-8x+12=0,

解得：xi=2,X2=6,

，25-x=23或19.

答：每件商品的定价应为23元或19元.

（3）当x=2时，40x+80=160<200,不合题意，舍去；

当x=6时，40x+80=320>200,符合题意，

.*.25-x=19.

答：商品的销售单价为19元.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用-利润问题，读懂题意，根据商品降价表示出商品销售

件数从而列出方程是解题关键.

22.已知关于x的方程X?-2mx=-m2+2x的两个实数根xi,X2满足|xi|=X2,求实数m

的值.

试卷第14页，共30页

【答案】

【详解】

试题分析：

首先由关于X的方程x2-2mx=-m2+2x的两个实数根可得：根的判别式△20,由此

可求出“m”的取值范围；再由㈤=%可得：①大=々；②玉=-々，即％+々=。，结合“一

元二次方程根的判别式”和“一元二次方程根与系数的关系''分两种情况讨论即可求得“m”

的值.

试题解析：

原方程可化为：x2—2(m+1)x+m2=0,

Vxi,X2是方程的两个根,

AA>0,即：4(m+l)2-4m2>0,

.*.8m+4>0,解得：m>—y.

Vxi，X2满足|X1|二X2,

.•.X|=X2或X]=-X2,即△=()或X[+X2=O,

①由A=0,即8m+4=0,解得m=-g.

②由X]+x2=0,即：2(m+l)=0,解得m=-1

・•・m、>-y1,

・1

••m=­y.

点睛：本题解题的关键是能够把|引=/这一条件转化为两种情况：(1)x.=x2；(2)

%=-%即g+占=0;这样结合“一元二次根的判别式''和"一元二次方程根与系数的关系”

就能求得“m”的值了.

23.如图，在平面直角坐标系中，矩形。4BC的顶点A在y轴正半轴上，边A6、OA

HAQ

(A3>0A)的长分别是方程*2-Ux+24=0的两个根，。是A8上的点，且满足胃=，

(1)矩形OABC的面积是,周长是.

(2)求直线OD的解析式；

(3)点尸是射线。。上的一个动点，当A是等腰三角形时，求点尸的坐标.

33

【答案】(1)S=24,C=22；(2)y=x；(3)尸点的坐标为(-万，彳)；(0,0)；-3+”2->3-

a3夜.30

—J----------,34----------

22)

【分析】

(1)根据边48、OA(4B>OA)的长分别是方程x2-l£+24=0的两个根，即可得到710=3,

48=8,进而得出矩形0A8C的面积以及矩形OA8c的周长;

r)A3

(2)根据不，=：,A8=8,可得AO=3,再根据AO=3,进而得出。(-3,3),再根据

DB5

待定系数法即可求得直线。。的解析式;

(3)根据A%。是等腰三角形，分情况讨论，根据等腰直角三角形的性质，求得点尸

的坐标.

【详解】

解：(1)Vx2-lljt+24=0,

:.(x-3)(x-8)=0,

；.xi=3,X2=8,

OA(AB>OA)的长分别是方程Fllx+24=0的两个根,

；.AO=3,AB=8,

二矩形OABC的面积=3x8=24,矩形0ABe的周长=2x(3+8)=22,

故答案为24,22；

(2)48=8,

DB5

：.AD^3,

又,；AO=3,

：.D(-3,3),

设直线OO解析式为产区，则

3=3%,BPA=-L

・・・直线。。的解析式为产的

(3)・.・AO=AO=3,ZDA0=90°,

试卷第16页，共30页

.♦.△A。。是等腰直角三角形,

/.ZADO=45°,。。=30,

根据△PAD是等腰三角形，分4种情况讨论：

①如图所示，当4£>=A尸产3时，点Pi的坐标为（0,0）；

②如图所示，当。4=〃2=3时，过巴作x轴的垂线，垂足为E,则

。22=3正-3,△OEP?是等腰直角三角形，

.3应-323>/2

.・Pp?PE=OE=----7=—=3-------,

V22

•••点P2的坐标为（-3+述，3-述）；

22

③如图所示，当4心=。2时，/D4P3=乙4。0=45。,

△AOP.3是等腰直角三角形，

AD3也

.*.DP=-^=—

3J22

.\P,O=3y/2--=—，

22

过尸3作X轴的垂线，垂足为凡则△OP.小是等腰直角三角形,

3

:,PF=OF=—，

2

33

•二点P3的坐标为,—）;

22

④如图所示，当D4=。/小3时，PQ=3+3起,

过尸4作1轴的垂线，垂足为G,则aOP4G是等腰直角三角形,

：.P4G=OG=^+3,

2

，点%的坐标为（-3-述，3+逑）;

22

综上所述，P点的坐标为（-],：）;（0,0）；（-3+逑,3-拽）;

2222

【点睛】

本题主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，解一元二次

方程以及待定系数法求一次函数解析式的综合应用，解题时注意：当是等腰三角

形时，需要分情况讨论，解题时注意分类思想的运用.解决问题的关键是作辅助线构造

等腰直角三角形.

24.如图，平面直角坐标系中，直线1分别交x轴、y轴于A、B两点(OAVOB)且

OA、OB的长分别是一元二次方程X2-(V3+1)X+X/3=0的两个根，点C在x轴负半轴

上，

且AB：AC=1：2

(1)求A、C两点的坐标；

(2)若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM,设4ABM

的面积为S,点M的运动时间为t,写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值

范围；

(3)点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q,使以A、B、P、Q为顶点的

四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)A(1,0),C(-3,0)；(2)S=26-t(0<t<2^)；②S=t-2G(t

>273)；(3)存在，Qi(-1,0),Q2(1,-2),Q3(1,2),Q,(1,空).

3

【分析】

(1)通过解一元二次方程x-(石+l)x+6=0,求得方程的两个根，从而得到A、B

两点的坐标，再根据勾股定理可求AB的长，根据AB：AC=1：2,可求AC的长，从

而得到C点的坐标.

(2)分①当点M在CB边上时；②当点M在CB边的延长线上时；两种情况讨论可求

S关于t的函数关系式.

(3)分AB是边和时角线两种情况讨论可求Q点的坐标

【详解】

(1)X?-(石+l)x+也=0

(x-百=0,

解得Xl=6，X2=l.

VOA<OB,.,.OA=1,OB=6.

试卷第18页，共30页

，A(1,0),B(0,6).

AAB=2.

XVAB：AC=1：2,

AACM.

AC(-3,0)；

(2)由题意得：CM=t,CB=26

①当点M在CB边上时，S=^AB.MB=^x2x(2y/3-t]=2y[3-t(0<t<2>/3);

②当点M在CB边的延长线上时，S=：A8.MB=gx2x(f—2g)=t-26(t>2百).

(3)存在，Qi(-1,0),Q2(1,-2),Q3(1,2),Q,(1,正).

3

25.已知关于x的一元二次方程(a-3)X2-4A+3=0有两个不等的实根.

(1)求。的取值范围；

(2)当。取最大整数值时，AABC的三条边长均满足关于x的一元二次方程

(a-3)x2-4x+3=0,求AABC的周长.

13

【答案】(1)。(可且〃。3；(2)AABC的周长为3或9或7.

【分析】

(1)根据关于X的一元二次方程，可判断二次项系数不为0；根据方程有两个不相等

的实数根，可判断判别式大于0,列出不等式组求解即可;

(2)在此范围内找出最大的整数，解方程，然后分类讨论，求出三角形周长即可.

【详解】

解：(1)关于》的一元二次方程(a-3)f-4x+3=0有两个不相等的实数根，

卜-3*0

"[16-4(a-3)x3>0'

解得"孑且"3.

(2)由(1)得”的最大整数值为4；

x2-4x+3=0

解得：西==3.

MBC的三条边长均满足关于X的一元二次方程(a-3)X2-4X+3=0,

：•①三边都为1,则AA5C的周长为3；

②三边都为3,则AABC的周长为9；

③三边为1,1,3,因为1+1<3,不符合题意，舍去；

④三边为1,3,3,则AABC的周长为7.

.•.AABC的周长为3或9或7.

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的情况与判别式b2-4ac的关系，也考查了构成三角形的条

件.解题时注意二次项系数不为0这个隐含条件.

26.问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽

象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题.初中数学

里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释.例

如：利用图形的几何意义推证完全平方公式.

将一个边长为a的正方形的边长增加瓦形成两个矩形和两个正方形，如图1,这个图

形的面积可以表示成：

(a+b)2^a2+2ab+b2':.(a+b)2=a2+2ab+b2

这就验证了两数和的完全平方公式.

问题提出：如何利用图形几何意义的方法推证：「+23=32

如图2,A表示1个1X1的正方形，即：1X1X1=13,8表示1个2x2的正方形，。与。

试卷第20页，共30页

恰好可以拼成1个2x2的正方形,

因此：B、C、。就可以表示2个2x2的正方形，即：2x2x2=23,而4、8、C、。恰好

可以拼成一个(1+2)x(1+2)的大正方形，由此可得：F+23=(1+2)2=32

(1)尝试解决：请你类比上述推导过程，利用图形几何意义方法推证：1'+23+33=(1

+2+3)2(要求自己构造图形并写出推证过程)

(2)类比归纳：请用上面的表示几何图形面积的方法探究：N+23+33+…+〃3=_

(要求直接写出结论，不必写出解题过程)

(3)实际应用：图3是由棱长为1的小正方体搭成的大正方体，图中大小正方体一共

有多少个？为了正确数出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即分别数出棱长是

1,2,3和4的正方体的个数，再求总和.

例如：棱长是1的正方体有：4x4x4=43个，棱长是2的正方体有：3x3x3=33个，棱

长是3的正方体有：2x2x2=23个，棱长是4的正方体有：lxlxl=13个，然后利用类

比归纳的结论，可得：#+23+33+43=(14-2+3+4)2,图4是由棱长为1的小正

方体成的大正方体，图中大小正方体一共有个.

(4)逆向应用：如果由棱长为1的小正方体搭成的大正方体中，通过上面的方式数出

的大小正方体一共有44100个，那么棱长为1的小正方体一共有个.

【答案】(1)见解析；(2)(1+2+3+...+〃)2；(3)441；(4)8000

【分析】

(1)根据规律可以利用相同的方法进行探究推证，由于是探究13+23+33=?,肯定构

成大正方形有9个基本图形(3个正方形6个长方形)组成，如图所示可以推证.

(2)实际应用：根据规律求大正方体中含有多少个正方体，可以转化为

13+23+33+---+«3=(1+2+3+…+”)2来求得.

(3)根据规律即可求得大小正方体的个数.

(4)逆向应用：可将总个数看成然后再写成/=(1+2+3+…+”)2,得出大

正方形每条边上有几个棱长为1的小正方体，进而计算出棱长为1的小正方体的个数.

【详解】

(1)如图，4表示1个1X1的正方形，即1X1X1=13；

8表示1个2x2的正方形，C与。恰好可以拼成1个2x2的正方形，

因此8、C、。就可以拼成2个2x2的正方形，即：2x2x2=23；

G与H、E与尸、/可以拼成3个3x3的正方形，即：3x3x3=33；

而整个图形恰好可以拼成一个(1+2+3)x(1+2+3)的大正方形，即(1+2+3了个大

正方形，因此可得：『+23+33=(1+2+3)2=62.

故答案为：(1+2+3)2或62.

123

1

2

3

(2)根据规律可得：「+23+33+…+〃3=(]+2+3+…+”)2.

(3)依据规律得：13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212=441.

故答案为：441.

(4):44100=2102=(1+2+3+…+〃)2；

即1+2+3+…+”=210；

；〃(〃+1)=210；

解得：n=20,"=-21(舍去)；

...〃=20；

.*.20x20x20=8000.

故答案为：8000.

【点睛】

本题借助数形结合来计算广+23+33+…+/=(1+2+3+…+〃f,以及这个等式的应

试卷第22页，共30页

JB.数形结合使得复杂的计算变得简单而且直观易懂，这就是数形结合的魅力所在.“数

缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好”，这是数学家华罗庚对数形结合的

精辟论述！

27.（问题提出）用〃个圆最多能把平面分成几个区域？

（问题探究）为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单

情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论.

探究一：如图1,一个圆能把平面分成2个区域.

探究二：用2个圆最多能把平面分成几个区域？

如图2,在探究一的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前1个圆有2

个交点，将新增加的圆分成2部分，从而增加2个区域，所以，用2个圆最多能把平面

分成4个区域.

探究三：用3个圆最多能把平面分成几个区域？

如图3,在探究二的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前2个圆分别

有2个交点，将新增加的圆分成2x2=4部分，从而增加4个区域，所以，用3个圆最

多能把平面分成8个区域.

（1）用4个圆最多能把平面分成几个区域？

仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图.

（2）（一般结论）用"个圆最多能把平面分成几个区域？

为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前"个圆分别有2个交点，将新增加的

圆分成部分，从而增加个区域，所以，用〃个圆

最多能把平面分成个区域.（将结果进行化简）

（3）（结论应用）

①用10个圆最多能把平面分成个区域；

②用个圆最多能把平面分成422个区域.

【答案】（1）在探究三的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前3个圆

分别有2个交点，将新增的圆分成2*3=6部分，从而增加6个区域，所以，用4个圆最多

能把平面分成14个区域；（2）2«-2；2〃-2；/+2；（3）①92；②21

【分析】

(1)在探究三的基础上，新增加的圆与前3个圆分别有2个交点，将新增的圆分成2*3=6

部分，所以，用4个圆最多能把平面分成2+2X1+2X2+2X3个区域；

(2)为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前个圆分别有2个交点，将新

增加的圆分成(2n-2)部分，从而增加(2«-2)个区域，所以，用〃个圆最多能把平面

分成2+2x1+2x2+2x3+2x4+...+2(n-1)区域求和即可；

(3)①用〃=10,代入规律，求代数式的值即可；

②设〃个圆最多能把平面分成422个区域，利用规律构造方程，可得方程〃2_〃+2=422

解方程即可.

【详解】

解：(1)在探究三的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前3个圆分别

有2个交点，将新增的圆分成2*3=6部分，从而增加6个区域，所以，用4个圆最多能把

平面分成2+2x1+2x2+2x3=14个区域；

(2)为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前个圆分别有2个交点，将新

增加的圆分成(2止2)部分，从而增加(2n-2)个区域，所以，用“个圆最多能把平面

分成区域数为

2+2x1+2、2+2、3+2乂4+…+2(n-l),

=2+2(1+2+3+…1),

=2+"("-1),

=n2-n+2；

故答案为：(2〃-2)；(2n-2)；n2-n+2;

(3)①用10个圆，即〃=10,一〃+2=i()2一1()+2=92；

②设n个圆最多能把平面分成422个区域，

可得方程/-“+2=422，

整理得n2-n-420=0,

因式分解得(〃-21)(〃+20)=0,

解得〃=21或〃=-20(舍去)，

二用21个圆最多能把平面分成422个区域.

故答案为：21.

【点睛】

试卷第24页，共30页

本题考查图形分割规律探究问题，圆与圆的位置关系，利用新增圆被原来每个圆都分成

两个交点，其交点数就是新增区域数，发现规律后列式求和，利用规律解决问题，涉及

数列n项和公式，代数式求值，解一元二次方程，仔细观察图形，掌握所学知识是解题

关键.

28.如图，正方形43CD和正方形AEFG有公共点A,点8在线段DG上.

(1)判断OG与BE的位置关系，并说明理由；

(2)若正方形A3CD的边长为1,正方形AEFG的边长为近，求5E的长.

【答案】(1)DGLBE,理由见解析；(2)BE的长为叵悔.

2

【分析】

(I)证明AD4G丝△8AE,后证明/48/)+NA8E=90°即可；

(2)连接GE,设BE=x,根据(1)的结论在直角三角形BG£中根据勾股定理计算即

可.

【详解】

(1)DG1.BE,

理由如下：•••四边形ABC£>,四边形AEFG是正方形，

：.AB=AD,NDAB=NGAE,AE=AG,/ADB=NA8D=45。，

二ZDAG=NBAE,

在4/»6和4BAE中，

AD=AB

<ZDAG=NBAE,

AG=AE

:・/\DAG学/\BAE(SAS).

：.DG=BE,ZADG=ZABE=45°,

：.ZABD^ZABE=90°t即NGBE=90。.

：.DG1.BE；

(2)连接GE,

・・•正方形A8C。的边长为1,正方形AEFG的边长为友,

:・BD=72，GE=2,设BE=x,

•：DG=BE,

:・BG=x-V2，

在RlABGE中,利用勾股定理可得：BG2+BE2=CG\

：.（X-V2）2+X2=22

：.x=6■+娓或x=^一戈（舍去），

22

:.BE的长为更近.

2

【点睛】

本题考查了正方形的性质，三角形的全等，勾股定理，一元二次方程的解法，熟练证明

三角形全等，运用勾股定理，一元二次方程的思想求解是解题的关键.

29.如图1,正方形A5C。和正方形AEFG,点E在边5c上，连接。G.

（1）求证：DG=BE；

（2）如图2,连接AF交CZ）于点连接C尸，EH；

①求证：EH=BE+DH；

②设48=4,是否存在BE的长度，使CF/!EHR若存在，请求出BE的长；若不存在，

请说明理由.

图1图2

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②存在，4