高考数学理科二轮总复习练习专题七　解析几何第3讲

第3讲圆锥曲线基本量的运算1．(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy中，双曲线eq\f(x2,7)－eq\f(y2,3)＝1的焦距是________．答案2eq\r(10)解析由题意知，a2＝7，b2＝3，则c2＝7＋3＝10，故焦距为2c＝2eq\r(10).2．(2017·江苏)在平面直角坐标系xOy中，双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是________．答案2eq\r(3)解析渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x，右准线方程为x＝eq\f(3,2)，得P，Q坐标分别为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，±\f(\r(3),2))).PQ＝eq\r(3)，F1F2＝2c＝4，所以四边形F1PF2Q的面积等于eq\f(1,2)×4×eq\r(3)＝2eq\r(3).3．(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝eq\f(b,2)与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．答案eq\f(\r(6),3)解析联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,y＝\f(b,2)，))解得B，C两点坐标为Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3)a,2)，\f(b,2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)a,2)，\f(b,2)))，又F(c,0)，则eq\o(FB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3)a,2)－c，\f(b,2)))，eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)a,2)－c，\f(b,2)))，由∠BFC＝90°，可得eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(FC,\s\up6(→))＝0，代入坐标，可得c2－eq\f(3,4)a2＋eq\f(b2,4)＝0.①又因为b2＝a2－c2，代入①式可化简为eq\f(c2,a2)＝eq\f(2,3)，则椭圆的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(2,3))＝eq\f(\r(6),3).江苏高考对圆锥曲线基本量的运算考查，一般以填空题为主，若是考查双曲线和抛物线，则试题为容易题，若是考查椭圆或圆锥曲线与直线、圆的综合，试题为中档题，考查重点是圆锥曲线的几何性质，特别是离心率的有关计算.热点一圆锥曲线的定义和几何性质例1(1)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞c＞0，a2＝b2＋c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且PT的最小值不小于eq\f(\r(3),2)(a－c)，则椭圆的离心率的取值范围为________．(2)如图，已知点A，F分别是eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左顶点与右焦点，过A，F作与x轴垂直的直线分别与两条渐近线交于P，Q，R，S，若S△ROS＝2S△POQ，则双曲线的离心率是__________．(3)已知抛物线C1：x2＝2y的焦点为F，以F为圆心的圆C2交C1于A，B两点，交C1的准线于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则圆C2的标准方程为________．答案(1)eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(\r(2),2)))(2)eq\r(2)(3)x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝4解析(1)依题意得切线长PT＝eq\r(PF\o\al(2,2)－b－c2)，∴当且仅当PF2取得最小值时，PT取得最小值，而(PF2)min＝a－c，∴eq\r(a－c2－b－c2)≥eq\f(\r(3),2)(a－c)，∴0＜eq\f(b－c,a－c)≤eq\f(1,2)，解得eq\f(3,5)≤e＜eq\f(\r(2),2)，故离心率的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(\r(2),2))).(2)由题意得A(－a,0)，F(c,0)，直线PQ，RS的方程分别为x＝－a，x＝c，与渐近线y＝±eq\f(b,a)x联立可求得P(－a，b)，Q(－a，－b)，Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(bc,a)))，Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(bc,a)))，则S△ROS＝eq\f(1,2)·eq\f(2bc,a)·c＝eq\f(bc2,a)，S△POQ＝eq\f(1,2)a×2b＝ab，于是由S△ROS＝2S△POQ，得eq\f(bc2,a)＝2ab，即eq\f(c2,a2)＝2，又因为e>1，所以e＝eq\r(2).(3)抛物线C1：x2＝2y的焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，所以圆C2的圆心坐标为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).因为四边形ABCD是矩形，且BD为直径，AC为直径，而Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))为圆C2的圆心，所以点F为该矩形的两条对角线的交点，故点F到直线CD的距离与点F到AB的距离相等．又点F到直线CD的距离为d＝1，所以直线AB的方程为y＝eq\f(3,2)，从而Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(3,2)))，故圆C2的半径r＝AF＝eq\r(\r(3)－02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\f(1,2)))2)＝2，所以圆C2的方程为x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝4.思维升华(1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．跟踪演练1(1)(2017·江苏南京三模)在平面直角坐标系xOy中，双曲线eq\f(x2,2m2)－eq\f(y2,3m)＝1的焦距为6，则所有满足条件的实数m构成的集合是________．答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))解析∵双曲线的焦距为6，∴c＝3，由a2＋b2＝c2，得2m2＋3m＝9，且m＞0，解得m＝eq\f(3,2)，m＝－3(舍)，∴m构成的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))).(2)在平面直角坐标系xOy中，双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1与抛物线y2＝－12x有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为________________．答案y＝±eq\f(\r(2),4)x解析由题意得a2＋1＝9⇒a＝±2eq\r(2)，而双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(1,a)x，即y＝±eq\f(\r(2),4)x.(3)已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆交于A，B两点．若AB∶BF2∶AF2＝3∶4∶5，则椭圆C的离心率为________．答案eq\f(\r(5),3)解析设AB＝3t(t＞0)，则BF2＝4t，AF2＝5t，则AB＋BF2＋AF2＝12t.∵AB＋BF2＋AF2＝4a，∴12t＝4a，即t＝eq\f(1,3)a.又F1A＋AF2＝2a，∴F1A＝2a－eq\f(5,3)a＝eq\f(1,3)a，F1B＝eq\f(2,3)a，BF2＝eq\f(4,3)a.由AB∶BF2∶AF2＝3∶4∶5知，AB⊥BF2，故F1B2＋BFeq\o\al(2,2)＝4c2，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)a))2＝4c2，得eq\f(5,9)a2＝c2.∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(5,9)，即e＝eq\f(\r(5),3).热点二直线与圆锥曲线例2如图，点A(1，eq\r(3))为椭圆eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,n)＝1上一定点，过点A引两直线与椭圆分别交于B，C两点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线AB，AC与x轴围成以点A为顶点的等腰三角形．①求直线BC的斜率；②求△ABC的面积的最大值，并求出此时直线BC的方程．解(1)把点A(1，eq\r(3))代入eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,n)＝1，得n＝6，故椭圆方程为eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,6)＝1.(2)①显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与x轴垂直，因此其斜率必存在，设两腰的斜率分别为k1，k2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－\r(3)＝k1x－1，,\f(x2,2)＋\f(y2,6)＝1，))得点B的横坐标为x＝1－eq\f(6＋2\r(3)k1,k\o\al(2,1)＋3)(x＝1为点A的横坐标)，∴点B的纵坐标为y＝eq\r(3)－eq\f(2\r(3)k\o\al(2,1)＋6k1,k\o\al(2,1)＋3)，即Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(6＋2\r(3)k1,k\o\al(2,1)＋3)，\r(3)－\f(2\r(3)k\o\al(2,1)＋6k1,k\o\al(2,1)＋3))).同理可得点C的坐标为Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(6＋2\r(3)k2,k\o\al(2,2)＋3)，\r(3)－\f(2\r(3)k\o\al(2,2)＋6k2,k\o\al(2,2)＋3))).∵k1＋k2＝0，∴直线BC的斜率为kBC＝eq\r(3).②设直线BC的方程为y＝eq\r(3)x＋m，代入方程eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,6)＝1，得6x2＋2eq\r(3)mx＋m2－6＝0，∴BC＝eq\f(2\r(3),3)eq\r(12－m2).又点A到直线BC的距离为d＝eq\f(|m|,2)，∴S＝eq\f(1,2)·BC·d＝eq\f(\r(3),6)eq\r(m212－m2)＝eq\f(\r(3),6)eq\r(－m2－62＋36)，∴当m2＝6，即m＝eq\r(6)或m＝－eq\r(6)时，△ABC的面积取得最大值eq\r(3).此时，直线BC的方程为eq\r(3)x－y±eq\r(6)＝0.思维升华解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程组求解点的坐标或利用根与系数的关系求解．涉及中点问题也可以用点差法．跟踪演练2在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)与直线y＝kx(k＞0)相交于A，B两点(从左至右)，过点B作x轴的垂线，垂足为C，直线AC交椭圆于另一点D.(1)若椭圆的离心率为eq\f(\r(2),2)，点B的坐标为(eq\r(2)，1)，求椭圆的方程；(2)若以AD为直径的圆恰好经过点B，求椭圆的离心率．解(1)由题意知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,\f(2,a2)＋\f(1,b2)＝1，,a2＝b2＋c2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝2，))所以椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)方法一设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则A(－x1，－y1)，C(x1,0)．因为A，C，D三点共线，所以eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(AD,\s\up6(→))，由eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2x1，y1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x1＋x2，y1＋y2)，得2x1(y1＋y2)＝(x1＋x2)y1，即eq\f(y1＋y2,x1＋x2)＝eq\f(y1,2x1)＝eq\f(k,2).又B，D均在椭圆上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，②))①－②，得eq\f(x1－x2x1＋x2,a2)＝－eq\f(y1－y2y1＋y2,b2)，所以直线BD的斜率k′＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq\f(2,k)·eq\f(b2,a2).由于以AD为直径的圆恰好经过点B，所以AB⊥BD，即k·k′＝－1，所以a2＝2b2，所以椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).方法二设B(t，kt)，则A(－t，－kt)，C(t,0)，所以直线AD的方程为y＝eq\f(k,2)(x－t)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,y＝\f(k,2)x－t，))消y，得b2x2＋eq\f(a2k2,4)(x－t)2＝a2b2，即(4b2＋a2k2)x2－2a2k2tx＋a2k2t2－4a2b2＝0,所以xA＋xD＝eq\f(2a2k2t,4b2＋a2k2)，从而xD＝eq\f(2a2k2t,4b2＋a2k2)＋t，即Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a2k2＋4b2,4b2＋a2k2)t，\f(a2k3,4b2＋a2k2)t))，所以直线BD的斜率k′＝eq\f(\f(a2k3,4b2＋a2k2)t－kt,\f(3a2k2＋4b2,4b2＋a2k2)t－t)＝－eq\f(2b2,a2k).由于以AD为直径的圆恰好经过点B，所以AB⊥BD，即k·k′＝－1，所以a2＝2b2，所以椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).1．已知双曲线的一个焦点与抛物线x2＝24y的焦点重合，其中一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为____________．答案eq\f(y2,9)－eq\f(x2,27)＝1解析由抛物线x2＝24y，得焦点坐标为(0,6)，∵双曲线的一个焦点与抛物线x2＝24y的焦点相同，∴c＝6.设双曲线的标准方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，又双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，∴eq\f(a,b)＝eq\f(\r(3),3)，即b＝eq\r(3)a，又∵c2＝a2＋b2，∴a2＝9，b2＝27，∴双曲线的标准方程为eq\f(y2,9)－eq\f(x2,27)＝1.2．如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________．答案2eq\r(7)－5解析直线A1B2的方程为eq\f(x,－a)＋eq\f(y,b)＝1，直线B1F的方程为eq\f(x,c)＋eq\f(y,－b)＝1.二者联立解得Teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ac,a－c)，\f(ba＋c,a－c)))，又Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ac,a－c)，\f(ba＋c,2a－c)))在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上，故eq\f(c2,a－c2)＋eq\f(a＋c2,4a－c2)＝1，e2＋10e－3＝0，解得e＝2eq\r(7)－5.3．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P在x轴上方)．(1)若QF＝2FP，求直线l的方程；(2)设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2.是否存在常数λ，使得k1＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解(1)因为a2＝4，b2＝3，所以c＝eq\r(a2－b2)＝1，所以F的坐标为(1,0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l的方程为x＝my＋1，代入椭圆方程，得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，则y1＝eq\f(－3m＋6\r(1＋m2),4＋3m2)，y2＝eq\f(－3m－6\r(1＋m2),4＋3m2).若QF＝2PF，则eq\f(－3m－6\r(1＋m2),4＋3m2)＋2×eq\f(－3m＋6\r(1＋m2),4＋3m2)＝0，解得m＝eq\f(2\r(5),5)，故直线l的方程为eq\r(5)x－2y－eq\r(5)＝0.(2)由(1)知，y1＋y2＝eq\f(－6m,4＋3m2)，y1y2＝eq\f(－9,4＋3m2)，所以my1y2＝eq\f(－9m,4＋3m2)＝eq\f(3,2)(y1＋y2)，所以eq\f(k1,k2)＝eq\f(y1,x1＋2)·eq\f(x2－2,y2)＝eq\f(y1my2－1,y2my1＋3)＝eq\f(\f(3,2)y1＋y2－y1,\f(3,2)y1＋y2＋3y2)＝eq\f(1,3)，故存在常数λ＝eq\f(1,3)，使得k1＝eq\f(1,3)k2.A组专题通关1．已知双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为________．答案eq\f(2\r(3),3)解析由题意可得eq\f(1,a)＝eq\f(\r(3),3)，所以a＝eq\r(3)，则c＝2，所以离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2\r(3),3).2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是________．答案y2＝8x解析由准线方程x＝－2，得－eq\f(p,2)＝－2，且抛物线的开口向右(或焦点在x轴的正半轴上)，所以y2＝2px＝8x.3．若中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为x＋3y＝0，则此双曲线的离心率为________．答案eq\f(\r(10),3)或eq\r(10)解析渐近线方程可写为y＝－eq\f(1,3)x，当焦点在x轴上时，可设a＝3k，b＝k(k>0)，则c＝eq\r(10)k，e＝eq\f(\r(10),3)；当焦点在y轴上时，可设a＝t，b＝3t(t>0)，则c＝eq\r(10)t，e＝eq\r(10).4．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为________．答案eq\r(2)＋1解析由题意可得c－eq\f(a2,c)＝2a，则c2－2ac－a2＝0，即e2－2e－1＝0.又e>1，所以e＝eq\r(2)＋1.5．设F1，F2分别为椭圆eq\f(x2,3)＋y2＝1的焦点，点A，B在椭圆上，若eq\o(F1A,\s\up6(→))＝5eq\o(F2B,\s\up6(→))，则点A的坐标是________．答案(0，±1)解析设直线F1A的反向延长线与椭圆交于点B′，又∵eq\o(F1A,\s\up6(→))＝5eq\o(F2B,\s\up6(→))，由椭圆的对称性，可得eq\o(F1A,\s\up6(→))＝5eq\o(B′F1,\s\up6(→))，设A(x1，y1)，B′(x2，y2)，又∵F1A＝eq\f(\r(6),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(3\r(2),2)))，F1B′＝eq\f(\r(6),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(3\r(2),2)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(3\r(2),2)))＝5×\f(\r(6),3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(3\r(2),2)))，,x1＋\r(2)＝5－\r(2)－x2，))解得x1＝0，∴点A的坐标为(0，±1)．6．设椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1与函数y＝taneq\f(x,4)的图象相交于A1，A2两点，若点P在椭圆C上，且直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，\f(3,4)))解析由题意，得A1，A2两点关于原点对称，设A1(x1，y1)，A2(－x1，－y1)，P(x0，y0)，则eq\f(x\o\al(2,1),4)＋eq\f(y\o\al(2,1),3)＝1，eq\f(x\o\al(2,0),4)＋eq\f(y\o\al(2,0),3)＝1，即yeq\o\al(2,1)＝eq\f(3,4)(4－xeq\o\al(2,1))，yeq\o\al(2,0)＝eq\f(3,4)(4－xeq\o\al(2,0))，两式相减整理，得eq\f(y0＋y1,x0＋x1)＝－eq\f(3,4)×eq\f(x0－x1,y0－y1)＝－eq\f(3,4)×eq\f(1,kPA1).因为直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，所以－2≤eq\f(y0＋y1,x0＋x1)≤－1，所以－2≤－eq\f(3,4)·eq\f(1,kPA1)≤－1，解得eq\f(3,8)≤kPA1≤eq\f(3,4).7．设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为eq\f(3,5).(1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为eq\f(4,5)的直线被C所截线段的中点坐标．解(1)将(0,4)代入C的方程得eq\f(16,b2)＝1，∴b＝4，又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，得eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(9,25)，即1－eq\f(16,a2)＝eq\f(9,25)，∴a＝5，∴C的方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.(2)过点(3,0)且斜率为eq\f(4,5)的直线方程为y＝eq\f(4,5)(x－3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝eq\f(4,5)(x－3)代入C的方程，得eq\f(x2,25)＋eq\f(x－32,25)＝1，即x2－3x－8＝0，解得x1＝eq\f(3－\r(41),2)，x2＝eq\f(3＋\r(41),2)，∴AB的中点坐标x＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(3,2)，y＝eq\f(y1＋y2,2)＝eq\f(2,5)(x1＋x2－6)＝－eq\f(6,5)，即中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(6,5))).8．设F1，F2分别为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2eq\r(3).(1)求椭圆C的焦距；(2)如果eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，求椭圆C的方程．解(1)设焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离eq\r(3)c＝2eq\r(3)，故c＝2.所以椭圆C的焦距为4.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y1＜0，y2＞0，直线l的方程为y＝eq\r(3)(x－2)．联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x－2，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))得(3a2＋b2)y2＋4eq\r(3)b2y－3b4＝0.解得y1＝eq\f(－\r(3)b22＋2a,3a2＋b2)，y2＝eq\f(－\r(3)b22－2a,3a2＋b2).因为eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，所以－y1＝2y2.即eq\f(\r(3)b22＋2a,3a2＋b2)＝2·eq\f(－\r(3)b22－2a,3a2＋b2)，解得a＝3.而a2－b2＝4，所以b＝eq\r(5).故椭圆C的方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1.B组能力提高9．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，若曲线C经过点P(1,3)，则其焦点到准线的距离为________．答案eq\f(9,2)解析由题意设抛物线方程为y2＝2px，又因为过点P(1,3)，则p＝eq\f(9,2).即为焦点到准线的距离．10．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线3x＋eq\r(6)y＋3＝0垂直，以C的右焦点F为圆心的圆(x－c)2＋y2＝2与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为________．答案2eq\r(5)解析由已知，得eq\f(b,a)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,\r(6))))＝－1，所以eq\f(b,a)＝eq\f(\r(6),3).由点F(c,0)到渐近线y＝eq\f(\r(6),3)x的距离d＝eq\f(\f(\r(6),3)c,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)))2＋－12))＝eq\r(2)，可得c＝eq\r(5)，则2c＝2eq\r(5).11．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为________________．答案eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1解析由圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，得(x－3)2＋y2＝4，因为双曲线的右焦点为圆C的圆心(3,0)，所以c＝3，又双曲线的两条渐近线bx±ay＝0均和圆C相切，所以eq\f(3b,\r(a2＋b2))＝2，即eq\f(3b,c)＝2，又因为c＝3，所以b＝2，即a2＝5，所以该双曲线的方程为eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1.12．已知F1，F2为椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点，若M为椭圆上一点，且△MF1F2的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M有________个．答案2解析由椭圆方程eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1可得a2＝25，b2＝16，∴a＝5，b＝4，c＝3.由椭圆的定义可得MF1＋MF2＝2a＝10，且F1F2＝2c＝6，∴△MF1F2的周长为MF1＋MF2＋F1F2＝10＋6＝16.设△MF1F2的内切圆的半径为r，由题意可得2πr＝3π，解得r＝eq\f(3,2).设M(x0，y0)，则＝eq\f(1,2)(MF1＋MF2＋F1F2)·r＝eq\f(1,2)·F1F2·|y0|，即eq\f(1,2)×16×eq\f(3,2)＝eq\f(1,2)×6·|y0|，解得|y0|＝4.∴y0＝±4，∴M(0,4)或(0，－4)．即满足条件的点M有2个．13．已知椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)与双曲线C2：x2－eq\f(y2,4)＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则b＝________.答案eq\f(\r(2),2)解析由双曲线x2－eq\f(y2,4)＝1知渐近线方程为y＝±2x，又∵椭圆与双曲线有公共焦点，∴椭圆方程可化为b2x2＋(b2＋5)y2＝(b2＋5)b2，联立直线与椭圆方程消y，得x2＝eq\f(b2＋5b2,5b2＋20)，又∵C1将线段AB三等分，∴eq\r(1＋22)×2eq\r(\f(b2＋5b2,5b2＋20))＝eq\f(2a,3)，解得b2＝eq\f(1,2).∴b＝eq\f(\r(2),2).14．已知椭圆方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1，若点M为右准线上一点，点A为椭圆C的左顶点，连结AM交椭圆于点P，则eq\f(PM,AP)的取值范围是____________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析设点P的横坐标为x0，则eq\f(PM,AP)＝eq\f(12,x0＋4)－1，∵－4＜x0≤4，∴eq\f(PM,AP)＝eq\f(12,x0＋4)－1≥eq\f(1,2).∴eq\f(PM,AP)的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).15．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(1,2)，且点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))在该椭圆上．(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AOB的面积为eq\f(6\r(2),7)，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程．解(1)由题意可得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，又a2＝b2＋c2，所以b2＝eq\f(3,4)a2.因为椭圆C经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(\f(9,4),\f(3,4)a2)＝1，解得a＝2，所以b2＝3，故椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)由(1)知F1(－1,0)