2019高三数学（人教A版理）一轮课时分层训练69　二项分布与正态分布

课时分层训练(六十九)二项分布与正态分布(对应学生用书第270页)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．设随机变量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，则P(X＝3)等于()A．eq\f(5,16) B．eq\f(3,16)C．eq\f(5,8) D．eq\f(3,8)A[X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，由二项分布可得，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(5,16).]2．甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%.则在甲市为雨天的条件下，乙市也为雨天的概率为()A．0.6 B．0.7C．0.8 D．0.66A[将“甲市为雨天”记为事件A，“乙市为雨天”记为事件B，则P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，故P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(0.12,0.2)＝0.6.]3．在如图10­8­1所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()图10­8­1附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544.A．2386 B．2718C．3413 D．4772C[由曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线可知题图中阴影部分的面积为P(0<X≤1)＝eq\f(1,2)×0.6826＝0.3413，又题图中正方形面积为1，故它们的比值为0.3413，故落入阴影部分的点的个数的估计值为0.3413×10000＝3413.故选C．]4．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(5,12)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,6)B[设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；事件B：乙实习生加工的零件为一等品，则P(A)＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(3,4)，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P(Aeq\o(B,\s\up9(－)))＋P(eq\o(A,\s\up9(－))B)＝P(A)P(eq\o(B,\s\up9(－)))＋P(eq\o(A,\s\up9(－)))P(B)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(3,4)＝eq\f(5,12).]5．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝eq\f(5,9)，则P(Y≥2)的值为()【导学号：97190378】A．eq\f(32,81) B．eq\f(11,27)C．eq\f(65,81) D．eq\f(16,81)B[因为随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，又P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)2＝eq\f(5,9)，解得p＝eq\f(1,3)，所以Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，则P(Y≥2)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)＝eq\f(11,27).]二、填空题6．(2018·青岛质检)设随机变量ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ<－3)＝P(ξ>1)＝0.2，则P(－1<ξ<1)＝________.0.3[由P(ξ<－3)＝P(ξ>1)＝0.2得P(ξ>－1)＝0.5，所以P(－1<ξ<1)＝0.5－0.2＝0.3.]7．投掷一枚图钉，设钉尖向上的概率为p，连续掷一枚图钉3次，若出现2次钉尖向上的概率小于3次钉尖向上的概率，则p的取值范围为________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))[设P(Bk)(k＝0,1,2,3)表示“连续投掷一枚图钉，出现k次钉尖向上”的概率，由题意得P(B2)<P(B3)，即Ceq\o\al(2,3)p2(1－p)<Ceq\o\al(3,3)p3.∴3p2(1－p)<p3.由于0<p<1，∴eq\f(3,4)<p<1.]8．(2017·河北衡水中学质检)将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)，投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，则P(A|B)＝________.eq\f(1,4)[依题意，随机试验共有9个不同的基本结果．由于随机投掷，且小正方形的面积大小相等．所以事件B包含4个基本结果，事件AB包含1个基本结果．所以P(B)＝eq\f(4,9)，P(AB)＝eq\f(1,9).所以P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(\f(1,9),\f(4,9))＝eq\f(1,4).]三、解答题9．(2017·山西太原二模)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下：1．抽奖方案有以下两种：方案a：从装有2个红球、3个白球(仅颜色不同)的甲袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金30元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；方案b：从装有3个红球、2个白球(仅颜色不同)的乙袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金15元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．2．抽奖条件：顾客购买商品的金额满100元，可根据方案a抽奖一次；满150元，可根据方案b抽奖一次(例如某顾客购买商品的金额为260元，则该顾客可以根据方案a抽奖两次或方案b抽奖一次或方案a、b各抽奖一次)．已知顾客A在该商场购买商品的金额为350元．(1)若顾客A只选择方案a进行抽奖，求其所获奖金的期望；(2)要使所获奖金的期望值最大，顾客A应如何抽奖？【导学号：97190379】[解](1)按方案a抽奖一次，获得奖金的概率P＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10).顾客A只选择方案a进行抽奖，则其可以按方案a抽奖三次．此时中奖次数服从二项分布B～eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,10))).设所得奖金为w1元，则Ew1＝3×eq\f(1,10)×30＝9.即顾客A所获奖金的期望为9元．(2)按方案b抽奖一次，获得奖金的概率P1＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,10).若顾客A按方案a抽奖两次，按方案b抽奖一次，则由方案a中奖的次数服从二项分布B1～eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,10)))，由方案b中奖的次数服从二项分布B2～eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,10)))，设所得奖金为w2元，则Ew2＝2×eq\f(1,10)×30＋1×eq\f(3,10)×15＝10.5.若顾客A按方案b抽奖两次，则中奖的次数服从二项分布B3～eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,10))).设所得奖金为w3元，则Ew3＝2×eq\f(3,10)×15＝9.结合(1)可知，Ew1＝Ew3<Ew2.所以顾客A应该按方案a抽奖两次，按方案b抽奖一次，才能使所获奖金的期望最大．10．(2016·全国卷Ⅱ节选)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数01234≥5概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率．[解](1)设A表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55.(2)设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)＝0.1＋0.05＝0.15.又P(AB)＝P(B)，故P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(PB,PA)＝eq\f(0.15,0.55)＝eq\f(3,11).因此所求概率为eq\f(3,11).B组能力提升(建议用时：15分钟)11．设随机变量X服从二项分布X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,2)))，则函数f(x)＝x2＋4x＋X存在零点的概率是()A．eq\f(5,6) B．eq\f(4,5)C．eq\f(31,32) D．eq\f(1,2)C[∵函数f(x)＝x2＋4x＋X存在零点，∴Δ＝16－4X≥0，∴X≤4.∵X服从X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,2)))，∴P(X≤4)＝1－P(X＝5)＝1－eq\f(1,25)＝eq\f(31,32).]12．事件A，B，C相互独立，如果P(AB)＝eq\f(1,6)，P(eq\x\to(B)C)＝eq\f(1,8)，P(ABeq\x\to(C))＝eq\f(1,8)，则P(B)＝________，P(eq\x\to(A)B)＝________.【导学号：97190380】eq\f(1,2)eq\f(1,3)[由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PA·PB＝\f(1,6)，,P\x\to(B)·PC＝\f(1,8)，,PA·PB·P\x\to(C)＝\f(1,8)，))解得P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,2)，∴P(eq\x\to(A)B)＝P(eq\x\to(A))·P(B)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3).]13．(2018·济南一模)2017年1月25日智能共享单车项目摩拜单车正式登陆济南，两种车型采用分段计费的方式，MobikeLite型(Lite版)每30分钟收费0.5元(不足30分钟的部分按30分钟计算)；Mobike(经典版)每30分钟收费1元(不足30分钟的部分按30分钟计算)．有甲、乙、丙三人相互独立的到租车点租车骑行(各租一车一次)．设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为eq\f(3,4)，eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，三人租车时间都不会超过60分钟．甲、乙均租用Lite版单车，丙租用经典版单车．(1)求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；(2)设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列．[解](1)由题意得，甲、乙、丙在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为eq\f(1,4)，eq\f(1,3)，eq\f(1,2).设甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用为事件A，则P(A)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(7,24).答：甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率为eq\f(7,24).(2)ξ的所有可能取值有2,2.5,3,3.5,4.P(ξ＝2)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)；P(ξ＝2.5)＝eq\f(3,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,24)；P(ξ＝3)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(