1521分式的乘除（讲练）-2022-2023学年八年级数学上册重要考点(人教版)

15.2分式的乘除分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：，其中是整式，.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：，其中是整式，.注意：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘.（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.题型1：分式的乘法1.计算。（1）•；解：原式=3xy•2z＝6xyz；（2）•解：原式＝•＝；（3）•解：原式＝＝•＝；【变式11】计算：（1）解：原式＝＝．（2）解：原式＝•＝．（3）．【分析】首先将分式的与分母分解因式进而化简求出答案．【解答】解：原式＝•＝a．【变式12】计算：（1）解：原式=．（2）计算：．【分析】原式变形后，约分即可得到结果．【解答】解：原式＝•＝﹣＝﹣．（3）计算：．【分析】根据平方差公式和完全平方式把要求的式子进行因式分解，再约分即可得出答案．【解答】解：＝•＝＝．【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握平方差公式和完全平方式是解题的关键．题型2：分式的除法2.计算：（1）÷解：原式＝•＝﹣；（2）÷解：原式＝×＝．（3）÷．解：原式＝•＝．【变式21】计算：（1）÷；解：原式＝＝﹣；（2）÷解：原式=＝．【变式22】计算：（1）；（2）（xy﹣x2）÷；（3）．（1）解：原式＝＝；（2）解：原式＝﹣x（x﹣y）＝﹣x•xy＝﹣x2y；（3）解：原式＝＝．分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：（为正整数）.注意：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把写成（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如.题型3：分式的乘方3.计算：（）2的值是（）A．B．C． D．【分析】直接把分子分母分别乘方即可．【解答】解：（）2＝＝．故选：D．【点评】此题主要考查了分式的乘方，就是把分子分母分别乘方即可．【变式31】下列计算正确的是（）A．x3•x3＝x9 B．x6÷x2＝x3 C． D．a2b﹣2ba2＝﹣a2b【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（A）原式＝x6，故A错误．（B）原式＝x4，故B错误．（C）原式＝，故C错误．故选：D．【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．【变式32】下列计算正确的是（）A. B.C. D.【点拨】把四个选项先利用分式的乘方法则，将分子分母分别乘方，然后利用积与幂的乘法法则，积的乘方的运算法则，积的乘方等于积中每一个因式分别乘方并把结果相乘，幂的乘方法则是底数不变，指数相乘，即可计算出结果，得到计算正确的选项． 【答案】C．【解析】解：A、，本选项错误；B、，本选项错误；C、，本选项正确；D、，本选项错误．所以计算结果正确的是C．【总结】此题考查了分式的乘方法则，考查了积的乘方及幂的乘方法则，完全平方公式的运用，是一道基础题．题型4：分式的乘除、乘方混合运算4.计算；解：（1）＝＝；（2）（2x3y）2•xy；解：（2）（2x3y）2•xy＝4x6y2•xy＝2x7y3；（3）（）2•．【分析】先算乘方，然后再算乘法，进行约分计算．【解答】解：原式＝＝．【变式41】计算：（1）；（2）．解：（1）；（2）．【总结】（1）题中有除法和乘方运算，应先算乘方，要特别注意符号的处理．（2）本题是乘除混合运算，首先把除法运算转化为乘法运算，再用乘法运算法则计算．【变式42】计算：(1)；(2)．【答案】解：(1)．(2)．题型5：分式乘除化简求值5.先化简，再求值，÷，其中m＝1．【分析】先把除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出答案即可．【解答】解：÷＝•＝，当m＝1时，原式＝＝﹣．【点评】本题考查了分式的乘法、除法法则和求值，能正确根据分式的乘除法法则进行化简是解此题的关键．【变式51】已知A＝•（x﹣y）．（1）化简A；（2）若x2﹣6xy+9y2＝0，求A的值．【分析】（1）直接利用分式的基本性质化简得出答案；（2）首先得出x，y之间的关系，进而代入求出答案．【解答】解：（1）A＝•（x﹣y）＝•（x﹣y）＝；（2）∵x2﹣6xy+9y2＝0，∴（x﹣3y）2＝0，则x﹣3y＝0，故x＝3y，则A＝＝＝．【点评】此题主要考查了分式的乘除运算，正确分解因式是解题关键．【变式52】（1）若A＝，化简A；（2）若a满足a2﹣a＝0，求A值．【分析】（1）根据分式的乘除法法则可将原式化为，再化简即可．（2）由a2﹣a＝a（a﹣1）＝0，得a＝0或a＝1，由二次根式有意义的条件可知a≠﹣2，1，所以将x＝0再代入a﹣2即可得答案．【解答】解：（1）A＝＝a﹣2；（2）∵a2﹣a＝a（a﹣1）＝0，∴a＝0或a＝1，而要使得A有意义，则a+2≠0，a2﹣2a+1＝（a﹣1）2≠0，a﹣1≠0，∴a≠﹣2，1，∴a＝0，将a＝0代入a﹣2，得A＝a﹣2＝0﹣2＝﹣2．【点评】本题考查了分式的乘除和有意义的条件，关键是根据法则将A化简求值．题型6：分式乘除规律问题6.给定一列分式：，，，，…（其中x≠0），用任意一个分式做除法，去除它后面一个分式得到的结果是；根据你发现的规律，试写出第6个分式．【分析】利用分式的除法进行计算即可．【解答】解：﹣÷＝﹣，第五个分式为：﹣•（﹣）＝，第六个分式为：•（﹣）＝﹣，故答案为：﹣；﹣．【点评】此题主要考查了分式的乘法和除法，关键是掌握分式的乘法法则和除法法则．【变式61】给定一列分式：，﹣，，﹣，……，（其中x≠0）用任意一个分式做除法，去除它后面一个分式得到的结果是；根据你发现的规律，试写出第9个分式．【分析】用后面项除以前面项求出结果，归纳总结得到第9个分式即可．【解答】解：给定一列分式：，﹣，，﹣，……，（其中x≠0）用任意一个分式做除法，去除它后面一个分式得到的结果是﹣；根据你发现的规律，试写出第9个分式，故答案为：﹣；【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键，做题时注意“除”与“除以”的区别．【变式62】观察下面一列单项式：x，（1）计算这列单项式中，一个单项式与它前一项的商，你有什么发现？（2）根据你发现的规律写出第n个单项式．【分析】（1）把一个单项式与它前一个单项式相除即可得出商的值；（2）根据规律即可得出第n个单项式的表达式．【解答】解：（1）∵＝﹣x；＝﹣x；…，∴从第二个单项式开始，每个单项式与它前一个单项式的商为﹣x；（2）∵通过观察题意可得：n为奇数时，单项式为正数．x的指数为n时，﹣的指数为（n﹣1）．∴第n个单项式的表达式为（﹣）n﹣1xn．【点评】本题考查的是分式的乘除法，熟知分式的乘法与除法法则是解答此题的关键．题型7：分式乘除实际问题7.老师在黑板上写了一个代数式的正确计算结果，随后用“黑板擦”遮住原代数式的一部分，如图：﹣）÷＝．（1）求被“黑板擦”遮住部分的代数式，并将其化简；（2）原代数式的值能等于﹣1吗？请说明理由．【分析】（1）根据加减和乘除的关系可得+，然后先算乘法，后算加法即可；（2）假设能等于﹣1可得方程＝﹣1，解出x的值，发现分式＝0，除数为零无意义，则原代数式的值不能等于﹣1．【解答】解：（1）由题意得：+，＝﹣，＝；（2）不能，假设能，则＝﹣1，x+2＝﹣（x﹣2），x+2＝﹣x+2，x＝0，当x＝0时，分式＝0，除数为零无意义，则原代数式的值不能等于﹣1．【点评】此题主要考查了分式的乘除法，关键是掌握计算法则，注意除法中除数不能为零．【变式71】如图，将长、宽分别为a、b的矩形硬纸片拼成一个“带孔”的正方形，已知拼成的大正方形面积为49，中间的小正方形的面积为1．求的值．【分析】根据题意得到（a+b）2＝49，（a﹣b）2＝1，根据完全平方公式求出a+b、ab，根据分式的乘除法法则把原式化简，代入计算即可．【解答】解：由题意得，（a+b）2＝49，（a﹣b）2＝1，a＞0，b＞0，a＞b，∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝48，a+b＝7，∴a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2＝48，∴ab＝12，∴原式＝（a2+b2）（a+b）（a﹣b）××＝＝＝14．【点评】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则、完全平方公式、平方差公式是解题的关键．【变式72】如图，“优选1号”水稻的实验田是边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分；“优选2号”水稻的实验田是边长为（a﹣1）m的正方形，两块试验田的水稻都收了600kg．（1）优选2号水稻的单位面积产量高；（2）“优选2号”水稻的单位面积产量是“优选1号”水稻的单位面积产量的多少倍？【分析】（1）根据题意分别求出两种水稻得单位产量，比较即可得到结果；（2）根据题意列出算式，计算即可得到结果．【解答】解：（1）根据题意得：“优选1号”水稻单位面积为kg/m2；“优选2号”水稻单位面积为kg/m2，∵﹣＝600×＝600×＜0，∴优选2号水稻的单位面积产量高；（2）根据题意得：÷＝•（a+1）（a﹣1）＝，则“优选2号”水稻的单位面积产量是“优选1号”水稻的单位面积产量的倍．故答案为：（1）2【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．题型8：分式乘除新定义问题8.对于a，b，我们定义两种运算：a△b＝，a*b＝，则m△n÷2（m*n）＝．【分析】根据新定义运算法则以及分式的乘除运算法则即可求出答案．【解答】解：∵a△b＝，a*b＝，∴m△n+2（m*n）＝÷2（）＝÷＝＝．故答案为：．【点评】本题考查分式的乘除运算，解的关键是熟练运用分式的乘除运算法则，本题属于基础题型．【变式81】正数范围内定义一种运算“*”，其规律是，则：（1）＝，（2）当3*（x+1）＝1时．求x＝．【分析】（1）根据题意得：＝•（x+2），然后又分式的乘除法的性质，即可求得答案；（2）根据题意即得分式方程：•＝1，解此方程即可求得答案．【解答】解：（1）根据题意得：＝•（x+2）＝；（2）根据题意得：•＝1，方程两边同乘以3（x+1）得：3（x+1）＝1，解得：x＝﹣，经检验，x＝﹣是原分式方程的解．故答案为：（1），（2）．【点评】此题考查了分式方程的求解方法以及分式的乘除法．此题属于新定义题型，此题难度不大，注意掌握转化思想的应用．【变式82】定义新运算：x*y＝，求a*b×[b*（﹣a）]．【分析】根据题意x*y＝，首先将原式转化为乘法形式，进而求出即可．【解答】解：∵x*y＝，∴a*b×[b*（﹣a）]＝×＝＝．【点评】此题主要考查了新定义以及分式的乘法运算，正确转化运算形式是解题关键．一、单选题1．计算1aA．a B．1a2 C．1 【答案】B【解析】【解答】解：1a故答案为：B．【分析】利用分式的乘除法则计算求解即可。2．计算(a4)·16−aA．a+4 B．a4 C．a+4 D．a4【答案】D【解析】【分析】先将分式的分子、分母根据平方差公式、完全平方公式分解因式，进而可通过约分、化简得出结果。【解答】(a4)·16−=(a4)·(4−a)(4+a)=(a+4)=a4

故选D.

【点评】在完成此类化简题时，应先将分子、分母中能够分解因式的部分进行分解因式。有些需要先提取公因式，而有些则需要运用公式法进行分解因式。通过分解因式，把分子分母中能够分解因式的部分，分解成乘积的形式，然后找到其中的公因式约去。3．化简2xA． B． C． D．2（x+1）【答案】A【解析】【解答】解：原式=2故答案为：A.【分析】先将分式的除法转化为乘法运算，再化简即可。4．a2÷b·1b÷c·1c÷d·A．a2 B．a2b2c2d【答案】B【解析】【分析】先把除化为乘，再约分即可。

a2÷b·1b÷c·1c÷d·1d=a2·1b·1b·1c·1c·1d·5．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简过程如图所示：老师x2−2xx−1÷x21−x→甲接力中，自己负责的一步出现错误的是（）A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁【答案】D【解析】【解答】解：x=x=−=−=−x−2∴出现错误的是乙和丁；故答案为：D．

【分析】利用分式的除法运算法则及计算步骤逐项判断即可。6．下列计算结果正确的有（）①3xx2·x3x=1x；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】【解答】解：①3xx②8a③aa④a÷b·1故答案为：C.【分析】分式的乘法：把分子的积作为分子，分母的积作为分母，并将结果化为最简形式；分式的除法，先根据除以一个式子等于乘以这个式子的倒数将除法转变为乘法，进而根据乘法法则进行计算，据此分别计算出结果，再判断即可得出答案.7．某数学老师模仿学生喜欢的《王牌对王牌》节目在课堂上设计了一个接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算得到结果，再将计算结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示，接力中，自己负责的那一步出现错误的是（）A．只有乙 B．只有丙 C．甲和丙 D．乙和丙【答案】A【解析】【解答】x=x=x=−x由以上可得，甲正确，乙错误，x2x−2·故答案为：A．【分析】根据分式的乘除运算，进行判断即可.二、填空题8．计算：a2cb【答案】b【解析】【解答】解：a2cb9．x+1x⋅【答案】1【解析】【解答】x+1x⋅故答案为：1x+1【分析】将分式的分子分母能分解因式的分别分解因式，然后约分化为最简形式即可。10．小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以x+y2错抄成乘以x2，结果得到(x2xy)，则正确的计算结果是【答案】x2y2【解析】【解答】解：∵不小心把乘以x+y2错抄成乘以x2，结果得到(x2xy)，

∴(x2xy)÷x2=2xx−yx

∴正确的计算结果为：2xx−yx【分析】先根据一个因式等于积除以另一个因式，可求出这个因式；再列式，利用分式乘以分式的法则进行计算，可得结果。11．计算分式①yx÷ba，②nm•m2n，③2a÷4a，④【答案】①【解析】【解答】解：①yx÷yx=yx•ab=aybx，结果是分式；②nm•2nm=12，结果不是分式；③2a÷4a=2a•a4=1故答案为：①．【分析】原式各项计算得到结果，即可作出判断．12．计算xn+1÷（xy2）n•（﹣x4【答案】﹣x5y2n﹣4【解析】【解答】解：原式=xn+1÷（xny2n）•（﹣x4y4）=﹣xn+1•y2n故答案为：﹣x5y2n﹣4．【分析】根据分式的乘方，可得分式的乘除法，根据分式的乘除法，做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．三、解答题13．计算：（1）2（2）x【答案】解：（1）原式=4y4x6+（2）原式=x−12x+1x−1【解析】【分析】（1）原式先计算乘方运算，再计算加法运算即可得到结果；（2）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．14．若a＞0，M=a+1a+2，N=a+2【答案】猜想：M＜N理由：M﹣N=a+1a+2﹣=a+1=−1a+2∵a＞0，∴a+2＞0，a+3＞0，∴−1a+2∴M﹣N＜0，∴M＜N；【解析】【分析】直接将a=3代入原式求出M，N的值即可；直接利用分式的加减以及乘除运算法则，进而合并求出即可．15．已知x3﹣x2﹣x+1=（x﹣1）（x2﹣1）且x是整数，求证：是整数．【答案】解：x3﹣x2﹣x+1=（x﹣1）（x2﹣1）=（x﹣1）2（x+1），∴==x+1．又∵x是整数，∴x+1是整数．故是整数．【解析】分析：可将x3﹣x2﹣x+1因式分解，再进行分式的除法运算，可求出的结果，然后根据条件x是整数，即可得证．四、综合题16．计算