第08讲平面直角坐标系

第08讲平面直角坐标系知识点1：坐标确定位置坐标：是以点O为原点，作为参考点，来定位平面内某一点的具体位置，表示方法为：A（x，y)．知识点2：平面直角坐标系平面内画两条相互垂直，原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．水平的数轴称为横轴或x轴，取向右为正方向；竖直的数轴称为纵轴或y轴，取向上为正方向；两坐标轴的交点称为平面直角坐标系的原点．知识点3：象限x轴和y轴将坐标平面分成了四个象限（quadrant），右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限．知识点4：坐标系内点的特征（1）x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0．（2）在任意的两点中，如果两点的横坐标相同（两点的横坐标不为零），则两点的连线平行于纵轴；如果两点的纵坐标相同（两点的纵坐标不为零），则两点的连线平行于横轴．（3）点到轴及原点的距离：点到x轴的距离为|y|；点到y轴的距离为|x|；点到原点的距离为x的平方加y的平方的算术平方根．（4）一三象限角平分线上的点横纵坐标相等．（5）二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数．考点剖析考点一：坐标确定位置【典例1】小明在教室中的座位为第行第列，记为，小亮在第行第列，记为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题干分析可得：小明在教室中的座位为第行第列，记为，小亮在第行第列，记为．故选：．【变式11】如图，这是小丽关于诗歌《望洞庭》的书法展示，若“湖”的位置用有序数对表示，则“山”的位置可以表示为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】“山”的位置可以表示为，故选：D．【变式12】第19届亚运会于2023年9月在浙江省杭州市举行．以下能够准确表示杭州市地理位置的是（

）A．距离北京市1250公里 B．在浙江省C．在义乌市的北方 D．东经，北纬【答案】D【解析】由题意可知，东经，北纬能够准确表示杭州市地理位置，故选：D．【变式13】数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程．数学中把形如（a，b为实数）的数叫做复数，用表示．任何一个复数在平面直角坐标系中都可以用有序数对表示，如：表示为，那么可表示为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得，可表示为．故选：B．考点二：象限内点的特征【典例2】如图所示，象棋盘上，若“帅”位于点，“象”位于点，则“炮”位于点（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，“炮”所在点的坐标为．

故选：B．【变式21】如图，在平面直角坐标系中，被手挡住的点的坐标可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据被手挡住的点在第三象限，则横坐标为负数，纵坐标为负数，∴选项的点符合题意，故选：．【变式22】下列点的坐标在轴上的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】A．点在第一象限，故此选项不符合题意；B．点在轴上，故此选项不符合题意；C．点在第一象限，故此选项不符合题意；D．点在轴上，故此选项符合题意．故选：D．【变式23】如图，卡通形象“大白”深受大家喜爱，将“大白”放在平面直角坐标系中，如果右眼的坐标是，那么这只“大白”的左眼的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】的坐标是，左移1个单位得到点的坐标，，故选：C．考点三：判断点所在的象限【典例3】如图，小明用手盖住的点的坐标可能为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵小明用手盖住的是第二象限，第二象限的坐标符号特征为，∴符合题意，故选：B．【变式31】在平面直角坐标系中，若点A的坐标是，则点A所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】∵，∴，∴点在第四象限，故选：D．【变式32】已知点，若，，则点所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】∵，∴，∵，∴异号，∴，即，∴点所在的象限是第四象限，故选：．【变式33】已知点在轴上，则点在第（

）象限A．四 B．三 C．二 D．一【答案】C【解析】∵点在轴上，∴，∴，∴点在第二象限，故选：C．考点四：已知点所在的象限求参数【典例4】若点在第四象限，且，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，，∴，，∵点在第四象限，∴，，∴，，∴．故选：B．【变式41】点在第二象限，它到x轴的距离是4，到y轴距离是3，则为（）A． B．1 C．7 D．【答案】B【解析】∵在第二象限，∴点的横坐标小于0，纵坐标大于0．又∵点到轴的距离是4，即点的纵坐标为4；点到轴的距离为3，即点的横坐标为，∴点的坐标是，则，故选：B．【变式42】点在直角坐标系的x轴上，则点P的坐标为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵点P在直角坐标系的x轴上，∴，∴，故点P的横坐标为：，即点P的坐标为，故选：B．考点五：求点到坐标轴的距离【典例5】已知点与点在同一条平行于x轴的直线上，且N到y轴的距离等于4，则点N的坐标是（）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【解析】∵点与点在同一条平行于x轴的直线上，∴，∵N到y轴的距离等于4，∴，∴点N的坐标为或．故选：D．【变式51】第三象限的点P到x轴距离为3，到y轴距离为2，则P点坐标为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵点P在第三象限，到x轴距离为3，到y轴距离为2，∴点P的横坐标是，纵坐标是3，∴点P的坐标为．故选：A．【变式52】点坐标为，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是()A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】∵点到两坐标轴的距离相等，∴，∴或，解得或，当时，，；当时，，．∴点P的坐标为或．故选：D．【变式53】在平面直角坐标系中，点A的坐标为，则点A到x轴的距离为（

）A． B．5 C． D．2【答案】B【解析】∵在平面直角坐标系中，点A的坐标为，∴点A到x轴的距离为，故选B．考点六：坐标与图形的性质【典例6】如图，在平面直角坐标系中，，，，且与互为相反数．

(1)求实数与的值；(2)在轴的正半轴上存在一点，使，请通过计算求出点的坐标；(3)在坐标轴的其他位置是否存在点，使仍然成立？若存在，请直接写出符合题意的点的坐标．【解析】（1）∵与互为相反数．∴，∴，，解得：，；（2）当M在x轴正半轴上时，设，，∵，，，，∴，解得：，∴；（3）①当M在y轴正半轴上时，设，∵，，，，∴，解得：，∴；②当M在y轴负半轴上时，设，∵，，，，∴，解得：，∴；③当M在x轴负半轴上时，设，∵，，，，∴，解得：，∴．综上所述：或或．【变式61】如图，在平面直角坐标系中，已知，其中a，b满足．(1)填空：，；(2)已知，连接，P为y轴上一点，且，请求出点P的坐标．【解析】（1）∵，∴，∴．故答案为：，3；（2）由（1）知，，∵，∴，设，则：，∴，∴点P的坐标是或．【变式62】如图，已知在平面直角坐标系中，点在轴上，点、在轴上，，，，点的坐标是．

(1)求△的顶点的坐标；(2)连接、，并用含字母的式子表示的面积；(3)在（2）问的条件下，是否存在点，使的面积等于△的面积？如果存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1），，，解得，，，，，；（2）当点在第二象限，直线的上方，即，作轴于，如图，

；当点在直线下方，即，作轴于，如图，

；∴的面积为；（3）∵，当，解得．此时点坐标为；当，解得．此时点坐标为．综上所述，点的坐标为，或，．考点七：坐标系中描点【典例7】如图，已知、、．(1)在坐标系中描出各点，画出△；(2)求△的面积；(3)点在轴上，当的面积为6时，请直接写出点的坐标．【解析】（1）如图所示，为所求，（2）∵、、，∴，点到边的距离为：，∴的面积为：，（3）设点，∴，∴，∴或，∴点的坐标为或．【变式71】如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，．

(1)在平面直角坐标系中画出△．(2)求△的面积．【解析】（1）如图，即为所求：

（2）．【变式72】已知△的三个顶点坐标分别是：，，．(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出△；(2)将△先向右平移4个单位，再向上平移3个单位得到，画出．【解析】（1）如图所示，（2）如图所示，考点八：点在坐标系内的移动规律【典例8】如图，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为，，，，…，顶点依次用，，，，…，表示，则顶点的坐标为（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】由图形可知：，，，，，，，，，，，，…，由各点坐标可知，每个点一循环，横纵坐标绝对值相同，坐标的绝对值等于循环的次数，坐标正负按照，，，依次循环，，，故选：．【变式81】如图，在平面直角坐标系中，对△进行循环往复的轴对称变换，若原来点坐标是，则经过第2023次变换后点的对应点的坐标为（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】点C第一次关于轴对称后在第二象限，点C第二次关于轴对称后在第三象限，点C第三次关于轴对称后在第四象限，点C第四次关于轴对称后在第一象限，即点C回到原始位置，所以，每四次对称为一个循环组依次循环，，经过第2023次变换后所得的C点与第三次变换的位置相同，在第四象限，坐标为．故选：B．【变式82】如图，平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按向右向上向右向下的顺序依次不断移动，每次移动个单位，其移动路线如图所示，第一次移到点，第二次移到点，第三次移到点，，第次移到点，则点的坐标是．【答案】【解析】观察图象可知，点A的纵坐标每4个点循环一次，∵，∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，∵，，……，∴（n为正整数），∴当时，，∴，∴点的坐标是．故答案为：．【变式83】已知点，，，在平面直角坐标系中的位置如图所示，一只瓢虫从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿循环爬行，第2025秒瓢虫所在点的坐标为.

【答案】【解析】∵点，，，，∴，根据题意，运动第一秒时，向下移动2个单位，到达的位置是；运动第二秒时，向下移动1个单位，向右移动1个单位，到达的位置是；运动第三秒时，向右移动2个单位，到达的位置是；运动第四秒时，向右移动1个单位，向上移动1个单位，到达的位置是；运动第五秒时，向上移动2个单位，到达的位置是；运动第六秒时，向左移动2个单位，到达的位置是；运动第七秒时，向左移动2个单位，到达的位置是；点的规律是每7秒循环，当运动2025秒时，，与的位置相同，故答案为：.过关检测一、选择题1．下列数据不能确定物体位置的是（

）A．电影票4排4号 B．东经，北纬C．广场北路28号 D．北偏东【答案】D【解析】A、电影票4排4号，物体的位置明确，故本选项不符合题意；B、东经，北纬，物体的位置明确，故本选项不符合题意；C、广场北路28号，物体的位置明确，故本选项不符合题意；D、北偏东，无法确定物体的具体位置，故本选项符合题意．故选：D．2．在平面直角坐标系中，点在（

）A．第一象限 B．第四象限 C．x轴上 D．y轴上【答案】C【解析】点在x轴上，故选C．3．点在第二象限内，且到轴的距离是4，到轴的距离是3，那么点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵到轴的距离是4，到轴的距离是3，∴，，∴，，又点在第二象限内，∴，，∴．故选：C．4．在平面直角坐标系中，若，且直线轴，则的值是（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】直线轴，，．故选：A．5．已知点在x轴的上方，且，，则点P的坐标为（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】，，，，又点在x轴的上方，，，点P的坐标为或，故选D．6．已知，则到轴的距离为（

）A．6 B．8 C．10 D．14【答案】B【解析】∵点的纵坐标为8，∴点A到x轴的距离是8，故选：B．7．如图是丁丁画的一张脸的示意图，如果用和表示眼睛，那么嘴的位置可以表示成（）

A． B． C． D．【答案】A【解析】如下图，根据题意建立坐标系，

嘴的位置可以表示为．故选：A．8．已知点的坐标为，且点到两坐标轴的距离相等，则点的具体坐标是（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】点的坐标为，且到两坐标轴的距离相等，,解得或,即点的坐标为或．故选：D．9．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，半圆，半圆，半圆，…，组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第秒时，点的坐标是(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】半径为个单位长度的半圆的周长为，∵点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，∴当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为，当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为，当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为，当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为，当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为，当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为，…，∵，∴的坐标是，故选：A．二、填空题10．若，则点在第象限．【答案】二【解析】由，得出：，，故，，∴，故P点在第二象限，故答案为：二．11．在平面直角坐标系中，点在y轴上，则m的值为．【答案】2【解析】∵点在y轴上，∴，解得：，故答案为：2．12．在平面直角坐标系中，线段，与x轴平行，点A的坐标为，则B点坐标是．【答