云南省昆明市师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期月考（五）数学试题

2023级高一年级教学测评月考卷（五）数学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷第1页至第2页，第II卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．第I卷（选择题，共60分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图，在中，向量是（）A.有相同起点向量 B.模相等的向量C.共线向量 D.相等的向量【答案】B【解析】【分析】对于A，由图形判断；对于B，根据圆的半径为向量的模判断；对于C，由共线向量的定义判断；对于D，由相等的向量的定义判断.【详解】对于A，根据图形，可得向量，，不是相同起点的向量，∴A错误；对于B，因为O是圆心，那么向量，，的模长是一样的，∴B正确；对于C，共线向量知识点是方向相同或者相反的向量，∴C错误；对于D，相等的向量指的是大小相等，方向相同的向量，∴D错误，故选：B．2.设表示“向东走”，表示“向南走”，则所表示的意义为（）A.向东南走 B.向西南走C.向东南走 D.向西南走【答案】A【解析】【分析】根据向量加法的平行四边形法则，结合具体实际意义可得.【详解】表示“向东走8km”，表示“向南走4km”，即表示向南走8km，根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向东南走km.故选：A．3.在中，角所对的边分别为.若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理，即可求解.【详解】根据正弦定理可知，，，则，得.故选：A4.如图，在中，点满足，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的基本定理求解.【详解】解：因为，，所以，，故选：B．5.已知向量，若不超过，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得的坐标，再由不超过求解.【详解】解：因为，且不超过，所以，解得，故选：D．6.向量，，那么向量在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求出的坐标，再求出，，最后根据投影向量的定义计算可得.【详解】因为，，所以，所以，，所以在上的投影向量为.

故选：A．7.记的内角的对边分别为，则边上的高为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据余弦定理求出，再根据面积公式列式可求出结果.【详解】由，得.设边上的高为，因，所以，即边上的高为.故选：D8.记的内角的对边分别为，分别以为边长的正三角形的面积依次为，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出代入已知，结合余弦定理即可求解.【详解】由题意得，，则，所以，即，由余弦定理有：，又因为，所以.故选：C．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列命题为真命题的是（）A.零向量与任意向量共线B.C.互为相反向量的两个向量的模相等D.若向量满足，则【答案】ACD【解析】【分析】依据零向量、相反向量定义判断AC选项，由向量的减法法则判断B选项，根据向量的三角不等式判断D选项.【详解】零向量与任意向量共线，A选项正确；，B选项错误；互为相反向量的两个向量的模相等，C选项正确；若向量，满足，，则，即，D选项正确.故选：ACD．10.已知向量，则（）A.与共线 B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】依据题意求解出，利用向量共线，垂直，求模长，求夹角的坐标求法逐个选项求解即可.【详解】对于A，，，则，故A正确；对于B，，则，，，可得，故B正确；对于C，，，故，故C错误；对于D，，，，故，即，故D正确，故选：ABD．11.已知向量满足，且，则（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】将两边平方，结合已知可得，可判断AB；由夹角公式计算可判断C；将平方后即可求解，可判断D.【详解】因为，所以，即，整理可得，再由，且，可得，所以，故A，B错误；所以，即向量的夹角，故向量共线且方向相反，所以，故C正确；又，所以，故D正确.故选：CD．12.在中，角的对边分别为，且，则以下四个命题中正确的是（）A.满足条件的可能是直角三角形 B.面积的最大值为C.若为锐角三角形，则 D.当时，的内切圆的半径为【答案】ABD【解析】【分析】由已知可得，取特例可判断A选项；设，则，根据余弦定理和三角形面积公式可判断B选项；由，可得的取值范围，判断C选项；根据余弦定理和等面积法可判断D选项.【详解】由，得，对选项A，取，则，，故，是直角三角形，故A正确；对选项B，设，则，，，，当时，S最大为，故B正确；对选项C，为锐角三角形，则，即，解得，且，即，解得，故，故C错误；对选项D，当时，，，，又，故，设内切圆的半径为r，则，解得，故D正确.故选：ABD．第II卷（非选择题，共90分）注意事项：第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在平行四边形中，，则______．【答案】##0.25【解析】【分析】根据平面向量线性运算及平面向量基本定理可得结果.【详解】如图，因为在平行四边形中，，所以，所以，所以，所以，则，所以．故答案为：.14.已知平面向量，则______．【答案】##【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示求出x，然后可解.【详解】因为，所以，解得，则，可得，所以．故答案为：15.在中，角所对的边分别为，且，则______；若的面积，则______．【答案】①.②.【解析】【分析】利用正弦定理边化角，结合和差公式可求得，由面积公式结合余弦定理可求得.【详解】因为，所以，所以，即，因为，所以，又，所以；由，可得，则．又，则由余弦定理可得，解得．故答案为：；.16.在中，为上一点，为的平分线，则______．【答案】【解析】【分析】由余弦定理计算的长，依据三角形面积结合三角形面积公式可求出.【详解】由余弦定理可得，而，所以，整理可得：，解得或（舍），为的平分线，所以，因为，而，所以，解得．故答案为：四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在中，角的对边分别为．（1）求角；（2）若的面积为，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理将角化边，结合余弦定理计算即可;（2）结合（1）的结论及条件，利用表示出的面积，列方程计算即可.【小问1详解】由，根据正弦定理化简可得，所以．又，得．【小问2详解】由于面积为，且，，所以，解得．18.如图，在中，，点分别是的中点．设．（1）用表示；（2）如果，用向量方法证明：．【答案】（1），（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据，结合平面向量基本定理求解即可；（2）根据平面向量数量积运算计算即可.【小问1详解】如图，由，可得．又点E，F分别是AC，BC的中点，则，．【小问2详解】由，，可得，，则，，故．19.已知．（1）若为与的夹角，求的值；（2）若与垂直，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用平面向量的夹角公式求解；（2）根据向量与垂直，两个向量的数量积为零求解.【小问1详解】解：∵，∴，则，∴．∵，∴．小问2详解】∵，∴．∵向量与垂直，∴，解得．20.已知．（1）求与的夹角和的值；（2）设，若与共线，求实数的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据题意结合数量积的运算可得，进而可求夹角和模长；（2）根据题意结合向量共线的判定定理分析求解.【小问1详解】因为，则，即，解得，则，且，所以与的夹角为，．【小问2详解】由（1）可得：与不共线，，若与共线，则必存在使得：，所以，得．21.在中，角的对边分别是，且．（1）求角；（2）若中线，求面积的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合和差公式即可求解；（2）将两边平方，结合基本不等式和面积公式可解.【小问1详解】因为，由正弦定理可得，在中，所以，整理得，所以，因为，,所以，．【小问2详解】因为的中线，，因为，所以，即，可得，当且仅当时取等号，所以的面积，所以面积的最大值为．22.在中，分别为内角的对边，点在线段上，，的面积为．（1）当，且时，求角；（2）当，且时，求的周长．【答案】（1）（