安徽省皖东县中联盟2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

数学试题考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线的焦距为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出即可求出焦距.【详解】在双曲线中，，，，所以焦距为．故选：B．2.设某制造公司进行技术升级后的第x个月（）的利润为y（单位：百万元），根据统计数据，求得y关于x的经验回归方程为，若时的观测值，则时的残差为（）A. B.1 C.3 D.6【答案】B【解析】【分析】利用残差的定义求解.【详解】解：因为时的预测值为，所以残差为．故选：B．3.的展开式中项的系数为（）A.15 B.20 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用二项展开式的通项，令，求解即可.【详解】的二项展开式的通项，令，得，所以的展开式的项的系数为．故选：A．4.李白的一句“烟花三月下扬州”让很多人对扬州充满向往．据统计，唐朝约有120名诗人写下了400多首与扬州有关的诗篇，某扬州短视频博主从中选取了7首，制作了分别赏析这7首诗的7个短视频（含甲、乙），准备在某周的周一到周日发布，每天只发布1个，每个短视频只在其中1天发布，若甲、乙相邻两天发布，则这7个短视频不同的发布种数为（）A.180 B.360 C.720 D.1440【答案】D【解析】【分析】元素相邻的排列问题，利用捆绑法解决即可.【详解】先将甲、乙排为一列，有种方法，再将其视为一个整体与其余5个视频排成一列，有种方法，根据分步乘法计数原理可得，甲、乙在相邻两天发布不同的发布种数为．故选：D．5.若随机变量X的分布列为01则（）A. B. C. D.0【答案】B【解析】【分析】先根据随机变量的额概率之和等于1，求出，再根据期望的求法公式求期望.【详解】由题意，得，所以，．故选：B6.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中依次取出3个不同数字a，b，c，若a，b，c成等差数列，则不同的取法种数为（）A.16 B.24 C.32 D.48【答案】C【解析】【分析】根据a，b，c成等差数列，所以a与c同为偶数或同为奇数，分情况讨论即可.【详解】若取出的3个数a，b，c成等差数列，则a与c同为偶数或同为奇数，所以a，b，c的不同的取法种数为．故选：C7.甲、乙两人玩剪子包袱锤游戏，若每次出拳甲胜与乙胜的概率均为，且两人约定连续3次平局时停止游戏，则第7次出拳后停止游戏的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意分析可知，后3局连续平局，第4局不是平局，前3局不是连续平局，再结合独立事件概率公式，即可求解.【详解】记第i次出拳是平局为事件，则，记第7次出拳后停止游戏为事件A，则，所以．故选：D．8.若直线l与曲线、曲线分别切于点，，则取最大值时，的值为（）A.e B.1 C. D.0【答案】C【解析】【分析】求导，根据导数的几何意义以及直线斜率的概念，得到，用表示，得；设，求导，分析的单调性，求出最大值，即的最大值，并得到相应的及的值.【详解】因为，，直线l与曲线切于点，与曲线切于点，所以直线l的斜率，整理，得，设，则，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以的最大值为1，当时，，，．故选：C【点睛】思路点睛：本题考查导数中的公切线问题，求解此类问题的基本思路是假设切点坐标后，利用导数几何意义分别表示出两函数切点处的切线方程，由两方程形式一致可构造方程组来求解相关问题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某地10月份第x天的平均气温为y（单位：℃），x，y线性相关，由x，y的前7天样本数据求得的经验回归方程为，则下列说法正确的是（）A.x，y负相关B.第8天的平均气温为18℃C.前7天平均气温的平均数为19℃D.若剔除偏离经验回归直线最大的一个异常点，则相关系数变大【答案】AC【解析】【分析】根据已知利用回归直线的性质依次判断各选项即可得出结果.【详解】因为，所以A正确；第8天的平均气温的预测值为18℃，但实际值不一定是18℃，B错误；由，及在经验回归直线上，得，C正确；因为x，y负相关，所以相关系数，剔除偏离经验回归直线最大的一个异常点后，变大，但r变小，D错误．故选:AC．10.已知某品牌一种型号的LED灯的使用寿命X（单位：小时）服从正态分布，则下列说法正确的是（）参考数据：若，则，．A.该型号LED灯的平均使用寿命是60000小时B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】利用正态分布的性质，计算可判断结论.【详解】因为使用寿命X（单位：小时）服从正态分布，所以，可得该型号LED灯的平均使用寿命是60000小时，故A正确；所以，故B错误；由，可得，故C正确；，故D正确．故选：ACD．11.已知四棱柱的所有棱长均为2，点为的中点，点为的中点，点为的中点，且，两两垂直，过点G的平面与直线，，分别交于点，则下列说法正确的是（）A.B.平面与平面夹角的余弦值为C.若平面，则线段的长度为D.当点到平面的距离最大时，【答案】ABC【解析】【分析】根据菱形的性质，即可求解A，建立空间直角坐标系，利用向量求解两个平面的法向量，即可利用法向量的夹角求解B,根据线面垂直的性质可得线线垂直，结合向量垂直的坐标运算即可求解CD。【详解】对于A，如图所示，四边形是边长为2的菱形，所以，又，所以，又点为的中点，所以，，故A正确；对于B，以为原点，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，由，，，，得，，设平面的法向量，则，即，取，得，因为，，设平面的法向量，则，即，取，得，所以平面与平面夹角的余弦值为，故B正确；对于C，，因为分别在直线，上，所以可设，，所以，，因为平面，平面，平面，所以，，即，，解得，，所以，，，故C正确；对于D，当时，点到平面的距离最大，因为平面与直线交于点，设，则，，由，得，，故D错误．故选:ABC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.小李同学准备从4本讲义类图书与5本试卷类图书中选3本购买，则讲义类图书与试卷类图书至少各选1本的选择方法种数为________．【答案】70【解析】【分析】根据排列组合，结合分类加法计数原理即可求解.【详解】讲义类图书与试卷类图书至少各选1本的选择方法种数为．故答案为：7013.设随机变量，其中且，，若，，则________．【答案】##【解析】【分析】由二项分布期望的性质计算可求得，利用二项分布的概率公式计算可求得，由方差公式计算即可得出结果.【详解】因为，所以，，，由，得，所以，，由，得，即，解得，所以，．故答案为：14.一质点在平面内每次只能向左或向右跳动1个单位，且第1次向左跳动．若前一次向左跳动，则后一次向左跳动的概率为；若前一次向右跳动，则后一次向左跳动的概率为．记第n次向左跳动的概率为，则________；________．【答案】①.②.【解析】【分析】易得，，再利用全概率由求解；从而得到，利用等比数列求解.【详解】解：由题意，得，，，由，设，则，，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，，所以．故答案为：；四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知．（1）若，求的值；（2）若，求m的值．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）通过赋值法求系数和；（2）通过二项式定理的通项求参数值．【小问1详解】在中，取，得，取，得，以上两式相减，得．【小问2详解】的通项为，若，可得，所以，解得或．16.通过调查，某市小学生、初中生、高中生的肥胖率分别为，，．已知该市小学生、初中生、高中生的人数之比为，若从该市中小学生中，随机抽取1名学生．（1）求该学生为肥胖学生的概率；（2）在抽取的学生是肥胖学生的条件下，求该学生为高中生的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）通过全概率公式求解即可得；（2）通过条件概率公式求解即可得．【小问1详解】记“任取1名中小学生是肥胖学生”，“学生为小学生”，“学生为初中生”，“学生为高中生”．则，且，，两两互斥，由题意得，，，，，，则，即随机抽取1名学生，该学生为肥胖学生的概率为0.025．【小问2详解】“抽取的学生是肥胖学生且为高中生”，则，所以，即在抽取的学生是肥胖学生的条件下，该学生为高中生的概率为0.24.17.随着互联网的高速发展和新媒体形式的不断丰富，微短剧作为一种新兴的文化载体，正逐渐成为拓展文化消费空间的重要途径．某媒体为了了解微短剧消费者的年龄分布，随机调查了200名消费者，得到如下列联表：年龄不超过40岁年龄超过40岁合计是微短剧消费者3045不是微短剧消费者合计100200（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联？（2）记2020~2024年的年份代码依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2023年中国微短剧市场规模及2024年中国微短剧预测的市场规模（单位：亿元）与的统计数据：年份代码x12345市场规模y9.436.8101.7373.9m根据上表数据求得关于的经验回归方程为，求相关系数，并判断该经验回归方程是否有价值．参考公式：，其中，．回归方程，其中，，，相关系数．若，则认为经验回归方程有价值．【答案】（1）认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联（2），该经验回归方程有价值．【解析】【分析】（1）补全列联表，根据公式求出，再通过独立性检验与临界值比较判断即可；（2）通过给出的经验回归方程公式求相关系数，再判断．【小问1详解】补全列联表如下：

年龄不超过40岁年龄超过40岁合计是微短剧消费者301545不是微短剧消费者7085155合计100100200假设“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”无关联，因为，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05．【小问2详解】由x的取值依次为1，2，3，4，5，可得，，因为经验回归方程为，所以，所以，所以，因为，所以该经验回归方程有价值．18.2024年4月25日—4月29日，“与辉同行”开启了一场深入中原的文化之旅，让河南文旅打开了流量密码．某景区趁此时机，举行五一游该景区网上购票抽奖活动，在网上购买该景区门票的游客，可通过扫景区提供的二维码进入抽奖活动页面，每张门票可从6个减免红包中随机抽取2个，6个红包的金额分别为5元、5元、10元、10元、30元、60元，已知该景区门票每张120元，全部实行网上购票．（1）记购买1张门票的游客通过抽奖获得的红包金额之和为X，求X的分布列与期望；（2）已知每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为，，，举行此抽奖活动后预计可使该景区五一期间客流量增加40%，假设每位购票游客都进行了抽奖，回答下列问题并说明理由：①举行抽奖活动后该景区在五一期间的门票收入是增加了，还是减少了？②举行抽奖活动后该景区在五一期间的总收入是增加了，还是减少了？【答案】（1）分布列见解析，40（2）①减少了；②增加了【解析】【分析】（1）问先求随机变量的分布列，再求期望；（2）问通过随机变量的期望求总收入，再判断总收入是否增加．【小问1详解】由题意得X的取值可以是10，15，20，35，40，65，70，90．，，，，，，，，所以X的分布列为X1015203540657090P【小问2详解】①假设不举行抽奖活动，该景区在五一期间客流量为n人，则门票收入为120n元，举行抽奖活动后该景区在五一期间门票收入为，所以举行抽奖活动后该景区在五一期间门票收入减少了．②每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为，，，则期望值为．不举行抽奖活动，该景区在五一期间总收入为，举行抽奖活动后该景区在五一期间总收入为，所以举行抽奖活动后该景区在五一期间总收入增加了19.从中选取个不同的数，按照任意顺序排列，组成数列，称数列为的子数列，当时，把的所有不同值按照从小到大顺序排成一列构成数列，称数列为的子二代数列．（1）若的子数列是首项为2，公比为2的等比数列，求的子二代数列的前8项和；（2）若的子数列是递增数列，且子二代数列共有项，求证：是等差数列；（3）若，求的子二代数列的项数的最大值．【答案】（1）86（2）证明见解析（3）4950．【解析】【分析】（1）通过子二代数列的概念求数列的前8项和；（2）通过子二代数列的概念和递增数列，以及子二代数列中共有项判断