-统计章末复习

高中数学精选资源3/3《第六章统计》章末复习知识网络建构答案=1\*GB3①抽查②分层随机抽样③频率分布直方图④频率折线图⑤平均数=6\*GB3⑥⑦频率⑧数字特征知识要点整合一、抽样方法的选取与应用从总体中抽取样本，有两种基本的抽样方法：简单随机抽样与分层随机抽样，其中简单随机抽样是最简单、最基本的抽样方法，在进行分层随机抽样时都要用到简单随机抽样.在进行抽样方法设计中，主要考虑三个方面：一是总体中的个体组成是不是无差别的；二是总体中个体数的多少；三是需要抽取的样本容量大小，根据这三个方面来选择合适的抽样方法，具体如下表：例1某城市有210家百货商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家为了掌握各商店的营业情况，计划抽取一个容量为21的样本，应采用怎样的抽样方法？并写出抽样过程.解析设计抽样方法时，最核心的问题就是要考虑如何使抽取的样本具有代表性，对于有明显层次差异的总体，利用分层随机抽样抽取.而分层随机抽样则充分考虑保持样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，且在各层抽样时，又可灵活地选用不同的抽样方法.答案由于大型、中型、小型商店在很多方面都有较大差异，因此采用分层随机抽样的方法比较恰当抽样过程：（1）确定抽样比为.（2）确定三种百货商店分别要抽取的数目：大型商店：；中型商店：；小型商店：.（3）采用简单随机抽样的方法在各层中分别抽取大型商店2家，中型商店4家，小型商店15家，这样便得到了所要抽取的样本.例2公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调査其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②则完成①②这两项调查宜采用的抽样方法依次是_______、______.解析由于甲、乙、丙、丁四个地区有明显差异，所以在完成①时，需用分层随机抽样法.在丙地区中有20个特大型销售点，没有显著差异，所以完成②宜采用简单随机抽样法答案随机抽样法简单随机抽样法二、频率分布直方图的应用1.频率分布直方图的特点如下：（1）每个小长方形的（2）所有小长方形的面积之和为1.（3）同一组数据若组距不同，得到直方图的形状也不相同.（4）组距的选择应力求“取整”，如果极差不利于分组（如不能被组数整除）可适当增大极差，如在左、右两端各增加适当范围（尽量使两端增加的量相同）.2.统计的基本思想即用样本估计总体，利用满足某个条件的数据在样本中所占的比例即可估计满足这个条件的所有个体在总体中所占的比例.例3对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计电子元件寿命在400h以上的在总体中所占的比例.解析（1）频率分布表列出每一段中的频数和频率；（2）根据画频率分布直方图的步骤画出频率分布直方图；（3）利用频率分布直方图估计电子元件寿命在400h以上的在总体中所占的比例.答案（1）样本频率分布表如下：（2）频率分布直方图如图所示.（3）估计电子元件寿命在400h以上的在总体中所占的比例为.例4某校在“五一”期间开展社会调查活动，统计某道路的机动车流量，对5月2日9时至14时的车流量进行统计，其频率分布直方图如图所示已知9时至10时的车流量为250，则11时至12时的车流量为（）A.600B.800C.1000D.1200解析由频率分布直方图知，5月2日9时至10时的车流量的，设5月2日9时至14时的车流量为n，由题意知，于是，所以11时至12时的车流量为.答案C三、条形图与折线图1.条形图即用直条表示的图形，也可称为柱形图其纵坐标可以是频数，也可以是频率，横轴可以是数字，也可以是其他表示类别的内容.2.直方图与条形图的区别：（1）条形图是用直条的长度表示各类别的频数（或频率），其宽度（表示类别）是固定的；直方图是用面积表示各组的频率，矩形的高度表示每一组的频率除以组距，宽度则表示各组的组距，因此其高度与宽度均有意义.（2）由于分组数据具有连续性，直方图的各矩形通常是连续排列，而条形图则是分开排列.3.在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，即为频率折线图.有时也用它来估计总体的分布情况随着样本容量的增大，所划分的区间数也可以随之增多，而每个区间的长度则会相应随之减小，相应的频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线.例5甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形图如图所示，则（）A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析由题意，可知甲的成绩为4，5，6，7，8，乙的成绩为5，5，5，6，9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A错误；甲、乙的成绩的中位数分别为6，5，B错误；甲、乙的成绩的方差分别为，C正确；甲、乙的成绩的极差均为4，D错误.答案C例6甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次，每次射靶成绩（单位：环）如图所示.（1）填写下表：（2）请从四个不同的角度对这次测试进行分析：①从平均数和方差结合分析偏离程度；=2\*GB3②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些；③从平均数和命中9环以上（包含9环）的次数相结合看谁的成绩好些；④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力.解析结合图表，根据定义计算平均数、中位数，利用数据分析谁成绩好差，结合图形分析甲、乙两人的潜力.答案（1）乙的射靶环数依次为2，4，6，8，7，7，8，9，9,10，所以；乙的射靶环数从小到大排列为2，4，6，7，7，8，8，9，所以中位数为7.故填写后的表格如下:（2）①甲、乙的平均数相同，均为7，但，说明甲均数的程度小，而乙偏离平均数的程度大.②甲、乙的平均数相同，而乙的中位数比甲大，说明乙的射靶成绩比甲好.③甲、乙的平均数相同，而乙命中9环以上（包含9环）的次数比甲多2次，可知乙的射靶成绩比甲好.④从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的成绩在提升，更有潜力.四、用样本的数字特征估计总体的数字特征样本的数字特征分为两大类：一类是反映样本数据集中趋势的特征数，例如平均数（也叫均值）、中位数和众数；另一类是反映样本数据波动大小的特征数，例如方差和标准差通常我们用样本的平均数和方差（标准差）来近似代替总体的平均数和方差（标准差），从而实现利用样本对总体进行估计.例7一次科技知识竞赛中，某学校组织的预赛中的两组学生成绩统计如表：已算得两个组的平均分都是80分，请根据你所学的统计知识，帮忙选择一个小组的学生去参加比赛，并说明理由.解析可以利用众数、方差、中位数、平均数等数字特征从多个角度进行分析选择.答案（1）从众数看，甲组成绩的众数是90分，乙组成绩的众数是70分，甲组成绩好些，选择甲组;（2）从方差看,，甲组成绩较乙组成绩好，选择乙组；（3）甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中，甲较好，选择甲组；（4）从成绩统计表来看，乙组成绩高分段的人数多，同时乙组得满分的人数比甲组多6人，乙组成绩较好，选择乙组.例8教育集团为了办好让人民满意的教育，每年年底都随机邀请8名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意度的民主测评（满意度最高分110分，最低分0分，分数越高说明人民满意度越高，分数越低说明人民满意度越低）.去年测评的数据如下：甲校：96，112，97，108，100，103，86，98；乙校：108，101，94，105，96，93，97，106.（1）分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均数、中位数；（2）分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的方差；（3）根据以上数据你认为甲、乙哪所学校人民满意度比较好？如果你要选择一所学校去学习，你选择哪所学校？解析（1）（2）利用公式计算测评数据的平均数，中位数、方差；（3）根据计算的平均数、中位数、方差进行比较分析.答案（1）甲学校人民满意度测评数据的平均数为，中位数为；乙学校人民满意度测评数据的平均数为，中位数为.（2）甲学校人民满意度测评数据的方差为；乙学校人民满意度测评数据的方差为.（3）由（1）（2）可知甲、乙两学校人民满意度测评数据的平均数相同、中位数相同，而乙学校人民满意度测评数据的方差小于甲学校的方差，故乙学校人民满意度比较好，选择去乙学校.五、百分位数1.百分位数是用于衡量数据的位置的量度，但它所衡量的不一定是中心位置.2.计算一组n个数据的p分位数的一般步骤如下：第一步，按照从小到大排列原始数据；第二步，计算；第三步，若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项数据；若i是整数，则p分位数为第i项与第项数据的平均数.例9某中学高一年级新生有712人，其中男生326人，女生386人，现在想了解男生的身高状况，从中抽取23个样本，观测数据如下（单位：cm）：173.0174.0166.0172.0170.0166.0165.0168.0164.0173.0172.0173.0175.0168.0170.0172.0176.0175.0168.0173.0167.0170.0175.0（1）请估计高一男生的分位数；（2）如果要减小估计误差，可以怎么做？解析（1）按照求百分位数的步骤分别求出百分位数；（2）要减小误差，需要扩大抽取的样本量.答案（1）因为，所以分位数为第6项数据168；因为，所以分位数为第12项数据172；因为，所以分位数为第18项数据173.（2）扩大抽取的样本量.核心素养梳理一、数据分析数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论数据分析是研究随机现象的重要数学技术，是大数据时代数学应用的主要方法，也是“互联网+”相关领域的主要数学方法，数据分析已经深入到科学、技术、工程和现代社会生活的各个方面本章几乎所有内容都涉及了数据分析这一核心素养，抽样方法、用样本估计总体分布、用样本的数字特征估计总体数字特征等内容都涉及了数据分析的核心素养.例1某校高一（1）（2）班各有49名学生，两班学生在一次数学测试（满分100分）中的成绩（单位：分）统计如表：（1）请你对下面的一段话给予简要分析：高一（1）班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测试中，全班的平均分为79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了.”（2）请你根据表中的数据分析两班的测试情况，并提出教学建议.解析（1）分析成绩是否在上游，不能只关注平均数，平均数只能说明平均水平，还要关注中位数等数字特征；（2）分个两班的成绩要从多个角度进行分析，比如：平均数、中位数、方差等.答案（1）由高一（1）班成绩的中位数是87分可知，85分排在第25名以后，从名次上讲并不能说85分在班里是上游.（2）高一（1）班成绩的中位数是87分，说明高于87分的人数将近一半，而平均分为79分，标准差又很大，说明低分者很多，两极分化严重，建议对学习差的学生给予帮助.高一（2）班成绩的中位数和平均数都是79分，标准差较小，说明学生成绩之间的差别较小，学习差的学生较少，但学习优秀的学生也很少，建议采取措施提高优秀学生的人数.例2为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校400名授课教师中抽取20名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，数据如下：7，9，13，13，15，16，17，21，22，24，25，28，28，30，31，34，37，41，41，42.据此可估计该校上学期400名教师中，使用多媒体进行教学次数在内的人数为（）A.100B.160C.200D.280解析抽取的20名教师中使用多媒体教学次数在内的有8人，所以频率为，因此估计全校400名教师使用多媒体教学次数在内的有（人）.答案B二、数学运算数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等数学运算是解决数学问题的基本手段数学运算是演绎推理，是计算机解决问题的基础数学运算主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路求得运算结果.本章中绘制频率分布直方图中的有关计算，样本的数字特征，比如：平均数、中位数、方差、标准差等的有关运算求解，都体现了数学运算的核心素养.例3从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛，为此需要对他们的射箭水平进行测试现这两名学生在相同条件下各射箭10次，命中的环数如表：（1）计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差；（2）比较两个人的成绩，然后决定选择哪名学生参加射箭比赛.解析（1）利用平均数、方差的公式进行计算；（2）根据第（1）小题计算的结果进行分析，平均数代表平均水平，方差代表稳定性.答案（1）根据题中所给数据，可得甲命中环数的平均数为，乙命中环数的平均数为，甲命中环数的标准差为，乙命中环数的标准差为.故甲命中环数的平均数为8，标准差为，乙命中环数的平均数为8，标准差为.（2），且，甲、乙的平均成绩相同且乙的成绩较为稳定，故选择乙参加射箭比赛.例4某市质监部门从市场中随机抽取100个不同生产厂家的某种产品检验质量，按质量（单位：g）分组，得到的频率分布表如下所示：（1）先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成下列频率分布直方图；（2）由于该产品要求质量高，决定在质量大的第3，4，5组中用分层随机抽样抽取6个产品再次检验，则第3，4，5组分组各抽取多少个产品进行第二次检验？解析（1）根据频率分布表计算出第2组的频数与第3组的频率.计算频率与组距的比值，画出频率分布直方图；（2）根据计算的平均数分层随机抽样，按比例进行抽取.答案（1）根据频率分布表，得第2组的频数为，故①处填35，第3组的频率为，故②填0.300.画出频率分布直方图如图：（2）因为第3，4，5组共60个产品，所以利用分层随机抽样在60个产品中抽取6个产品，每组分别抽取：第3组：（个），第4组：（个），第5组：（个），所以第3，4，5组分别抽取3个、2个、1个产品进行第二次检验.三、直观想象直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物形态与变化，利用图形理解和解决问题的过程.直观想象是发现数学结论和解决数学问题的重要素养，表现在能利用图形探索和解决数学问题，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.直观想象是发现和提出数学命题、分析和理解数学命题、探索和形成论证思路的重要手段，是构建抽象结构和进行逻辑推理的思维基础，是培养创新思维的基本要素.直观想象是数学核心素养之一，体现了数形结合的重要思想.本章的用样本估计总体分布中，用条形图、频率分布直方图、折线图等估计总体分布都体现了直观想象的核心素养.例5根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在（含80）以上时，属醉酒驾车据《法制晚报》报道，2019年1月1日至1月7日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共38800人，如图是对这38800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为______.解析根据频率分布直方图计算“血液酒精浓度在（含80）以上”所占的频率为，所以属于醉酒驾车的人数约为.答案5820例6有关部门从甲、乙两个城市所有的自动售货机中分别随机抽取了16台，记录上下午8：00~11：00之间各自的销售情况（单位：元）：甲：18，8，10，43，5，30，10，22，6，27，25，58，14，18，30，41；乙：22，31，32，42，20，27，48，23，38，43，12，34，18，10，34，23.试用一种合适的方式分别表示上面的数据，并简要说明其优点.解析对这两组数据有很多角度可以分析，这里以用条形图为例进行分析.答案条形图如图.可以看出，条形图能直观地反映数据分布的大致情况，并且能够清晰地表示出各个区间的具体数目.高考真题再现考点1抽样方法理解随机抽样的必要性和重要性是学习抽样方法的基础，而本章所学的两种抽样方法更是统计知识的基础，因而了解和应用这两种抽样方法是高考的热考点和常考点，常以选择题和填空题形式考查，有时也会结合概率知识在解答题中出现，体现了知识的综合性和应用意识在高考中分值一般为5分，属于中低档题.例1（2018·全国Ⅲ改编）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样和分层随机抽样，则最合适的抽样方法是________.解析由于客户量大，且各年龄段的评价有较大差异，最符合应用分层随机抽样的特征，故最合适的抽样方法是分层随机抽样.答案分层随机抽样例2（2017·江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200、400、300、100件，为检验产品的质量，现用分层随机抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_______件.解析应从丙种型号的产品中抽取（件）答案18例3（2015·福建）某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层随机抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为______.解析设应抽取的男生人数为x，则有答案25考点2统计图表及其简单应用在统计部分的学习中，我们经常会碰到一些相应的表格或图表，在总体分布统计内容中有不同的统计表或图的信息，如何根据统计表或图的信息来解决问题，或通过题目信息来求解统计表或图，是我们学习统计中的一个重点和难点问题用样本估计总体时用到的图表主要有：频率分布表频率分布直方图、频率分布折线图、条形图、扇形图等.常以选择题、填空题、解答题形式考查，内容方面常与其他统计知识和概率知识等一起考查，体现知识应用的综合性在高考中分值一般为12分左右，属于中档题.例4（2018·全国I改编）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：（1）在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；（2）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）解析（1）直方图的绘制并不复杂，关键是理解直方图的有关知识和准确计算各种频率；（2）由样本分别计算未使用节水龙头的日用水量的平均数和使用节水龙头的日用水量的平均数，然后得到日节水量的平均值的估计，最后计算出一年的节水量的估计.答案（1）如图所示.（2）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为.该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为估计使用节水龙头后，一年可节省水.例5（2019·全国Ⅲ）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如图所示的直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到的估计值为0.70.（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）解析（1）根据乙离子残留在体内的百分比不低于5.5的估计值为0.70，可以计算出a值，根据频率分布直方图的小矩形的面积和为1可以计算出b的值；（2）用频率分布直方图中每个小矩形的区间的中点值乘以相应的频率求和进行估计.答案（1）由已知，得，故.（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为乙离子残留百分比的