高中数学选修2-2课时作业6：1.1.1　变化率问题-1．1.2　导数的概念

人教版高中数学选修2-2PAGEPAGE1第一章导数及其应用§1.1变化率与导数1．1.1变化率问题1．1.2导数的概念一、选择题1．质点运动规律s＝t2＋3，则在时间[3,3＋Δt]中，相应的平均速度等于()A．6＋Δt B．6＋Δt＋eq\f(9,Δt)C．3＋Δt D．9＋Δt2．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则()A．f′(x)＝a B．f′(x0)＝aC．f′(x)＝b D．f′(x0)＝b3．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是()A．1 B．－1C．2 D．－24．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2s末的瞬时速度为()A．－4.8m/s B．－0.88m/sC．0.88m/s D．4.8m/s5．设函数f(x)可导，则eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋3Δx－f1,3Δx)等于()A．f′(1)B．3f′(1)C.eq\f(1,3)f′(1)D．f′(3)6．一个质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝eq\f(1,3)t3－3t2＋8t，那么速度为零的时刻是()A．1秒末 B．1秒末和2秒末C．4秒末 D．2秒末和4秒末二、填空题7．已知函数y＝eq\f(2,x)＋3，当x由2变到1.5时，函数的增量Δy＝________.8．已知函数f(x)＝eq\f(1,\r(x))，则f′(1)＝__________.9．如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是____________．10．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运动．如果它的加速度是a＝5×105m/s2，子弹从枪口射出所用的时间为1.6×10－3s，则子弹射出枪口时的瞬时速度为__________m/s.三、解答题11．求函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数．12.若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a的值．13．试比较正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝eq\f(π,2)附近的平均变化率哪一个大．

[答案]精析1．A[因为eq\x\to(v)＝eq\f(s3＋Δt－s3,Δt)＝eq\f(6Δt＋Δt2,Δt)＝6＋Δt.故选A.]2．B[由导数定义得f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(aΔx＋bΔx2,Δx)＝a.故选B.]3．B[eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f3－f1,3－1)＝eq\f(1－3,2)＝－1.]4．A[物体运动在1.2s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．]5．A[eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋3Δx－f1,3Δx)＝f′(1)．]6．D[据导数的定义，得s′＝t2－6t＋8，令s′＝0，即t2－6t＋8＝0.解得t＝2或t＝4，故速度为零的时刻为2秒末和4秒末．]7.eq\f(1,3)[解析]Δy＝f(1.5)－f(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1.5)＋3))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2)＋3))＝eq\f(4,3)－1＝eq\f(1,3).8．－eq\f(1,2)[解析]f′(1)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,\r(1＋Δx))－1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(－1,\r(1＋Δx)1＋\r(1＋Δx))＝－eq\f(1,2).9．[x3，x4][解析]由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为：eq\f(fx2－fx1,x2－x1)，eq\f(fx3－fx2,x3－x2)，eq\f(fx4－fx3,x4－x3)，结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]．10．800[解析]运动方程为s＝eq\f(1,2)at2.∵Δs＝eq\f(1,2)a(t0＋Δt)2－eq\f(1,2)ateq\o\al(2,0)＝at0Δt＋eq\f(1,2)a(Δt)2，∴eq\f(Δs,Δt)＝at0＋eq\f(1,2)aΔt，∴v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝at0.又∵a＝5×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，∴v＝at0＝8×102＝800(m/s)．11．解Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2Δx2＋16Δx,Δx)＝2Δx＋16.∴y′|x＝3＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2Δx＋16)＝16.12．解∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c＝a(Δx)2＋2aΔx.∴f′(1)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(aΔx2＋2aΔx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(aΔx＋2a)＝2a，即2a＝2，∴a＝1.13．解当自变量从0变到Δx时，函数的平均变化率为k1＝eq\f(sinΔx－sin0,Δx)＝eq\f(sinΔx,Δx).当自变量从eq\f(π,2)变到Δx＋eq\f(π,2)时，函数的平均变化率为k2＝eq\f(sin\f(π,2)＋Δx－sin\f(π,2),Δx)＝eq\f(cosΔx－1,Δx).由于是在x＝0和x＝eq\f(π,2)的附近的平均变化率，可知Δx较小，但Δx既可化为正，又可化为负．当Δx＞0时，k1＞0，k2＜0，此时有k1＞k2.当Δx＜0时，k1－k2＝eq\f(sinΔx,Δx)－eq\f(cosΔx－1,Δx)＝eq\f(sinΔx－cosΔx＋1,Δx)＝eq\f(\r(2)sinΔx－\f(π,4)＋1,Δx).∵Δx＜0，∴Δx－eq\f(π,4)＜－eq\f(π,4)，∴sin(Δx－eq\f(π