2021届人教a版平面向量单元测试(二)

平面向量

一、单选题

——1——

1.已知AA3C的外心。满足A0=—(A8+AC),贝(JcosA=()

3

1V3口6

AA.-Bn.----C.----D.----

2233

【答案】A

【解析】

试题分析:取BC的中点。，连接AD,0。则。方=。4+4方=’A月+,灭?+,

22

又A0=1（AB+AC）,可得0方=：4月+，由

ODBC=-（AC+AB）（AC-AB）=0,可得通=/又因向量而=；而，

.•.尸又是重心，二三角形是正三角形，.・.乙4=60°,:.«）54=走，故选A.

2

考点：1、向量的几何运算、平面向量的数量积公式；2、三角形的性质.

【方法点睛】本题主要考查向量的几何运算、平面向量的数量积公式以及三角形的性质，

属于中档题.向量有几何法和坐标法两种表示方法，向量的运算也分为几何运算和坐标

运算两种，因此向量问题的解答也有两种思路，即几何法和代数法：几何运算要掌握两

种法则（平行四边形法则和三角形法则），同时还要熟练掌握平面向量数量积公式；代

数运算要正确建立适当的坐标系，转化为解析几何问题进行解答.本题主要是运用几何

运算结合三角形性质解答问题的.

2.已知4,分均为单位向量，|°+6|=百，则（2“+坂）-（。-5）=（）

【答案】A

【解析】

【分析】

首先将|二+力|=V3等式左右两边同时平方求出ab＜再根据向量数量积的运算律展开

并化简(2a+办(£-坂)，代入相应值即可得解.

【详解】

,.•\a+b\=y/3,.,.|«+^|2=3.|G|+24石+忖=3,

又同=1,忖=1,r.a4=g

(2a+b),(a—h)—2tz-ci•h-b—2------1——.

22

故选：2

【点睛】

本题考查已知向量的模求数量积，数量积的运算律，属于基础题.

3.定义：如果一个向量列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量，

那么这个向量列做等差向量列，这个常向量叫做等差向量列的公差.已知向量列｛%｝是

以7=(1,3)为首项，公差2=(1,0)的等差向量列.若向量Z与非零向量

£=(X"，X"+J(〃wN*))垂直，:()

448004480448004480

A.—B.-------C.D.

729243729243

【答案】D

【解析】

【分析】

先根据等差数列通项公式得向量神，再根据向量垂直得递推关系，最后根据累乘法求

结果.

【详解】

由题意得=4+(n-V)d=(1,3)+(〃-1)(1,0)=(〃,3)，

L1

因为向量工与非零向量2=(七,(HGN*))垂直，

Xn

所以〃x“+3x“+|=0:.3=一1

七3

因此配=配以・.…±=(-》(-前4480

玉玉/芯33243

故选：D

【点睛】

本题考查等差数列通项公式、向量垂直坐标表示以及累乘法，考查综合分析求解能力,

属中档题.

4.已知向量£=(〃?—1,2),b=(m,-3),若则实数，〃等于()

3

A.一2或3B.2或-3C.3D.-

【答案】A

【解析】

分析□利用〉B=0,结合向量的数量积计算公式可得加(加一l)+2x-3=0□可得加

的值.

详解□由得〃?(〃2-1)+2X-3=0，

解得m=—2或3,故选A.

点睛口利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：口1)两向量平

行，利用玉%一々*=0解答；口2）两向量垂直，利用王马+M必=。解答•

5.正方形ABCD中，点E,尸分别是CD,8。的中点，那么丽=（）

1一1一1一1一

A.-AB+-ADB.——AB——AD

2222

1.„1-m1-；-■=1-,工

C.——AB+-ADD.-AB——AD

2222

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意点E，尸分别是OC,BC的中点，求出觉，CF，然后求出向量而即得.

【详解】

解：因为点E是CO的中点，所以抚=1而，

2

—.1—1—.

点得户是8C的中点，所以CF=；CB=-；">,

22

所以"=觉+函」通」也

22

故选：D.

【点睛】

本题考查向量加减混合运算及其几何意义，注意中点关系与向量的方向，考查基本知识

的应用。属于基础题。

6.在△A8C中，ZA=90SA%=（2—Z,2），AC=（2,3）>则攵的值是（）

A.5B.-5

【答案】A

【解析】

【分析】

由垂直关系可知数量积为零，由数量积的坐标运算可构造方程求得结果.

【详解】

..•ZA=90'，即ABJ_AC,.低.n=4—2左+6=0，解得：k=5-

故选：A.

【点睛】

本题考查根据向量的垂直关系求解参数值的问题，关键是明确两向量垂直，则数量积为

零.

7.点P是AABC所在平面内一点且而+斤=而，在AABC内任取一点，则此点取

自APBC内的概率是（）

1111

A.—B.—C.—D.一

2345

【答案】B

【解析】

【分析】

由丽+正=而计算出AP8C与AABC的面积比，利用几何概型的概率公式可求出

所求事件的概率.

【详解】

设。是中点，因为方+26=47，所以2万=/，

所以A、P、。三点共线且点P是线段AD的三等分点，

故三典=:，所以此点取自"BC内的概率是

3AABCJ3

故选：B.

【点睛】

本题考查几何概型概率的计算，解答关键就是确定点尸的位置，考查计算能力，属于中

等题.

8.已知向量五・0+23）=0,|a|=\b\=2,则向量2万的夹角为（）

【答案】C

【解析】

a•(a+26)=a.2+2d-b=\d\2+2ml瓦cos<a,b>=4+2x2x2xcos<a,b>=

0

,解得cos<a,B>=-[,那么<a,3>=|n,故选c.

9.设向量£=(〃n),b=(2,-1),且4_1人则〃?=()

11

A.—2B.----C.-D.2

22

【答案】c

【解析】

【分析】

根据向量垂直则数量积为。直接计算即可求解.

【详解】

•：aLbj

：.a-b=^m,1)-(2,-1)=2机-1=0,

解得m=—,

2

故选：c

【点睛】

本题主要考查了向量的数量积运算，向量垂直的性质，属于容易题.

10.如图所示，4ABe是顶角为120。的等腰三角形，且48=1」贝!1布•前=」

I

/120,

【答案】D

【解析】

•.•/4BC是顶角为120°的等腰三角形，且AB=1

:.BC=小

：.ABBC=1xV3xcos300=-

2

故选D

11.若向量，i=（2,0）石=（1/），则下列结论正确的是（）

rr..

A.£石=1B.a=b.C.D.a\\h

【答案】C

【解析】

本题考查向量的坐标运算.

解答：选项A、5^=（2,0）（1,1）=2.

选项B、同=2,忖=&

选项C、=-1)(1,1)=0,正确.

选项D、因为1x201x0所以两向量不平行.

12.□□□□□□□□□□ABCDncBC=2,ZBAD=45°,6口口口3。□□□口

BF±CDAEBF=()

A.2X/2B.2C.y/2D.1

【答案】D

【解析】

由题意，得忸目=|尸C|=JL设|AB|=a(a>0),以0C所在直线为x轴，FB所

在直线为>轴建立平面直角坐标系，

则A(-a,>/2),B(0,V2),C(V2,0),E(^~,—),F(0,0),

AE=吟+a,—与)DBF=(0,-0)，则荏.而=1.故选D.

【点睛】本题考查平面向量的线性运算和数量积运算.解决本题的技巧是合理利用

BbJLCZ)和等腰直角三角形建立平面直角坐标系，大大减少了平面向量的线性运算,

巧妙地避开了干扰信息.

二、填空题

13.已知在A4BC中，重心为P,若丽•*=—16,BC=10,贝!||而|=.

【答案】2

【解析】

试题分析：通•蔗=|旃，恁kosA=/?ccosA=—16,。=10,由余弦定理有

cr-b1+C1—2Z?ccosA

=100,〃+。2=68,

|AP|=--1-(AB+AC)=-|AB+AC|=-Vz?2+c2+2Z>ccosA=2.

考点：向量运算.

14.在AABC中，。是的中点，向量A月=£，向量/=B，则向量通=

.(用向量£,石表示)

【答案】；(£+B)

【解析】

【分析】

直接利用向量的加法的平行四边形法则，求出结果即可.

【详解】

因为。是AAfiC的边8C上的中点，向量A5=£,向量=

—1—•一1-

所以向量AD=—(A8+AC)=—(2+ZO，

22

故答案为：Q(4+B).

【点睛】

本题考查向量加法运算及其几何意义，难度容易.

15.已知平面向量五与3的夹角为学，且同=1,历|=夜，贝！1|2五一瓦=.

【答案】Vio

【解析】

【分析】

利用模长关系有|2苍-3/=(2G-B)2,按向量数量积的运算即可求解，然后开方，可

得出结论.

【详解】

\2d—b\2=(2a-3)2=4五2-4a-b+b2-

=4x1-4x1xV2x(-y)+2=10,

12a-b\=V10.

故答案为:“U.

【点睛】

本题考查向量的模长，考查向量的数量积，属于基础题.

16.已知向量M=(3,1),5=(-1,2),且3+/)//3-£),则实数加=.

【答案】一1;

【解析】

【分析】

由已知可得3+加方〃伍-5)，带入坐标即可求出实数m的值.

【详解】

V(«+mb)//(a-b),a+mb=(3-/n,l+2m),a-b=(4,-1)

/.(3-m)-(-l)=(l+2m)x4,解得〃z=-l.

故答案为：一1.

【点睛】

本题考查向量的平行，若向量讶=(不，乂),5=(9,%),万//5,则可得%%=%2弘，解

方程即可求解，掌握向量的平行、垂直的等价形式是解题的关键，属于基础题.

三、解答题

17.已知向量

d=(l+cosa,sine),b=(l-cos/?,sin/?),c=(1,0),«e(0,^),/?e(4,24)，£与乙

的夹角为4，5与0的夹角为4.

(1)当,时，求“一4的值；

(2)当4—2=(时，求sin^^2的值.

兀1

【答案】(1)-(2)--

62

【解析】

【分析】

由a«0㈤，可得”的范围•利用向量的夹角公式化简可得可端，同理可得

一f.0)直接由a=(*=弓求的值；

⑵利用用一口二?，即可得出sin金铲的值.

【详解】

a।TV

解：a£(0,»),・•.]£[0,万

・.・H=l+cosa,同=J(l+cosaf+sin2a=，2+2cosa，同=1，

八a-cl+costz

・•・COSa=HTT3=/二

同同j2+2cosa

...匹(乃,21)，.•争g4

h-c=1-cos/?，网=^(1-cos/?)2+sin2/?=,2_2cos',

・..cosaS-/l-cos£sin^=cos2,、

-W同j2-2cos£2

P71

:.0

25一5

(l)va=y,^=^.nn_5乃冗兀71

'.饱一”一飞-3-飞~6

a(P7i可冗化且为a—蟹0~不7i

（2）丫4-。2

222

.oc—B.n

/.sin-----=sin

2~62

【点睛】

本题主要考查了向量的夹角公式、数量积运算、倍角公式,考查了推理能力和计算能力,

属于中档题.

18.已知非零向量a力满足|&|1,且（&^）-（aDS）y□

⑴求区I

⑵当值4；时，求向量a与6的夹角。的值.

【答案】口1口也口2口。=45。

2

【解析】

【分析】

□D利用向量的数量积的运算可得同2-时=；,故可得忖.

□2□根据(1)的结果，利用数量积的定义可得两向量的夹角.

【详解】

(1)由(4一6)(々+5)=02-52=；.

即同2—问2=j_,因同=1,故忸卜也.

22

(2)cos^=r^f|=Er=2x—+6x—+10x—=—=2^,因ee[O,乃],所

|a\\b\454545452

以6=45°.

【点睛】

向量的数量积的运算，满足交换律和分配律，注意数量积的运算不满足结合律.另外,

数量积是向量中计算向量夹角的主要工具.

19.已知向量函=(1,7),OB=(5,1),炉=(2,1)点。为直线0P上一动点.

(□)求匹+朝；

(□)当研•西取最小值时，求丽的坐标.

【答案】⑴匹+西=10；(2)丽=(4,2).

【解析】

【分析】

(I)根据平面向量加法运算的坐标表示，可以求出砺+丽的坐标表示，再利用求模

公式求出I函+砺卜

(II)由向量浜丽丽的坐标表示，可以求出点A、B、P的坐标，这样可以求出直

线0P的方程,设出Q点坐标,求出如•丽的表达式,利用二次函数的性质求出QAQB

的最小值，最后求出而坐标.

【详解】

(I):OA=(1,7),OB=(5,1)OA+丽=(6,8):.\0A+0^=A/62+82=10;

(II)•/OA=(1,7),OB=(5,1),OP=(2,1)/.A(l,7),B(5,1)P(2,1),因此直线O尸的方

程为y=设Q(2y,y),QAQB^(2y-\,y-iy(2y-5,y-\)=5y2-2Qy+\2,

即

⑦•豆=5y2-20y+12=5(y-2)2—8当y=2时，丽•迪有最小值-8,此时而

的坐标为(4,2).

【点睛】

本题考查了平面向量加法运算的坐标表示、平面向量模的计算公式，以及平面向量数量

积的坐标表示，考查了平面向量的最小值问题.

20.平面上有四个点。、A、B、P,存在实数/,满足丽=(1—。砺+/•砺，求

证：A、B、P三点共线.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

由向量的线性运算可得而=/而，又而、丽有公共点A，即可得证.

【详解】

解：因为经=而+而=荷+（1T）砺+f•砺=（而+砺）=.通，AP//AB,

又而、而有公共点A，

故A、B、P三点共线.

【点睛】

本题考查了利用向量共线证明三点共线，重点考查了向量的线性运算，属基础题.

21.已知行不共线，从几何上说明当|2+万|=|£-加时，一定有£.石=0.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

设入方=a,AD=b＞则A（j=a+B,DB=a-b，由题意知146|=|8。|,左右两

边同时平方可求得ab=0-

【详解】

设丽=£，AD=b＞以而，通所在线段作平行四边形A8C。（如图），

则/=£+5，温JJ，则向量|£+引=|£一5|转化为|恁上|丽

ra、/,»2—2-•f-*2---»2-*2一-♦-2

因为AC-a+2a・b+b9BD-a-2a-b+b'

所以2a•B=—2a•Ba-b=0-

【点睛】

本题考查向量的数量积与模，属于基础题.

22.在平行四边形中，过点C的直线与线段。4、0B分别相交于点M、N,若

0M-xOA，ON=yOB；

(1)求y关于*的函数解析式；

(2)定义函数F(x)=-1(O<X<1),点列？(X,,F(X,.))(Z=1,2,•••,«,n>2)

在函数y=F(x)的图像上，且数列｛玉｝是以1为首项，0.5为公比的等比数列，。为

原点，令丽=西+场+…+砾，是否存在点。(1,a)，使得丽，而？若存在，

求出。点的坐标，若不存在，说明理由；

(3)设函数G(x)为R上的偶函数，当xe[0,l]时，G(x)=/(x),又函数G(x)的

图像关于直线尤=1对称，当方程G(x)=or+；在xe[2£2k+1)(AeN)上有两

个不同的实数解时，求实数。的取值范围；

【答案】(1)y==7：(2)存在，(3)--77---,0；

x+1V2J14(A+1))

【解析】

【分析】

(1)利用平行四边形对边平行且相等以及平行线分线段成比例可得％与y的关系；

(2)由题意求出F(x)解析式，写出向量而，利用向量丽・丽=0列方程求出”的

值；

(3)利用对称性和函数的奇偶性求出函数G(x)的解析式，根据方程G(x)=ac+，在

2

xe[2k,2k+2)上有两个不同的实数解时，转化为两个函数在同一坐标系下有两个交

点，从而求出实数。的取值范围.

【详解】

(1)利用平行四边形对边平行且相等以及平行线分线段成比例可得:

\0M\_\OM\_\ON\

\OA\~\CB\一|画'

又由两=x砺，ON=yOB；

Vx

=解得y=——,

l—y1+x

x

•••y关于x的函数解析式y=f(x)=——；

x+1

L,、1.1+X,1

(2)当xe(O,1]时，F(x)=---1=-------1=一,

于(x)xx

:邛玉,(),又七=0.5"T=(g)"T,J=2"T,

OP=(l+-+...+(1)n-1,]+2+