串讲05 第5章 函数概念与性质（考点串讲）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

苏教版(2019)必修第一册

数学

期中考点大串讲串讲

05第5章函数概念与性质考场练兵典例剖析010203目

录考点透视01考点透视考点1.函数的概念函数的定义一般地，设A，B是_______________，如果对于集合A中的____________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有________________和它对应，那么就称____________为从集合A到集合B的一个函数函数的记法____________________定义域x叫做_________，x的______________叫做函数的定义域函数值与_________相对应的y值值域函数值的集合___________叫做函数的值域，显然，值域是集合B的子集非空的实数集任意一个数x唯一确定的数y知识点(1)函数的概念f：A→By＝f(x)，x∈A自变量取值范围Ax的值{f(x)|x∈A}考点1.函数的概念(2)函数的三要素：定义域、对应关系、值域是函数的三要素，缺一不可．[点拨]

(1)集合A，B是非空实数集，值域C⊆B.(2)函数的定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性．(3)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定就是解析式．(4)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数．考点2.区间的概念(1)设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定：①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做__________，表示为__________；②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做__________，表示为__________；③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做______________，分别表示为______________．闭区间[a，b]开区间(a，b)半开半闭区间[a，b)，(a，b]考点2.区间的概念这里的实数a与b都叫做相应区间的_________．实数集R可以用区间表示为______________，“∞”读作“_________”，“－∞”读作“___________”，“＋∞”读作“___________”．满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合，用区间分别表示为___________，_____________，_____________，_____________．端点(－∞，＋∞)无穷大[a，＋∞)负无穷大正无穷大(a，＋∞)(－∞，b](－∞，b)考点2.区间的概念区间数轴表示____________________________________(2)区间的几何表示在用数轴表示区间时，用实心点表示________________的端点，用空心点表示__________________的端点．包括在区间内不包括在区间内[a，b](a，b)[a，b)(a，b]考点2.区间的概念区间数轴表示____________________________________________________[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，b](3)含“∞”的区间的几何表示(－∞，b)考点3.同一个函数的判定、常见函数的值域

如果两个函数的___________相同，并且____________完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数．

(1)一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为______，值域是______．(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是______，当a>0时，值域为__________________，当a<0时，值域为____________________．定义域对应关系RRR考点4.函数的表示法(1)解析法：________________________________________．(2)列表法：________________________________________．(3)图象法：________________________________________．[想一想]任何一个函数都可以用解析法或列表法表示吗？用解析式表示两个变量之间的对应关系列出表格来表示两个变量之间的对应关系用图象表示两个变量之间的对应关系提示提示：不是．考点5.描点法作函数图象的三个步骤(1)列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，再计算出与这些自变量x相对应的函数值f(x)，并用表格的形式表示出来．(2)描点：把第(1)步表格中的点(x，f(x))一一在平面直角坐标系中描出来．(3)连线：用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大(或由大到小)的顺序连接起来．[提醒]

函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．考点6.函数的单调性及其符号表达(1)函数单调性的概念____________________________________________叫做函数的单调性．(2)函数单调性的符号表达一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果____________，当x1<x2时，都有___________，那么就称函数f(x)在区间I上单调_______．如果____________，当x1<x2时，都有___________，那么就称函数f(x)在区间I上单调_______．函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质∀x1，x2∈If(x1)<f(x2)递增∀x1，x2∈If(x1)>f(x2)递减考点7.增函数、减函数当函数f(x)在它的_________上____________时，我们就称它是增函数．当函数f(x)在它的_________上____________时，我们就称它是减函数．[想一想]若函数f(x)在区间I⊆D上单调递增，则此函数一定是增函数吗？定义域单调递增定义域提示提示：不一定．单调递减考点8.单调区间

如果函数y＝f(x)在区间I上___________或__________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)_________，________叫做y＝f(x)的单调区间．[想一想]若函数f(x)在区间[1，3]上单调递减，则函数f(x)的单调递减区间一定是[1，3]吗？提示提示：不一定．单调递增单调递减单调性区间I考点9.函数的最大值与最小值最大值最小值条件一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足：∀x∈D，都有f(x)____Mf(x)_____M∃x0∈D，使得___________结论称M是函数y＝f(x)的最大值称M是函数y＝f(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的________f(x)图象上最低点的_______≤≥f(x0)＝M

纵坐标纵坐标考点10.偶函数、奇函数的定义

(1)偶函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果_________________________________，那么函数f(x)就叫做偶函数．(2)奇函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果__________________________________，那么函数f(x)就叫做奇函数．[点拨]

奇偶性是函数的“整体”性质，只有对函数定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说函数为奇函数(或偶函数)．∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)考点11.偶函数、奇函数的图象特征

(1)偶函数的图象特征如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以________________________；反之，____________________________________________________．(2)奇函数的图象特征如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以_______________________________；反之，__________________________________________________________________．[想一想]是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？y轴为对称轴的轴对称图形如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数坐标原点为对称中心的中心对称图形提示提示：存在．既奇又偶的函数有且只有一类：f(x)＝0，x∈D，且D是关于坐标原点对称的集合．如果一个函数的图象关于坐标原点成中心对称图形，则这个函数是奇函数考点12.函数奇偶性与单调性的关系知识点1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上__________，即在对称区间上单调性______．2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上_________，即在对称区间上单调性_______．3．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值为_____．4．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为N，则f(x)在[－b，－a]上有最大值为_____．以上a，b符号相同．单调递增相同单调递减相反－MN02典例透析考点1.函数关系的判断答案解析【例题1】图中①②③④四个图形各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数的有________．解析：由图形判断对应关系是否为函数的方法，可知当－1≤a≤1时，只有图形②③与直线x＝a仅有一个交点，故可以表示y是x的函数的有②③.②③考点2.求函数的定义域考点2.求函数的定义域解考点3.求函数值域考点3.求函数值域解考点4.区间的应用【例题4】将下列集合用区间以及数轴表示出来：(1){x|x<2}；(2){x|－1<x<0，或1≤x≤5}；(3){x|2≤x≤8，且x≠5}；(4){x|3<x<5}．解(1){x|x<2}可以用区间表示为(－∞，2)，用数轴表示如图．解考点4.区间的应用(2){x|－1<x<0，或1≤x≤5}可以用区间表示为(－1，0)∪[1，5]，用数轴表示如图．(3){x|2≤x≤8，且x≠5}用区间表示为[2，5)∪(5，8]，用数轴表示如图．(4){x|3<x<5}用区间表示为(3，5)，用数轴表示如图．解考点5.求函数的值域解考点5.求函数的值域解考点6.同一个函数的判定答案解析考点7.求抽象函数的定义域答案解析考点8.函数表示法解【例题8】某商场新进了10台空调，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y(单位：元)之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．解：①列表法：x(台)12345y(元)3000600090001200015000x(台)678910y(元)1800021000240002700030000考点8.函数表示法解②图象法：如图所示．③解析法：y＝3000x，x∈{1，2，3，…，10}．考点9.函数图象的作法及应用考点9.函数图象的作法及应用解：(1)当x＝0时，y＝1；当x＝2时，y＝5.所画图象如图①所示．(2)因为0≤x<5，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－4x介于0≤x<5之间的一部分，如图②所示．(3)函数图象如图③所示．解考点10.函数解析式的求法解考点10.函数解析式的求法解考点11.证明或判断函数的单调性证明考点12.求函数的单调区间解考点13.函数单调性的应用【例题13】已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝2，试比较f(1)，f(2)，f(4)的大小．解：由题意知函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝2，故f(1)＝f(3)，由题意知f(x)在[2，＋∞)上单调递增，所以f(2)<f(3)<f(4)，即f(2)<f(1)<f(4)．解考点14.函数单调性的应用【例题14】已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，求x的取值范围．解考点15.利用图象求函数最值【例题15】已知函数f(x)＝2|x－1|－3|x|.(1)作出函数f(x)的图象；(2)根据函数的图象求其最值．解考点16.利用单调性求函数最值解考点16.利用单调性求函数最值解考点17.定轴定区间求函数最值解【例题17】已知函数f(x)＝x2－2x－3，①若x∈[0，2]，求函数f(x)的最值；②若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值．解：①∵函数f(x)＝x2－2x－3图象的开口向上，对称轴为直线x＝1，∴f(x)在[0，1]上单调递减，在(1，2]上单调递增，且f(0)＝f(2)．∴f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3，f(x)min＝f(1)＝－4.考点17.定轴定区间求函数最值解考点17.定轴定区间求函数最值解考点18.函数最值的实际应用考点18.函数最值的实际应用解考点18.函数最值的实际应用解考点19.函数奇偶性的判断解解：(1)f(x)的定义域是R，关于原点对称，又f(－x)＝|－x－1|＋|－x＋1|＝|x＋1|＋|x－1|＝f(x)，故f(x)是偶函数．考点19.函数奇偶性的判断解考点20.奇、偶函数的图象及应用答案解析【例题20】已知奇函数y＝f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为__________________．解析：因为函数y＝f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象，从而得到y＝f(x)在[－5，5]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5)．(－2，0)∪(2，5)考点21.利用函数的奇偶性求值答案解析【例题21】已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x＋1，则f(1)＋g(1)的值为________．解析：由题意知f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)＋1，即f(x)＋g(x)＝－x3－x＋1，所以f(1)＋g(1)＝－1－1＋1＝－1.－1考点22.利用奇偶性求函数解析式答案解析【例题22】已知函数f(x)为R上的偶函数，且当x<0时，f(x)＝x(x－1)，则当x>0时，f(x)＝________．x(x＋1)解析：当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)(－x－1)＝x(x＋1)．因为函数f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)．所以当x>0时，f(x)＝x(x＋1)．考点23.利用奇偶性与单调性比较大小答案解析【例题23】设偶函数f(x)的定义域为R，若在区间[0，＋∞)上函数f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系为__________________．解析：由偶函数的单调性知，若函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减．故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则函数值越小．∵|－2|<|－3|<π，∴f(π)>f(－3)>f(－2)．f(π)>f(－3)>f(－2)考点24.利用奇偶性与单调性解不等式解：∵f(x)为奇函数，f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.∵－1≤f(x－2)≤1，∴f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．∵f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3，即x的取值范围为[1，3]．答案解析【例题24】已知奇函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且f(1)＝－1，求满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围．03考场练兵1．(2024·吉林长春十一高中高一上期中)如果函数y＝x2－2x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为(

)A．{－1，0，3} B．{0，1，2，3}C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}解析：当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝1－2＝－1；当x＝2时，y＝4－2×2＝0；当x＝3时，y＝9－2×3＝3，所以函数y＝x2－2x的值域为{－1，0，3}．答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析解析6．若函数f(x)＝2x2－ax＋2在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(

)A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．[4，＋∞) D．(－∞，4]答案解析7．(2024·湖北黄冈高一上期末)若函数f(x)＝ax2＋(2b－a)x＋b－a是定义在[2－2a，a]上的偶函数，则a－b＝(

)A．1 B．2C．3 D．4答案解析8．设f(x)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x3＋1，则当x∈(－∞，0)时，f(x)＝(

)A．x3＋1 B．x3－1C．－x3＋1