空间向量与立体几何（知识梳理）-2021-2022学年高二数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）

专题01空间向量与立体几何(知识梳理)

知识网络

重难点突破

知识点一空间向量的概念、性质与运算

1、空间向量及其有关概念

概念语言描述

共线向量(平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合

共面向量平行于同一个平面的向量

共线向量定理对空间任意两个向量a,b(b#0),a〃b=存在2CR,使a=2b

若两个向量a,b不共线，则向量p与向量a,b共面=存在唯

共面向量定理

一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb

空间向量基本定定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,

理及推论存在唯一的有序实数组｛尤，y,z｝使得p=xa+yb+zc.

推论：设。，A,B,C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个

有序实数x,y,z,使3^=*/+)，存+2-5不且*+丫+2=1

2.数量积及坐标运算

(1)两个空间向量的数量积：①a•b=|a||b|cos(a,b)；②a_Zb=a•b=0(a,b为非零向量);

③设a=(x,y,z),则|a『=a2,|a|=df+y2+z2.

(2)空间向量的坐标运算：

a=Qi，。2，〃3），b—（b\9bi9bi）

向量和a+b=（4]+/?i，42+62，03+%）

向量差a-b=(〃］一从，〃2—历，〃3—。3)

数量积a•b=〃/।+公历+a3b3

共线a〃b=m=Zbi,。2=劝2,。3=助3(2仁七b^O)

垂直aJ_b<=>6ti/?i+。2历+。3%=0

夹角公式cos〈a,b)y届+星州房+庆+庆

3.直线的方向向量与平面的法向量

(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线/平行或或共线，则

称此向量a为直线/的方向向量.

(2)平面的法向量：直线取直线/的方向向量a,则向量a叫做平面a的法向量.

4.空间位置关系的向量表示

位置关系向量表示

直线八，/2的方向向量分别ni//n20nl=也2(攵£R)

为ni，112/山2ni_Ln2<=>ni-n2—0

直线/的方向向量为n,平l//an_Lm=nm=O

面a的法向量为mlA.an//m=n=kra(keR)

a//pn//m=n=km(k£R)

平面a,£的法向量分别为n,m

a-L£n_Lm=nm=O

5.证明空间任意三点共线的方法

对空间三点P,A,B可通过证明下列结论成立来证明三点共线：

⑴京'=7'/(2WR);

(2)对空间任一点。，~OP=~OA^rAB(reR)；

(3)对空间任一点O,~OP^x~OA+y~OB(x+y=l).

6.证明空间四点共面的方法

对空间四点尸，M,A,B除空间向量基本定理外也可通过证明下列结论成立来证明四点共

面：

(1)~MP+VMB；

⑵对空间任一点O,~OP=~OM+x~MA+y丽；

(3)~PM//~AB(或〃丽或下百〃W).

例1.(1)、(2021•广东•佛山市南海区里水高级中学高二月考)己知空间向量

而=(3,1,3),日=(-1,4-1),且嬴不,则实数2=()

A.B.-3C.D.6

33

【答案】A

【分析】

由而//［，得到前=不，列出方程组,即可求解.

【详解】

由题意,空间向量而=(3,1,3),分=(—1,4一1)，

3=-/

因为正〃/可得而=不，即(3,1,3)=，(一1,4-1),可得解得2T.

\=At

故选：A.

(2).(2021・河南・南阳中学高二月考(理))如图，在空间四边形。48。中，OA=a9丽=凡

玩=入点N为3c的中点，点M在线段04上，且0M=2MA,则丽二()

O

1_11-

B.-a+—br+—c

322

—z-i,i一

D.——a-v—b+—c

322

【答案】D

【分析】

利用空间向量的线性运算即可求解.

【详解】

解：TN为8c的中点，点M在线段04上，且OM=2M4,且函=£,OB=b^OC=c^

,\MA=-OA=-a

33

AB=OB-OA=b-a

BN=-BC=-(0C-0B)=-(^-h)

222

,MN=MA+AB+BN=-a+b-a-^-—(c-b)=——a+—b+—c

32322

故选：D.

(3).(2020•北京•大峪中学高二期中)已知2=(1,2,-1),b=(x,y,2),且J/区，那么

x+y=.

【答案】-6

【分析】

由已知中2=(1,2,-1),h=(%,>■,2),且1〃石，根据向量平行(共线)的充要条件，我们

可得存在/IsK,使&=4,构造方程组求出4,X,y后，即可求出答案.

【详解】

解：a=(1,2,-1),b=(x,y,2),Xya//b>

1=Ax

则存在使&=即(1,2,—l)=〃x,y,2),.•.,2=/ly

-1=22

解得2=——，/.x--2,y=-4,.-.x+y=-6,

2

故答案为：-6.

(4).(2021•广东•深圳市南山外国语学校高级中学高二期中)下列说法正确的是()

A.任一空间向量与它的相反向量都不相等

B.将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆

C.模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量

D.不相等的两个空间向量的模可能相等

【答案】D

【分析】

根据空间向量的定义，从向量的大小和方向两个方面依次判断选项；

【详解】

对A,零向量的相反向量是本身，故A错；

对B,终点构成一个球，故B错；

对C,向量不能比较大小，故C错；

对D,相反向量是不相等向量，但它们的模长相等，故D正确；

故选：D

【变式训练1-1】、(2021•山东烟台•高二期中)已知向量Z=(2,T,3),石=(4〃,-2),若；〃力,

则4+〃=()

22

A.2B.-C.-2D.—

33

【答案】D

【分析】

根据向量平行得到（2,-1,3）=（加,小,-2。，解得答案.

【详解】

a//b>则£=属，即（2,-l,3）=f（Z〃,-2）=（"M，-2f）,

2

'At=23

22

故=解得j/J=-,故；1+〃=-§.

-2r=33

t=一二

2

故选：D.

【变式训练1-2】、（2021•天津河北•高二期中）如图所示，在平行六面体ABCO-4BICIOI

中，若《瓦=£,宿=及平=则下列向量中与根相等的向量是（）

A.a+b—cB.a+b+cC.—（a+b）—cD.—（a+b）+c

【答案】B

【分析】

根据图形可得函=硒，/=不，进而利用空间向量的加减法运算可得

UUUUUUUUULUUUU

AC=AR+A4+AA，得出结果.

【详解】

由题意得，D^=A^,QC=A^A

A^C=AD+℃=AiD]+D£+C1C=AA+AM+AA=@+5+c.

故选：B

【变式训练1-3】、（2021•浙江省象山县第二中学高二期中）已知向量:

了=（3,6,y），且7/。则x+k---------.

【答案】-5

【分析】

根据空间向量共线定理求解即可.

【详解】

解：因为a=（-l,x,l），1=（3,6,y），一目二//。

所以存在非务实数4使得^=4：,即匕=（3,6,y）=2a=（-4x2,2）

—A=3A=—3

所以<〃=6,解得x=-2

4=yy=-3

所以x+y=-5

故答案为：-5

【变式训练1-4】（2021•山东•胶州市教育体育局教学研究室高二期中）下列说法正确的是

（）

A.若£,B是两个空间向量，a>B则不一定共面

B.OA-OC=AC

C.若尸在线段48上，则丽=^而（04/41）

D.在空间直角坐标系。-小中，点4（1,2,3）关于坐标平面》0），的对称点为4（-1,-2,3）

【答案】C

【分析】

根据空间向量的概念、性质和运算法则，对各选项进行判断，即可得到结果

【详解】

根据向量的特点，若£,B是两个空间向量，则2,b一定共面，故选项A错误：

UULUllllUU,,,.,,,

04-OC=C4,故选项B错误；

若P在线段AB上，则|丽卜丽，根据共线定理可知存在实数使得丽=f而故选

项C正确；

在空间直角坐标系O-种中，点A（l,2,3）关于坐标平面xOy的对称点为A，（1,2,-3）,故选项

D错误；

故选：C.

知识点二求异面直线形成的角

1.异面直线所成的角

设。，匕分别是两异面直线小，2的方向向量，则

a与。的夹角”/1与，2所成的角0

范围（0,页）(0,d

aA1Al

求法8S%||b|COSL-M峋

例5.（1）、（2021•安徽•屯溪一中高二期中）在边长及对角线都为1的空间四边形4BC2）中,

E,尸分别是3C,AD的中点，则直线AE和CP夹角的余弦值为（）

A.--B.-C.-D.y

3342

【答案】B

【分析】

uiinuun1

利用空间向量的线性运算及数量积运算可求得=-二，再利用空间向量求夹角运算即

2

可得解.

【详解】

如图，连接对角线8C,AD,则可构成楼长均为1的正四面体A-BCO

uun1ziimuunuin1,ULTUUW

由E,F分别是BC,AO的中点，.•.AE=/(A8+AC)x,CF=-(CA+CD)X

uunuun1/iiunuinnx(utruimx1zuunuiruunuiruunuunuinnuim、

・•・A£CF=-(AB+^C)(C4+C£>)=-(ABCA4-ACC4+ABC£>+ACCD)

1(1uunuun1\1zuunuun、11uunuun

=-----l+ABCD——=--2+ABCZ)=——+-ABCD

4122)4V>24

umuuuuun/iiuuuun、umuuinULKuirai11uunuun1

又ABC£>=AC)=ABAD-ABAC=-一二0,AECF=——

222

/Uimmin2

则COSIAE,。/7

3

2

所以直线4E和CF夹角的余弦值为］.

故选：B

A

(2).(2021•河北•高二月考)在正方体ABCD-AiBi二D中,E,尸分别为棱BiCi,CG的中

点，则异面直线4E与3尸所成角的余弦值为.

【答案】|

【分析】

建立如图所示空间直角坐标系，利用数量积可求夹角的余弦值.

【详解】

如图，建立空间直角坐标系，

设正方体ABCD-A4Gq的棱长为2,则4(0,0,2),8(2,0,0),E(2,1*2),尸(2,2,1),

/AEBF22

则凝=(2,1,0),而=(0,2,1),故,cos(电，丽”南防=用不二不

2

故答案为：—

【变式训练2・1】、(2021•全国♦高二课时练习)如图，在三棱柱ABC-AgG中，侧棱垂直

于底面，ABYBC,AB=BC,AC=20，A4,=逝，点E为AG的中点，点尸在BC的

延长线上且酝=：反，则异面直线BE与GF所成角的余弦值为()

4

_V3

C.D.

22

【答案】D

【分析】

以B为坐标原点，BC,BA,B片所在直线分别为工轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利

根据H瓯冏=第

用向量法,即可求出答案.

【详解】

在三棱柱A3C-AB£中,因为侧棱垂直于底面，且AB_LBC,

所以以B为坐标原点，BC,BA,所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间

直角坐标系.

由=AC=26例=0,得AB=BC=2,

所以8(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,正)，C,(2,Ox/2),

由汴=，或，得方=9(2,0,0)=(1，0,。］,

4412/

所以异面直线BE与CF所成角的余弦值为

3

2.=1

cos悻中）卜

网印「口口32-

故选：D.

【变式训练2-2】、（2021•黑龙江•哈尔滨三中高三月考（理））已知四棱锥P-A8CD中，PAA.

底面ABC。，四边形ABC。是正方形，A4=A8.点M在棱PC上运动，当平面，平面

PCZ）时，异面直线A3与DM所成角的正弦值为.

AB

【答案】息

3

【分析】

以A为原点，为x，%z轴建立空间直角坐标系，求得平面PC。的法向量

_CIUUUUU(222、

n=(1,0,1),设PC=X/WN1),则M不,丁,2-彳，利用平面_1_平面PCQ,求得点

y/tA,A,)

再利用向量求得异面直线的夹角.

【详解】

设B4=A5=2,以A为直角坐标系原点，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则40,0,0),8(0,2,0),C(2,2,0),尸(0,0,2),0(2,0,0)

____miu

设平面PC。的法向量为3=(x,y,z),PC=(2,2,-2),PD=(2,0-2)

[n-PC=2x+2y-2z=0.-

则〈-,令x=l,贝1J〃=(1,O,1)

n-PD^2x-2z=0

uuuuuu1

由M在棱PC上运动，，PC=2PM(/IN1),即PM=》(2,2,-2)

/t

所以点用甘,2一目

uuun(222

设平面M8O的法向量为属=(a*,c),DM=\--2,-,2--,丽=(2,-2,0)

\AAA

fh-DM=\--2\a+-b+\2--\c=0ir

则J12J丸l，令a=1,则机=11

,'i-z

m•BD=2a-2b=0

o_J3

由平面MB。，平面PC。，知而7=0，BP1+——=0,解得；1=彳

1—A2

（442、uuui_242)

所以点亏...DM=~3J3y3)

又布=(0,2,0),设异面直线AB与DW所成角为。

/uunuum

cos0=cos(AB,DM

知识点三求直线与平面形成的角

1.求直线与平面所成的角

设直线/的方向向量为小平面a的法向量为〃，直线/与平面a所成的角为仇贝UsinO=|cos

n)|-|a||n|-

例3.(1)(2021•全国•高二课时练习)若向量£=(2,-3,6)是直线/的方向向量，向量

；?=(1,0,0)是平面a的法向量，则直线/与平面a所成的角为.

【答案】300

【分析】

直接利用向量的夹角公式求解即可

【详解】

设直线/与平面a所成的角为则由题意得

MH利瑞也二+(后廿

因为0。46490°,

所以6=30。，

所以直线/与平面a所成的角为30。，

故答案为：30。

(2).(2021•全国•高二课时练习)如图所示，在三棱柱A8C-A/C中，平面ABC,

AA,=AC=BC=4,ZACB=90°,E是CC；的中点.则直线A8与平面A8E所成角的正弦

值为.

A

【答案】正

3

【分析】

结合已知条件建立空间直角坐标系，求出平面4BE的法向量，然后利用线面夹角的向量公

式求解即可.

【详解】

由题意，建立如下图所示的空间直角坐标系c-孙Z,

则A（4,0,0）,8（0,4,0）,E（0,0,2）,A（4,0,4）,

所以（-4,4,0），E\=（4,0,2）＞诵=（0,4,-2），

设平面ABE的法向量为n=(x,y,z)，

E4,n=04x+2z=0

则

EBn=04y—2z=0

令x=l,则y=-i,z=-2,

从而［(1,-1,-2)为平面的一个法向量,

不妨设直线AB与平面ABE所成角为

\ABn\y13

从而si"

HH=T

故直线A8与平面ABE所成角的正弦值为日.

故答案为：立.

3

【变式训练3・1】、(2021•河北•高二期中)在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖嚅是指

四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角中，A。为斜边BC上的高，AB=6,

AC=R,现将△粒。沿翻折到VAST)的位置，使得四面体ABCO为鳖肺，若G为

7ARC的重心，则直线DG与平面AB'C所成角的正弦值为

B'

【答案】逅

3

【分析】

根据题意可//OF,ZADC,ZDB'C,为直角，求出四面体的棱长，然后在长方体

中作出四面体9C,如图，以。为坐标原点建立空间直角坐标系，

求出平面的法向量，利用向量法即可求出答案.

【详解】

在直角AABC中，为斜边8c上的高，AB=6,AC=>/6,

则3c=3,AD=0，BD=1,CD=2,即在四面体AB'CO中，

AD=-Ji，B'D=l,8=2，AB'=6AC=^，则B'O<C£).

要使四面体为鳖嚅，根据三角形中大边对大角，可知需要B'C，平面A£>8',

此时/AD®，ZADC.ZDffC,NAB'C为直角，满足四面体A3'C。为鳖膈，

22

则B'C=Jc。-aD=咫>■

如图，在长、宽、高分别为G，1,正的长方体中作出四面体AB'CO,

以D为坐标原点建立空间直角坐标系，

则£>(0,0,0),A(0,0,血)，C(l,6,0),夕(1,0,0),

G孝］,A*=(l,0,-血)，CB'=(0,-\/3,0),DG=三

一in-AB'=x-y/2z=0

设m=(x,y,z)为平面AB'C的一个法向量，贝！..,

/CB'=73ry=0

令z=l,则x=&,y=0,所以而=（点,0,1）.

乂cos〈而砺=占黑=普；=手，所以直线DG与平面Age所成角的正弦值为四.

网DG,3x133

故答案为：旦

3

【变式训练3-2】、（2021•全国•高二课时练习）如图，E,F分别是正方体48CQ-4BCQ中

棱C。上的两点，且AB=2,EF=1,则下列命题中不正确的为（）

A.异面直线8a与所所成的角的大小为45°

B.异面直线B闽与所所成的角的大小为30°

C.直线BQ与平面所成的角的大小为45。

D.直线4R与平面BgF所成的角的大小为60。

【答案】BCD

【分析】

建立空间直角坐标系，分别计算万百，EF，然后使用空间向量的夹角公式计算可知A、B

正误；同时计算平面4片8的法向量，最后cos（印;，刀，简单判断即可.

【详解】

以。为坐标原点，。4,OC,所在直线分别为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,

〃（0,0,2）,4（2,2,2）,A（2,0,2）,D（0,0,0）

易知函=（2,2,0）,£F=（0,1,0）,

丽•丽2五

所以cos（何，甫）=

忸同同「2夜xl一2

所以异面直线8a与EF所成的角的大小为45°,故A正确，B错误;

由题意可知平面B、EF即为平面A4CD,

设平面ABC。的法向量为n=（x,y,z）,则/隔=/函=0.

又病=（0,2,0）,函=（2,0,2）,

[2y=0-,、

所以c°八，令x=l，得〃=（l,0,T，

[2x+2z=0

所以8s（丽/”/正二；，

所以直线8巴与平面4月。力所成的角为30。，

即直线与0与平面鸟稗所成的角的大小为30。，故C,D错误.

故选：BCD.

知识点四求平面与平面形成的角

1.求二面角的大小

(1)如图①，AB,CO是二面角。一/一/？的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小。=

_〈屈，⑦.

(2)如图②③，m，"2分别是二面角a—/一/?的两个半平面a,夕的法向量，则二面角的大小

。满足|cos4=|cos<m，〃2〉I，二面角的平面角大小是向量与〃2的夹角(或其补角).

【特别提醒】

1.线面角6的正弦值等于直线的方向向量4与平面的法向量〃所成角的余弦值的绝对值，即

sin0=|cos(a,n)|,不要误记为cos)=|cos(a,n)|.

2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面a,夕的

法向量也，〃2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量〃”

“2的夹角是相等，还是互补.

例4.(1)、(2021•全国•高二课时练习)在正方体ABC。-ABCQ中，二面角A-2"-C的

余弦值为.

【答案】

【分析】

建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】

以。为坐标原点，DA,DC,。口所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如下图所示的空间

直角坐标系，

设正方体A3CO—AgCQ棱长为],则4（1,0,0）,5（1,1,0）,C（0,l,0）,D,（0,0,1）,

通=（0,1,0）,^*=（-1,0,1）,丽=（1,0,0）,CD；=（0,-1,1）.

设平面ABD1和平面的法向量分别为功=（内,％zj和稔=（冷%，Z2），

AB•4=x=0

则〈取石=1,得〃।=(1,0,1),

ADy•%=—玉+4=0

CB-n=x=0

22取了2=1，得〃2

CD}•n2=-y2+z2=0

/一-\n\n21

则叫〃],吁尸讦^二5，

网网2

显然二面角A-BR-C是钝二面角，所以其余弦值为

故答案为：

（2）.（2021•全国•高二课时练习）（多选题）在棱长为。的正方体ABCD-AB'CZ）'中，E,

尸分别是BC,的中点，则下列说法正确的是（）

A.四边形8ZD尸是菱形

B.直线与直线的距离是巫a

5

C.直线A£＞与平面B'ED尸所成角的正弦值是立

3

D.平面夕£8•与平面ABC。所成角的正弦值是叵

6

【答案】AD

【分析】

以卜反而，丽?｝为正交基底，建立空间直角坐标系A-^z,然后利用向量的坐标运算可得

ffE=FD，结合£史=0尸可判断A,然后利用向量对B、C、D中的问题逐一求解判断即可.

【详解】

如图，以｛•反A方,丽;｝为正交基底，建立空间直角坐标系A-孙z,

则A（0,0,0）,0（0,a,0）,B\a,G,a）,后［，去。］，

所以曜=（0,*-a）,而=（0,呈-aj,所以屣=而，所以夕E//FD,西=|而J,

所以四边形££力产是平行四边形，易知DE=O尸，因此四边形血F是菱形，A正确;

由上可知B'F与DE平行，则直线与直线DE的距离等于点F到直线DE的距离，

因为而=„,诙=°,一例，所以cos（丽码=苣赢=-"，

sin（而，诙）=半，

所以点尸到直线OE的距离d=|丽卜in（丽，诙）=粤。,B错误：

a八

—y-az=0

n-B'E=O2,

设平面B'EDF的法向量为，;=(x,y,z),由，____，得

n-DE=Oax--y=0

2

取y=2,则x=l,z=l,即3=(1,2,1)是平面9£ZW的一个法向量，

而二(040),。巩而»箭=品邛，

所以直线AO与平面夕厂所成角的正弦值是好，C错误；

3

一,、/---\mn1V6

平面A3CD的一个法向量是/n=(0,0,1),COS^,M)=™=-^=—,所以平面?团尸与

平面A6C7)所成角的余弦值为底，其正弦值为叵，D正确，

66

故选：AD.

【变式训练4-1】、(2021•浙江台州•高二期中)(多选题)在正方体AB8-ABCR中，点P

在线段BC上运动，则下列结论正确的有()

A.直线平面AC。

B.三棱锥尸-AQB体积为定值

7T71

C.异面直线AP与A。所成角的取值范围是

o2

D.直线GP与平面AC。所成角的正弦值的最大值为迈

3

【答案】ABD

【分析】

在正方体中，本题涉及线面垂直的证明，三棱锥体积的求解，异面直线所成角的范围及线面

角正弦值的范围.需逐个分析、计算、证明各选项.

【详解】

AB

对于选项A,连接BQ、AG,由正方体可得AG，耳口,旦5用_L平面AAGR,则_LAG,

乂BRcBBi=B,，且BR,陷u平面BDtBt，所以AG,平面皿百，故4G,8n.

同理可证AtDlBDX，又AGcA。=A，且AG，A。u平面\CXD，所以Bq1平面AtCtD,

故A正确；

对于选项B,在正方体中，易知BCIIA。,而8C(Z平面4Qu平面所以B0||

平面AO8,且因为点P在线段8。上运动，则产到平面的距离为定值，△AO8面积

为定值，所以三棱锥P-A38体积为定值，故B正确；

对于选项C,因为耳C〃4。，则异面直线AP与A。所成角等于直线8c与AP所成角，

易知，当点P与线段BC的端点重合时，直线玛C与AP所成角取得最小值为?，故C错误;

对于选项D,如图所示建立空间直角坐标系：设正方体棱长为1,则

3(1,1,0),。((),(),1),£((),1,1)，设尸(a,1,a),则04a41,c>=(a,0,a-l)

由B选项证明可知，平面AG。,所以80是平面AG。的一个法向量，设直线GP与平

面4G。所成角为a,则

-a+a-1

sina=|cosBDt,C,P|=

|西H羽yfixyja2+(a-l)2y/3x5/2/—2d+1

取得最大值且，故D正确

,当〃=2时，即P为8。中点时，sina=

A/3XA/2«2-2a+\3

故选：ABD.

【变式训练4-2】、(2021•全国•高二课时练习)如图所示，已知点尸为菱形ABC。外一点，

且Q4_L平面ABC。，PA=AT>=AC,点F为PC的中点，则二面角C-BF-。的正切值为

kD

B

【答案】空

3

【分析】

分析空间几何体的特征，建立合适的空间宜角坐标系，用空间向量求二面角的余弦值，再求

正切值.

【详解】

如图所示，连接8。，ACr\BD=O,连接OF,

以。为原点，OB,OC,。尸所在直线分别为x轴、），轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.

,0,0,小0』，C（O,g,O）,D、d0”・

所以B

22

结合图形可知，OC=fo,iok且历为平面BOF的法向量,

WO

由前=,0弓,

22

可求得平面8CF的一个法向量为万=（1,6,61

所以cos（爪OC）=,sinG，OC）=,

所以tan（元,OC）=二^3.

故答案为：巫

3

例5.（2021•云南省玉溪第一中学高二期中（文））在如图所示的几何体中，四边形A8C。为

矩形，平面WFJ■平面ABC。，EF//AB,NBA尸=90"，4）=4,AB=AF=2EF=2,点

P在线段上.

（1）若户是。尸的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；

（2）若用=；力，求平面AOF与平面APC的夹角的余弦值..

【答案】

（1）还

15

⑵近

3

【分析】

（1）由面面垂直可以得到线面垂直，进而得到A8,AD,4尸两两垂直，从而建立空间直角

坐标系，用空间向量求解异面直线的夹角余弦值；（2）设出P（O,y,z）,利用=求出

尸点坐标，进而求解出两个平面的法向量，利用法向量求解平面的与平面APC的夹角的

余弦值，注意两平面的夹角与二面角的区别.

（1）

因为NBAF=90。,所以AFVAB,因为平面平面A8CZ）,且平面ABEFC1平面ABCD=

AB,Aku平面48EF,所以A£J_平面A8CO,因为四边形48CZ）为矩形，所以以A为坐

标原点，AB,AD,AF分别为x,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系4一个已

所以8(2,0,0),E(l,0,2),尸(0,2,1),C(2,4,0),尸(0,0,2)

—"—‘■r-

所以而=(-2,0,2)BE=(-1,0,2),行=(-2,-2,l),所以cos＜丽，而＞=----=*,

\BE\-\CP\15

即异面直线BE与CP所成角的余弦值为拽；

15

(2)

因为A8_L平面ADF,所以平面ADF的法向量为成=(1,0,0),

设尸(0,y,z),FP=(0,y,z-2),因为£＞(0,4,0),所以丽=(0,4,-2),因为丽=g丽,

••.y,，z-2=-2,.・.y=z=:,「(4吟4在平面”C中，"=(0,若44)，AC=(2,4,0),

333333

--------44

马•4P=-y+-z=0

设平面APC的法向量%=(x,y,z),则，~33,令y=l,则z=-l,x=-2,

n2-AC=2x+4y=0

-------II々•2I2_76

得平面4PC的法向量为后=(-2,1,-1),