2022年人教版八年级上册数学第十一章三角形同步单元教案及教学反思

第十一章三角形

11.1与三角形有关的线段

11.1.1三角形的边

◊教学目标0

【知识与技能】

1.认识三角形的概念及其基本要素；

2.掌握三角形三条边之间的关系.

【过程与方法】

1.通过操作对比、观察、推理、交流等活动认识三角形及其概念和表示方法,运用分类思想

对三角形进行分类；

2.经历度量三角形边长的实践活动中，理解三角形的三边关系.

【情感、态度与价值观】

培养学生的符号语言表达能力,体会三角形在日常生活中的应用价值.

◊教学重难点◊

【教学重点】

三角形的三边关系.

【教学难点】

三角形三边关系的应用.

◊教学过程◊

一、情境导入

埃及金字塔、常见的交通标志和移动信号塔都是什么形状?在我们日常生活中还有哪些东

西是三角形的？

二'合作探究

探究点1三角形的概念

一典例1看图填空：

(1)图中共有个三角形,它们是;

(2)4BGE的三个顶点分别是，三条边分别是，三个角分别是;

(3)AA£：F中，顶点A所对的边是;

(4)ZACB是a的内角,NACB的对边是.

［解析］根据三角形的概念:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做

三角形.组成三角形的线段叫做三角形的边.相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点.相邻两边

组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角.

［答案］

(1)4;A/1BC,AEBG,AA£F,ACGF

(2)B,G,E;BE,EG,BG;ZB,ZBEG,ZBGE

(3)EF

(4)ACB;AB

探究点2三角形的分类

一典例2如图，过AB,C,D,E五个点中的任意三点画三角形.

(1)以A8为边画三角形，能画几个?写出各三角形的名称.

(2)分别指出(1)中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形.

---•♦4

AB

［解析］⑴如图所示，以AB为边的三角形能画3个,分别是

(2)AABD是等腰三角形,△EAB,4048是钝角三角形.

探究点3三角形的三边关系

s-典例3已知三角形的三条边互不相等，且有两边长分别为7和9,另一条边长为偶数.

(1)请写出一个符合上述条件的第三边长.

(2)符合上述条件的三角形有多少个？

［解析］(1)第三边长是4.(答案不唯一)

(2)设三角形的另一边长为相

V2<???<16,

：.m的值为4,6,8,10,12,14洪六个.

归纳总结

在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要

两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.

三'板书设计

三角形的边

’（三角形的边

三角形的相关概念|三角形的角

三角形（I三角形的顶点

三角形的分类

、三边关系

◊教学反思◊

由于初次接触三角形的相关元素，教师要注意引导学生发现三角形的三边关系，要留给学生

充足的时间和空间去思考讨论,培养学生解决问题的能力.

11.1.2三角形的高、中线与角平分线

◊教学目标0

【知识与技能】

1.了解三角形的高、中线、角平分线的概念；

2.会用工具准确画出三角形的高、中线、角平分线.

【过程与方法】

1.让学生经历画三角形的高、中线、角平分线过程，理解三角形的高、中线、角平分线的特

点以及符号语言和图形语言的表达方法；

2.培养学生观察、分析、作图、解决问题的能力.

【情感、态度与价值观】

培养学生敢于实践操作、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神.

◊教学重难点◊

【教学重点】

三角形的高线、中线、角平分线的概念及画法.

【教学难点】

探究三角形的三条高线、三条角平分线、三条中线都交于一点的过程.

◊教学过程◊

一、情境导入

有一块三角形的地,小明的爸爸想种花草，妈妈想种菜.于是想平分三角形的面积，一半种花

草，一半种菜，不知如何做，小明说，这还不好办，作一边的中线就行了，聪明的你，能帮他们家把这

块地分成面积相等的两部分吗?知道小明这样做的原因吗？

二'合作探究

探究点1三角形的高

典例1如图，在△ABC中,ADJLBC,垂足为。乃E_LAC,垂足为E,AD,BE相交于点£连接CF.

F

AB

(1)在△ABC中,AC边上的高为,BC边上的高为;

(2)在△A5O中/。边上的高为;

(3)在△8CE中,CE边上的高为;

(4)在△8b中,8。边上的高为;

(5)在△A8F中,AF边上的高为,BE边上的高为.

［解析］三角形的高即从三角形的一个顶点向它的对边所在直线引垂线，顶点和垂足间的线段.

［答案］(1)BE力。(2)8。(3)BE(4)FD(5)BD^4E

归纳总结

锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点;直角三角形有两条高与直角边重

合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点;钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高

在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点.

探究点2中线的特性

＞一典例2三角形一边上的中线把原三角形分成两个()

A.形状相同的三角形

B.面积相等的三角形

C.直角三角形

D.周长相等的三角形

［解析］根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分

成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等.

［答案］B

【技巧点拨】三角形的中线把三角形分为两个等底同高的三角形,这两个三角形的面积相等.

探究点3三角形的角平分线

典例3如图,CD,BE分别是△ABC的角平分线，它们相交于点/，则：

(1)ZACD=Z=ZACB,ZABC=ZABE.

⑵即是/的平分线,C/是N的平分线.

(3)若NA8C=6(r,NAC8=80。,则N8/C=度.

(4)你能画出△ABC的第三条角平分线吗？

1

［解析］(l)BCD;-;2.

(2)ABC-ACB.

(3)110°.

(4)连接A/并延长，即为/区4c的角平分线.

探究点4三角形的中线与周长

J—典例4如图力。是△ABC的中线，且A3=10cm/C=6cm,求△A3。与△ACD的周长

之差.

［解析］：为中线,二BD=CD,

：.^ABD与△AC。的周长之差=(A3+AO+8£>)-(AC+AO+CD)=A8—AC,

•.•AB=10,AC=6,

AABD与△ACO的周长之差=10-6=4cm.

三'板书设计

三角形的高、中线与角平分线

三角形的高、

(定义

三角形的高(画法

(符号表达

(定义

中线与角平分线(三角形的中线画法

(符号表达

'定义

三角形的角平分线(画法

、符号表达

◊教学反思◊

通过本课时的教学要让学生认识三角形的三条重要线段的概念、图形和它们的相关特性,

如三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，三角形的三条高线、三条中线、三条角平分

线都相交于一点的性质，应逐步加强学生几何语言的表达能力.

11.1.3三角形的稳定性

◊教学目标0

【知识与技能】

了解三角形的稳定性以及三角形的稳定性在实际生活中的应用.

【过程与方法】

培养动手操作、归纳概括能力，提高运用知识解题的能力，训练思维的灵活性.

【情感、态度与价值观】

感受生活中数学的美学价值，体会生活中处处有数学，体验学习数学的乐趣.

◊教学重难点◊

【教学重点】

三角形的稳定性.

【教学难点】

三角形稳定性的应用.

◊教学过程◊

一、情境导入

④公断人

三角形在我们日常生活中应用广泛，仔细观察上面一组图片，你知道有些物体的形状做成三

角形的原因吗?三角形形状的物体有什么作用？

二'合作探究

探究点1三角形的稳定性

一典例1如图，一扇窗户打开后,用窗钩A8可将其固定，这里所运用的几何原理是（）

A.垂线段最短

B.两点之间线段最短

C.两点确定一条直线

D.三角形的稳定性

［解析］观察图可发现图中窗钩构造了一个三角形A08,根据三角形稳定性，可得答案.

［答案］D

变式训练如图所示是一个起重机的示意图，在起重架中间增加了很多斜条，它所运用的几何原

理是()

A.三角形两边之和大于第三边

B.三角形具有稳定性

C.三角形两边之差小于第三边

D.直角三角形

［答案］B

探究点2四边形的不稳定性的应用

一典例2(1)工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶的钢架，输电线的支架等,这里运

用的三角形的性质是.

(2)下列图形具有稳定性的有个.

①正方形;②长方形;③直角三角形;④平行四边形.

(3)已知四边形的四边长分别为2,3,4,5,这个四边形的四个内角的大小能否确定？

(4)要使五边形木架(用5根木条钉成)不变形，工人准备再钉上两根木条，如图的两种钉法中正确

的是.

方法1方法2

(5)要使四边形木架(用4根木条钉成)不变形，至少需要加1根木条固定，要使五边形木架不变形,

至少需要加2根木条固定，要使六边形木架不变形，至少需要加3根木条固定,……，如果要使一个

n边形木架不变形，至少需要加根木条固定.

［解析］(1)三角形的稳定性.

⑵1.

(3)不能确定.

(4)方法1.

(5)根据三角形具有稳定性，可以知道需要的木条数等于过多边形的一个顶点的对角线的条数.

过“边形的一个顶点可以作（〃-3）条对角线,把多边形分成（〃一2）个三角形，所以，要使一个〃边形

木架不变形，至少需要伽一3）根木条固定.

【技巧点拨】这里是利用三角形的稳定性以及多边形的对角线解决问题,考虑到利用对角线把

多边形分成三角形是解题的关键.

探究点3克服四边形的不稳定性

＞一典例3

如图，工人师傅做了一个长方形窗框分别是四条边上的中点,为了使它稳固，需要

在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（）

AHB

EG

D

A□.A,C两点之间

B.E,G两点之间

C.3,F两点之间

D.G,"两点之间

［解析］用木条固定长方形窗框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释.

［答案］B

【方法点拨】三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使

一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得.

三'板书设计

三角形的稳定性

三角形的

'（自行车框架

三角形的稳定性（学校篮球架

（起重机等

稳定性1（应用:放缩尺、活动

四边形的,门、晾衣架等

不稳定性）克服:把四边形转化

、【成三角形

◊教学反思◊

通过对生活中三角形稳定性的探索，吸引学生的注意力，调动学生的积极性，体会数学的应

用价值.

11.2与三角形有关的角

11.2.1三角形的内角

第1课时三角形的内角和

◊教学目标^

【知识与技能】

应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题.

【过程与方法】

通过小组学习，经历得出三角形内角和等于180。的过程，进一步提高学生利用所学知识解决

问题的能力.

【情感、态度与价值观】

经历猜想、归纳、证明等过程，学会研究问题的方法.

◊教学重难点◊

【教学重点】

三角形内角和定理.

【教学难点】

三角形内角和定理的推理过程.

◊教学过程◊

一、情境导入

如图，小学的时候我们通过度量或剪拼得到:NA+NB+NACB=180。.

现在你能用我们学习的方法给出证明吗？

二、合作探究

探究点1三角形内角和定理

;一典例1如图，在△ABC中,8。为△ABC的角平分线，如果NA=47o,NAO3=116。,求N

ABC和NC的度数.

A

BC

［解析］VZA=47°,ZADB=116°,

ZABD=180°-47°~116°=17°.

,：BD为△ABC的角平分线，

ZABC=2ZABD=34°,

：.ZC=180°-47°-34°=99°.

探究点2三角形内角和定理的应用

---典例2如图公48。中,/8=65。,/84。=40。,/4£：£>=100。,/。。五=45。,求/。。的

度数

［解析］在△A3。中，

VZB=65°,ZBAD=40°,

，NBDA=180°-(ZB+ZBAD)=180°-(65°+40°)=75°.

'：ZCDE=45°,

：.ZADE=180°-(ZBDA+ZCDE)=180°-(75°+45°)=60°.

在△AOE中,；ZAED=100°,

ZCAD=180°-AADE-NAED=180°-60。-100°=20°.

变式训练完成下面的推理过程：

如图，在三角形ABC中，已知Z2+Z3=180°,Z1=NA,试说明NCFO=ZB.

解:•.•/2+/。£77=180。（邻补角定义）,/2+/3=180。（已知）,

二（同角的补角相等）.

：.AC//EF().

：.ZCDF=(两直线平行，内错角相等).

=已知)，

：.ZCDF=NA(等量代换).

/.DF//AB().

，ZCFD=ZB().

［答案］N3;内错角相等,两直线平行;N1;同位角相等,两直线平行;两直线平行,同位角

相等

三'板书设计

三角形的内角和

'三角形内角和的证明

三角形的内角和

、三角形内角和的应用

◊教学反思◊

本节课主要是通过小学的探究形式，引导学生寻找做辅助线，对三角形的内角和等于180。进

行严谨的证明，慢慢培养学生对证明的理解,逐步认识几何证明的必要性.在解决问题的过程中,

关注学生在推理中语言使用的准确性,引导学生用规范的格式进行书写.

第2课时直角三角形的两个锐角互余

◊教学目标0

【知识与技能】

认识直角三角形，探索图形性质.

【过程与方法】

1.通过小组实践探索找到直角三角形的性质.

2.用以学为主的教学模式中的启发式教学策略与方法，让学生养成自主探索、合作交流的学

习方式.

【情感'态度与价值观】

经历猜想、归纳、证明等过程,学会研究问题的方法.让学生在已有知识的基础上通过观察

来总结理论知识.

◊教学重难点◊

【教学重点】

直角三角形的两个锐角互余.

【教学难点】

直角三角形的两个锐角互余的探索过程.

◊教学过程◊

一、情境导入

如图，在△ABC中,NC=90。,你能求出的度数吗?为什么?你能求出NA+N8的度

数吗?利用上面的结果,你能得出什么结论？

NA+N8=90。,现在你能用我们学习的方法给出证明吗？

二'合作探究

探究点直角三角形的两锐角互余

一典例如图,8。平分为垂足,/C=55。,则NABC的度数是（）

A

D

---------------------"C

A.35°B.55°C.60°D.70°

［解析］根据直角三角形两锐角互余求出NCB。,再根据角平分线的定义解答.

,：CD±BD,ZC=55°,

：.ZCB£>=90°-55°=35°,

8。平分NABC,

二ZABC=2ZCBD=2X35。=70°.

［答案］D

三'板书设计

直角三角形的两个锐角互余

直角三角形的两锐角互余

◊教学反思◊

通过引导学生理解直角三角形的两个锐角互余，激发学生参与的主动性.

11.2.2三角形的外角

◊教学目标0

【知识与技能】

了解三角形的外角的两条性质，能利用三角形的外角性质解决问题.

【过程与方法】

经历观察、探索、交流等过程,增强表达能力和推理能力.

【情感'态度与价值观】

通过观察和动手操作，体会探索过程，学会推理的数学思想方法，培养主动探索、勇于发现,

敢于实践及合作交流的习惯.

◊教学重难点◊

【教学重点】

三角形的外角的性质.

【教学难点】

探究三角形外角的性质，进行相关计算.

◊教学过程◊

一、情境导入

两只野狼在如图的A处发现有一只野牛离群独自在。处觅食，野狼打算用迂回的方式，一只

先从A前进到B处,然后再折回在C处截住野牛返回牛群的去路D处，另一只则直接从A处扑

向野牛.已知N84C=4()o,NABC=70。,问野狼从B处要转多少度才能直达。处？

二'合作探究

探究点1三角形的外角

--典例1如图,CE是△ABC的外角NACO的平分线，若/8=25。,乙4。£：=60。,则NA=

AE

A.105°

B.95°

C.85°

D.25°

［解析］先根据角平分线的性质求出NACO的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论.•••CE

是△ABC的外角/ACO的平分线,NACE=60。,NACO=2NACE=120。.：N8=25。,，NA=

120°-25°=95°.

［答案］B

变式训练一副三角板有两个三角形，如图叠放在一起，则Na的度数是（）

A.1200B.135°C.1500D.1650

「答案］D

探究点2三角形外角的性质的应用

一典例2

如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点,于点F,交AC于点E,ZA=30°,ZZ）=40°,

求NAC。的度数.

［解析］'：DF±AB,ZD=40°,

：.ZDFB=90°,

.,.ZB=90o-ZD=90o-40o=50°.

,/ZACD是△ABC的外角,NA=30。,

，ZACD=ZB+NA=50°+30°=80°.

【技巧点拨】解决几何问题的关键是认准图形，找出图中三角形的外角，利用“三角形的一个外角

等于和它不相邻的两个内角的和”的性质和三角形内角和定理解决.

变式训练如图，若/4=27。,/3=45。,/。=38。,则/。尸£等于（）

A.1100

B.1150

C.1200

D.1250

［答案］A

三'板书设计

三角形的外角

定义

三角形的外角

三角形的外角图形与性质

三角形外角的应用

◊教学反思◊

本节课的教学围绕三角形的外角识别、性质及应用展开教学,在讲解外角和内角关系时层

层递进，使重点得到突出;及时根据学生学习的情况进行点评和分析;对于易错问题及时讲解，此

外注意指导学生总结解题思路和方法,让学生对所学知识的掌握更到位.

11.3多边形及其内角和

11.3.1多边形

◊教学目标0

【知识与技能】

了解多边形的有关概念,理解正多边形和有关概念.

【过程与方法】

经历动手、作图等过程，进一步发展空间能力.

【情感'态度与价值观】

经历探索、归纳等过程，学会研究问题的方法.

◊教学重难点◊

【教学重点】

了解多边形、内角、外角、对角线等数学概念以及凸多边形和正多边形的概念.

【教学难点】

多边形定义的准确理解.

◊教学过程◊

一、情境导入

▲▲

磔

“2%

▼▼

请同学们回忆一下三角形的概念,并尝试说明多边形的概念.

二、合作探究

探究点1多边形的概念

\一典例1如图所示的图形中，属于多边形的有（）

八U目

A.3个B.4个C.5个D.6个

［解析］根据多边形的定义:平面内不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的图形叫

做多边形.显然只有第一个、第二个、第五个是多边形.

［答案］A

变式训练如图，下列图形不是凸多边形的是（

［答案］C

探究点2正多边形的概念

一典例2我们知道各边都相等，各角都相等的多边形是正多边形，小明却说各边都相等的

多边形就是正多边形，各角都相等的多边形也是正多边形，他的说法对吗?如果不对，你能举反例

（画出相应图形）说明吗？

［解析］他的说法错误.

菱形各边相等，但不是正多边形.如图，菱形A8CO的四个角不相等，不是正多边形；

矩形各个角相等，但四边不一定相等，不是正方形.

探究点3多边形的剪切

s一典例3若一个多边形截去一个角后，变成十五边形，则原来的多边形的边数可能为

（）

A.14或15或16B.15或16

C.14或16D.15或16或17

［解析］因为一个多边形截去一个角后，根据剪的角度、方式不同,多边形的边数可能增加了一

条，也可能不变或减少了一条，依此即可解决问题.一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能

增加了一条，也可能不变或减少了一条，则多边形的边数是14,15或16.

［答案］A

【技巧点拨】一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一

变式训练把一个四边形锯掉一个角，剩下的多边形是（）

A.三角形

B.四边形

C.五边形

D.三角形或四边形或五边形

［答案］D

三、板书设计

多边形

'（定义

多边形的内角

士%皿多边形《多边形的外角

多边形〈

多边形的对角线

〔凸多边形

、正多边形

◊教学反思◊

通过类比的数学思想，引导学生理解多边形的相关概念，引导学生自主探索多边形的边数与

对角线的数量关系.教师应注重课堂小结，激发学生参与的主动性.

11.3.2多边形的内角和

◊教学目标0

【知识与技能】

了解多边形的内角、外角等概念，能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会

应用它们进行有关计算.

【过程与方法】

经历合作、交流等过程,初步形成推理思维.

【情感'态度与价值观】

经历猜想、探索、归纳等过程，学会多角度、全方位研究问题的方法，体会转化、类比等数

学思想.

◊教学重难点◊

【教学重点】

多边形的内角和公式与外角和公式.

【教学难点】

多边形的内角和定理的推导以及对多边形外角和