中考初中数学必考30道压轴题训练详解

中考初中数学必考30道压轴题训练详解

一、选择题(共15小题)

1.如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，AD〃BC,AB=CD,AD=&,E为CD中点，连接AE,

且AE=2«,NDAE=30°,作AEJ_AF交BC于F,则BF=()

考点：等腰梯形的性质

专题：压轴题.

分析：延长AE交BC的延长线于G,根据线段中点的定义可得CE=DE,根据两直线平行，

内错角相等可得到NDAE=NG=30°,然后利用“角角边”证明4ADE和4GCE全等,

根据全等三角形对应边相等可得CG=AD,AE=EG,然后解直角三角形求出AF、GF,

过点A作AM_LBC于M,过点D作DN_LBC于N,根据等腰梯形的性质可得BM=CN,再

解直角三角形求出MG,然后求出CN,MF,然后根据BF=BM-MF计算即可得解.

解答:解：如图，延长AE交BC的延长线于G

•；E为CD中点，

/.CE=DE,

VAD/7BC,

/.ZDAE=ZG=30",

在4ADE和4GCE中，

rZDAE=ZG

■ZAED=ZGEC,

CE=DE

.'.△ADE^AGCE(AAS),

二.CG=AD=&,AE=EG=2g,

...AG=AE+EG=2«+275=4英，

VAE±AF,

.，.AF=AGtan30°=4加*恒4,

3

GF=AG4-cos30°8,

2

过点A作AM_LBC于M,过点D作DN_LBC于N,

则MN=AD=V2,

•••四边形ABCD为等腰梯形，

/.BM=CN,

•.■MG=AG«cos300

_2

CN=MG-MN-CG=6-遮-快6-2版,

VAFXAE,AMXBC,

NFAM=NG=30°,

.".FM=AF«sin30o=4X1=2,

2

/.BF=BM-MF=6-2加-2=4-272.

故选：D.

点评：本题考查了等腰梯形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，熟记各性

质是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形，过上底的两个顶点作出梯

形的两条高.

2.如图，已知II〃l2〃l3,相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角aABC的三个顶

点分别在这三条平行直线上，则sina的值是（)

D.V10

考J占八、、.•全等三角形的判定与性质；平行线之间的距离；等腰直角三角形；锐角三角函数的

定义.

专题：压轴题.

分析：

过点A作ADJL11于D,过点B作BE_L11于E,根据同角的余角相等求出NCAD=NBCE,

然后利用“角角边”证明4ACD和4CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得

CD=BE,然后利用勾股定理列式求出AC,再根据等腰直角三角形斜边等于直角边的

点倍求出AB,然后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解.

解答:

解：如图，过点A作ADJ•"于D,过点B作BE_LL于E,设l1，l2,I3间的距离为

1,

NCAD+NACD=90°,

ZBCE+ZACD=90°,

ZCAD=ZBCE,

在等腰直角^ABC中，AC=BC,

在4ACD和4CBE中，

2CAD=NBCE

<ZADC=ZBEC=90°,

心BC

.,.△ACD^ACBE(AAS),

.,.CD=BE=1,

在RtAACD中，AC=4虹)2+CD2=422+1匕5/^，

在等腰直角△ABC中，AB=A/2AC=V2XV5=V10,

•0；…1:国

Vio10

故选：D.

DCE

一

A%

点评:本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定

义，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.

3.如图，已知:NM0N=30°,点Ai、A2、A3…在射线ON上，点&、B2、B3…在射线0M上,

△ABA2、AAzB2A3、4AsB3A4…均为等边三角形，若0Ak1,则6A7的边长为（）

考点：等边三角形的性质；含30度角的直角三角形.

号前压轴题；规律型.

分析,：

根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1Z/A2B2/7A3B3,以及A2B2=2B1A2,

得出A3B3=4BIA2=4,A4B4=8BIA2=8,A5B5=16B#2…进而得出答案.

解答.一

解：•・•△A同A2是等边三角形，

.".AIBI=A2BI,Z3=Z4=Z12=60°,

“2=120°,

,/ZM0N=30°,

Z1=180°-120°-30°=30°,

又•.•N3=60°,

/.Z5=180°-60°-30°=90°,

-.-ZM0N=Z1=30°,

0Ai—AiBi-I,

.'.A2BI=1,

Z^AzB2A3、ZXAsB3A4是等边三角形，

/.Z11=Z10=60°,Z13=60°,

*/Z4=Z12=60°,

..A1B1//A2B2/7A3B3,BiA?〃B2A3,

/.Z1=Z6=Z7=30°,Z5=Z8=90°,

A2B2=2B1A2,B3A3=2B2A3,

/.A3B3MB1A2M,

A4B4—8B1A2—8,

A5B5=16BIA2=16,

以此类推:A6B6=32BIA2=32.

故选：c.

点评：此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出

A3B3=4BIA2,A4B4=8BIA2,ASB5=16B1A2进而发现规律是解题关键.

4.如图，AABC与4DEF均为等边三角形，。为BC、EF的中点，则AD：BE的值为（）

C

A.V3：1B.V2：1C.5：3D.不确定

考占.

J八、、•相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质.

专题:压轴题.

分析：连接0A、OD,由已知可以推出OB：0A=0E：0D,推出△ODAs^OEB,根据锐角三角

函数即可推出AD：BE的值.

解答：解：连接0A、0D,

.「△ABC与4DEF均为等边三角形，。为BC、EF的中点，

/.AOXBC,DO±EF,NED0=30°,ZBA0=30°,

/.OD：OE=OA：0B=A/3：1,

ZDOE+NEOA=NBOA+NEOA

即NDOA=NEOB,

/.△DOA^AEOB,

.,.OD：OE=OA：OB=AD：BE=V3：1.

故选：A.

B

CL-------------二^力

点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质、等边三角形的性质，本题的关键在于找

到需要证相似的三角形，找到对应边的比即可.

5.如图所示，点P(3a,a)是反比例函数y=X(k>0)与。0的一个交点，图中阴影部

X

分的面积为10n,则反比例函数的解析式为()

考点:反比例函数图象的对称性._________________________________________________________

压轴题；转化思想.

根据P(3a,a)和勾股定理，求出圆的半径，进而表示出圆的面积，再根据圆的面

积等于阴影部分面积的四倍，求出圆的面积，建立等式即可求出a的值，从而得出

反比例函数的解析式.

解答:解：由于函数图象关于原点对称，所以阴影部分面积为事面积,

则圆的面积为10nX4=40n.

6.如图，已知点A,B,C,D均在已知圆上，AD〃BC,AC平分NBCD,ZADC=120°,四

边形ABCD的周长为10cm.图中阴影部分的面积为（）

B，（^n-V3）cm22小m2

2J

考占・

J八、、•扇形面积的计算.

专题：压轴题.

分析:要求阴影部分的面积，就要从图中看出阴影部分是由哪几部分得来的，然后依面积

公式计算.

解答：解：,「AC平分NBCD,

；AD〃BC,AC平分NBCD,NADC=120°

所以NACD=NDAC=30°,

AD—CD,

ZBAC=90°NB=60°,

.,.BC=2AB,

二.四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=2BCX3+BC=10,

2

解得BC=4cm,

二圆的半径」X4=2cm,

2

,阴影部分的面积=口。*22-(2+4)X2]~r3=-n-VScm2-

23

故选：B.

点评：本题的关键是要证明BC就是圆的直径,然后根据给出的周长求半径，再求阴影部

分的面积.

7.如图，在RtZkABC中，ZC=90°,AC=8,BC=4,分别以AC、BC为直径画半圆，则图中

阴影部分的面积为()

A.20n-16B.10n-32C.10n-16D.20n-132

考点：扇形面积的计算.

分析：图中阴影部分的面积为两个半圆的面积-三角形的面积，然后利用三角形的面积计

______算即可.

解答.一

,解：设各个部分的面积为：Si、S2、S3、S,、S5,

如图所示：

,•,两个半圆的面积和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4,Z\ABC的面积是S3+S4+S5,阴影部分的

面积是：S1+S2+S4,

图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积.

即阴影部分的面积二1nX16+—nX4-Ax8X4=10n-16.

222

故选：C.

点评：本题考查了扇形面积的计算，的关键是看出图中阴影部分的面积为两个半圆的面积

-三角形的面积.

8.如图，将半径为6的。。沿AB折叠，标与AB垂直的半径0C交于点D且CD=20D,则

）

B.872C.6D.6V3

考占・垂径定理；勾股定理；翻折变换（折叠问题）.

分析：延长CO交AB于E点，连接0B,构造直角三角形，然后再根据勾股定理求出AB的

长

解答：解：延长CO交AB于E点，连接0B,

VCEXAB,

二.E为AB的中点，

•■-00=6,CD=20D,

.,.CDM,0D=2,0B=6,

「.DE」(20C-CD)」(6X2-4)=1x8=4,

222

.,-0E=DE-0D=4-2=2,

在Rt^OEB中，

•.,OE2+BE2=OB2,

二•BEWOB?-UE气铲-22=4V2

」.AB=2BE=8加.

故选：B.

AE为

、z

'、...../

点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利

用勾股定理求解是解答此题的关键.

9.如图，在RtaABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,。。为AABC的内切圆，点D是斜边

AB的中点，则tanNODA=（）

c

A.V3B.-73C.V3D.2

T~3

考J占八、、.•三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义.

专题：压轴题.

分析：设。。与AB,AC,BC分别相切于点E,F,G,连接OE,OF,0G,则OE_LAB.根据

勾股定理得AB=1O,再根据切线长定理得到AF=AE,CF=CG,从而得到四边形OFCG

是正方形，根据正方形的性质得到设0F=x,则CF=CG=OF=x,AF=AE=6-x,BE=BG=8

-x,建立方程求出x值，进而求出AE与DE的值，最后根据三角形函数的定义即

可求出最后结果.

解答:解：过0点作OEJLABOF±AC0GXBC,

N0GC=N0FC=N0ED=90°,

,/NC=90°,AC=6BC=8,

.,.AB=1O

,/GO为4ABC的内切圆，

•,.AF=AE,CF=CG（切线长相等）

,/ZC=90°,

二四边形OFCG是矩形，

,.,OG=OF,

..・四边形OFCG是正方形，

设OF=x,则CF=CG=OF=x,AF=AE=6-x,BE=BG=8-x,

6一x+8-x=10,

/.0F=2,

/.AE=4,

•••点D是斜边AB的中点，

.\AD=5,

.\DE=AD-AE=1,

/.tanZ0DA=-2^2.

DE

故选：D.

3DE

点评：此题要能够根据切线长定理证明：作三角形的内切圆，其中的切线长等于切线长所

在的两边和与对边差的一半；直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边

的差的一半.

10.已知直角梯形ABCD中，AD〃BC,AB±BC,AD=2,BC=DC=5,点P在BC上移动，则当

PA+PD取最小值时,△APD中边AP上的高为（)

C.D.3

考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理.

专题:压轴题.

分析：要求三角形的面积，就要先求出它的高，根据勾股定理即可得.

解答:解：过点D作DE_LBC于E,

•「AD〃BC,AB±BC,

二四边形ABED是矩形，

；.BE=AD=2,

,.,BC=CD=5,

.\EC=3,

.-.AB=DE=4,

延长AB到A，,使得A，B=AB,连接A'D交BC于P,此时PA+PD最小，即当P在

AD的中垂线上，PA+PD取最小值，

••.B为AA'的中点，BP〃AD

,此时BP为aAA'D的中位线，

.-.BP=1AD=I,

2

根据勾股定理可得AP=A/AB2+Bp2=V17,

在AAPD中，由面积公式可得

△APD中边AP上的高=2X4+旧=鼠百.

故选：C.

AD

M\

4；pE七

at

a1

a9

a»

,ati

*»i

Af

点评：此题综合性较强，考查了梯形一般辅助线的作法、勾股定理、三角形的面积计算等

知识点.

11.如图，在AABC中，AB=AC,NBAC=90°,点D为线段BC上一点，连接AD,以AD为

一边且在AD的右侧作正方形ADEF,CF交DE于点P.若AC=4^,CD=2,则线段CP的长

A.1B.2C.V2D.5/3

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.

分析：根据ADEF是正方形推出AD=AF,NDAF=90°,证△ABD04ACF,推出CF=BD,求出

AD,证△FEPs^DCP,得出比例式，代入求出即可.

解答：解：过A作AMJ_BD于M,

,/ZBAC=90°,AB=AC=4加,

.,.ZB=ZACB=45°,由勾股定理得：BC=8,

,.•CD=2,

/.BD=8-2=6,

•rNBAC=90°,AB=AC,AM±BC,

NB=NBAM=45°,

/.BM=AM,

•••AB=4&,

..・由勾股定理得：BM=AM=4,

」.DM=6-4=2,

在RtZ\AMD中，由勾股定理得：AD=^42+22=2V5,

••.四边形ADEF是正方形，

」.EF二DE=AF=AD=2V^,ZE=90°,

,.'ADEF是正方形，

/.AD=AF,NDAF=90°.

ZBAC=90°,

/.ZBAD=ZCAF=90°-ZDAC.

设CP=x,

,/itAABD和4ACF中

fAB=AC

«/BAD二NFAC

IAD=AF

/.△ABD^AACF(SAS),

.-.CF=BD=6,ZB=ZACB=ZACF=45°,

/.ZPCD=90°=ZE,

,/NFPE=NDPC,

/.△FPE^ADPC,

12.如图，正方形ABCD的边长是4,NDAC的平分线交DC于点E,若点P、Q分别是AD

和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（）

A.2B.4C.2A/2D,4&

考占•

J八、、•轴对称-最短路线问题；正方形的性质.

专题:压轴题；探究型.

分析：过D作AE的垂线交AE于F,交AC于D，,再过D'作VP，±AD,由角平分线的

性质可得出D，是D关于AE的对称点，进而可知5P，即为DQ+PQ的最小值.

解答:解：作D关于AE的对称点D，,再过D，作XP，_LAD于P，,

-：DD,±AE,

二NAFD=NAFD',

•.•AF=AF,NDAE=NCAE,

.,.△DAF^AD7AF,

是D关于AE的对称点，AD'=AD=4,

.•DP，即为DQ+PQ的最小值，

••・四边形ABCD是正方形，

二NDAD'=45°,

・・・AP，*Dz,

・••在RtZXAP'D'中，

000J

P‘Dz+AP'=AD',AD'=16,

'/AP,二P，D',

222

2P'D'=AD',即2P'D'=16,

••PDz=2正，即DQ+PQ的最小值为2&.

故选：C.

APP'D

3

BC

点评:本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键.

13.如图，已知抛物线IMy=-x?+2x与x轴分别交于A、0两点，顶点为M.将抛物线L

关于y轴对称到抛物线I2.则抛物线I2过点0,与x轴的另一个交点为B,顶点为N,连

接AM、MN、NB,则四边形AMNB的面积()

A.3B.6C.8D.10

考点：二次函数综合题.

分析：

根据抛物线I1的解析式求出顶点M,和x轴交点A的坐标，然后根据对称图形的知

识可求出M、N的坐标，也可得到四边形NBAM是等腰梯形，求出四边形NBAM的面

积即可.

解答:

解：•••抛物线li的解析式为:y=-x2+2x=-(x-1)2+1,

二.顶点坐标为：M(1,1),

当y=0时，-X2+2X=0,

解得：x=0或x=2,

则A坐标为(2,0),

；12和h关于y轴对称，

•­.AM=BN,N和M关于y轴对称，B和A关于y轴对称,

则N(-1,1),B(-2,0),

过N作NC_LAB交AB与点C,

■/AM=BN,MN/7AB,

二四边形NBAM是等腰梯形，

在等腰梯形NBAM中，

MN,1-(-1)=2,AB=2-(-2)=4,

NC=1,

二S四边形NBAM=1(MN+AB)»NC=3.

故选：A.

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和等腰梯形

|的面积求法，根据对称图形得出N,B的坐标是解答本题的关键.

14.如图所示的二次函数y=ax?+bx+c的图象中，刘星同学观察

J___

得出了下面四条信息：①a+b+c=0；②b>2a；③ax+bx+c=0的两根分别为-3和1；④a

-2b+c>0.你认为其中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

考点：二次函数图象与系数的关系.

■7数形结合.

分析：由于抛物线过点（1,0）,则a+b+c=0,可判断①正确；根据抛物线对称轴方程得到

X=-A=-1,则2a-b=0,可判断②错误；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴

两交点坐标为(-3,0),(1,0),则ax?+bx+c=0的两根分别为-3和1,可判断③

正确；利用b=2a,a+b+c=0得到c==-3a,则a-2b+c=a-4a-3a=-7a,而抛物线

开口向上，得到a>0,于是可对④进行判断.

解答:解：••・抛物线过点(1,0),

」.a+b+c=0,所以①正确；

••.抛物线的对称轴为直线x=-A=-1,

2a

.'.2a-b=0,所以②错误；

••.点(1,0)关于直线x=-1的对称点为(-3,0),

..・抛物线与x轴两交点坐标为(-3,0),(1,0),

」.ax+bx+c=0的两根分别为-3和1,所以③正确;

・「b=2a,a+b+c=0,

.'.a+2a+c-0,即c=-3a,

.'.a-2b+c=a-4a-3a=-7a,

.・.抛物线开口向上，

/.a>0,

・・・a-2b+c=-7aV0,所以④错误.

故选：c.

点评：

本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax?+bx+c(a#0)的图象为

抛物线，当a>0,抛物线开口向上；对称轴为直线x=-电；抛物线与y轴的交点

2a

坐标为(0,c).也考查了一次函数的性质.

15.如图，已知抛物线I1：y=x2-6x+5与x轴分别交于A、B两点，顶点为M.将抛物

线L沿x轴翻折后再向左平移得到抛物线12.若抛物线12过点B,与x轴的另一个交点

为C,顶点为N,则四边形AMCN的面积为()

C.50D.40

考点：二次函数综合题；轴对称的性质.

ZX+C.

:由抛物线I1的解析式可求AB的长，根据对称性可知BC=AB,再求抛物线的顶点坐

标，用计算三角形面积的方法求四边形AMCN的面积.

解答：2o

解：由y=x-6x+5得y=(x-1)(x-5)或y=(x-3)-4,

..・抛物线II与X轴两交点坐标为A(5,0),B(1,0),顶点坐标M(3,-4),

」.AB=5-1=4,

由翻折，平移的知识可知，BC=AB=4,N(-1,4),

.,.AC=AB+BC=8,

S四边形AMCN-SAACN+SAACIF-X8X4+—X8X4=32.

22

故选：A.

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点.主要考查

学生数形结合的数学思想方法.

二、填空题（共15小题）

16.如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数

有485.

考占・

J八、、•规律型：图形的变化类.

专题：压轴题；规律型.

分析：由图可以看出：第一个图形中5个正三角形，第二个图形中5X3+2=17个正三角形,

第三个图形中17X3+2=53个正三角形，由此得出第四个图形中53X3+2=161个正

三角形，第五个图形中161X3+2=485个正三角形.

解答：解：第一个图形正三角形的个数为5,

第二个图形正三角形的个数为5X3+2=17,

第三个图形正三角形的个数为17X3+2=53,

第四个图形正三角形的个数为53X3+2=161,

第五个图形正三角形的个数为161X3+2=485.

如果是第n个图，则有2X3n-1个

故答案为：485

点评：此题考查图形的变化规律，找出数字与图形之间的联系，找出规律解决问题.

17.如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5

个正方形；…按这样的规律下去，第6幅图中有」个正方形.

田H

第1幅第2幅第3幅

考占.

JIWX•规律型：图形的变化类.

专题：压轴题.

分析：观察图形发现第一个有1个正方形，第二个有1+4=5个正方形，第三个有1+4+9=14

个正方形，…从而得到答案.

解答：解：观察图形发现第一个有1个正方形，

第二个有1+4=5个正方形，

第三个有1+4+9=14个正方形，

第n个有：In(n+1)(2n+1)个正方形，

6

第6个有1+4+9+16+25+36=91个正方形，

故答案为：91

点评：本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细关系图形并找到规律，本题采用

了穷举法.

18.如图，Rt4ABC中，ZC=90°,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,且正方形对角线

交于点0,连接0C,已知AC=5,0C=6近，则另一直角边BC的长为7.

考占・

JIXW•正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.

专题:计算题；压轴题.

分析:过。作0F垂直于BC,再过A作AM垂直于0F,由四边形ABDE为正方形，得到OA=OB,

NA0B为直角，可得出两个角互余，再由AM垂直于M0,得到AAOM为直角三角形，

其两个锐角互余，利用同角的余角相等可得出一对角相等，再由一对直角相等，

OA=OB,利用AAS可得出△AOM与ABOF全等，由全等三角形的对应边相等可得出

AM=OF,OM=FB,由三个角为直角的四边形为矩形得到ACFM为矩形，根据矩形的对

边相等可得出AC=MF,AM=CF,等量代换可得出CF=OF,即ACOF为等腰直角三角形,

由斜边0C的长，利用勾股定理求出0F与CF的长，根据OF-MF求出0M的长，即

为FB的长，由CF+FB即可求出BC的长.

解答：解法一：如图1所示，过0作OF_LBC,过A作AM_LOF,

,•・四边形ABDE为正方形，

/.ZA0B=90°,OA=OB,

/.ZA0M+ZB0F=90°,

又NAM0=90°,/.ZA0M+Z0AM=90°,

ZBOF=ZOAM,

在z^AOM和aBOF中，

'/AMO=NOFB=90°

Z0AM=ZB0F,

,OA=OB

.,.△AOM^ABOF(AAS),

.-.AM=OF,OM=FB,

又NACB=NAMF=NCFM=90°,

二四边形ACFM为矩形，

.-.AM=CF,AC=MF=5,

.-.OF=CF,

・•.△OCF为等腰直角三角形，

-：QC=6\/2,

••・根据勾股定理得：CF+OF=OC,

解得：CF=0F=6,

/.FB=0M=0F-FM=6-5=1,

则BC=CF+BF=6+1=7.

故答案为：7.

，占°

CFB

图1

解法二：如图2所示，

过点。作OM_LCA,交CA的延长线于点M；过点0作ON_LBC于点N.

易证△OMAgZ\ONB,/.OM=ON,MA=NB.

・••0点在NACB的平分线上，

「.△OCM为等腰直角三角形.

,.,0C=6V2,

.-.CM=0N=6.

.-.MA=CM-AC=6-5=1,

.-.BC=CN+NB=6+1=7.

故答案为：7.

图2

点评：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三

角形的判定与性质、角平分线的判定，利用了转化及等量代换的思想，根据题意作

出相应的辅助线是解本题的关键.

19.如图，^ABC的内心在y轴上，点C的坐标为(2,0),点B的坐标是(0,2),直线

考点：一次函数综合题.

专题：压轴题.

分析：根据三角形内心的特点知NAB0=NCB0,根据点C、点B的坐标得出0B=0C,

Z0BC=45°,ZABC=90°可知AABC为直角三角形，BC=2加，然后根据两点间距离

公式及勾股定理得出点A坐标，从而得出AB,即可得出答案.

解答:解：根据三角形内心的特点知NAB0=NCB0,

••・已知点C、点B的坐标，

:.0B=0C,Z0BCM50,NABC=90°可知AABC为直角三角形，BC=2加,

•••点A在直线AC上，设A点坐标为(x,lx-1),

根据两点距离公式可得

222

AB=X+(AX-3),

2

AC=(x-2)+(Ax-i)\

在Rt^ABC中，

222

AB+BC二AC,

解得：x=-6,y=-4,

・・・AB=6&,

.•.tanA匹平工

AB6^3

故答案为：

3

点评:本题主要考查了三角形内心的特点，两点间距离公式'勾股定理，综合性较强，难

度较大.

20.刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a,

b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b-1,例如把（3,-2）放入其中，就会得到

32+（-2）-1=6.现将实数对（m,-2m）放入其中，得到实数2,则m=3或-1.

考J占t\\\.•解一元二次方程-因式分解法.

专题：压轴题；新定义.

分析：

根据题意，把实数对（m,-2m）代入a?+b-1=2中，得到一个一元二次方程，利用

因式分解法可求出m的值.

解答：

解：把实数对（m,-2m）代入a+b-1=2中得m-2m-1=2

移项得m?—2m—3=0

因式分解得（m-3）（m+1）=0

解得m=3或-1.

故答案为：3或-1.

点评：

根据题意，把实数对（m,-2m）代入a?+b-1=2中，并进行因式分解，再利用积为

0的特点解出方程的根.

21.对于平面内任意一个凸四边形ABCD,现从以下四个关系式①AB=CD；②AD=BC；③AB〃CD；

④NA=NC中任取两个作为条件，能够得出这个四边形ABCD是平行四边形的概率是1.

-2-

考点:概率公式；平行四边形的判定.

压轴题.一

本题是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式.

解：从四个条件中选两个共有六种可能：①②、①③、①④、②③、②④、③④,

其中只有①②'①③和③④可以判断ABCD是平行四边形，所以其概率为卫二

62

故答案为：工

________2

点评:用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；两组对边分别相等的四边形

是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，一组

对角相等的四边形是平行四边形.

22.如图，已知直线I：y=5x,过点A(0,1)作轴的垂线交直线I于点B,过点B作直

线I的垂线交V轴于点A,；过点A"乍v轴的垂线交直线I于点Bi,过点B"乍直线I的垂

线交y轴于点A2；…按此作法继续下去，则点Azo.的坐标为(0,4如b.(提示:

考占.

J1\\\•一次函数图象上点的坐标特征.

专题：规律型.

分析：

根据所给直线解析式可得I与X轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点A1,A2的

坐标，通过相应规律得到A如4坐标即可

解答:解：••・直线I的解析式为；y考x,

.'.I与x轴的夹角为30°,

VAB/Zx轴，

ZAB0=30°,

V0A=1,

/.0B=2,

.•.AB=V3,

•/AIB±I,

ZABAi=60°,

.".Ai0=4,

/.Ai(0,4),

同理可得A2(0,16),

.•血0乜纵坐标为42°：

A2014(0,4204).

点评：本题考查的是一次函数综合题，先根据所给一次函数判断出一次函数与x轴夹角是

解决本题的突破点；根据含30°的直角三角形的特点依次得到A、A］、A2、A3…的

点的坐标是解决本题的关键.

23.如图，在平面直角坐标系中，Rt^OAB的顶点A在x轴的正半轴上.顶点B的坐标为

（6,2加），点C的坐标为（1,0）,点P为斜边0B上的一个动点，则PA+PC的最小值为

V31_.

考点:轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质._____________________________________

作A关于0B的对称点D,连接CD交0B于P,连接AP,过D作DNJ_OA于N则此

时PA+PC的值最小，求出AM,求出AD,求出DN、CN,根据勾股定理求出CD,即可

得出答案.________________________________________

解答:解：作A关于0B的对称点D,连接CD交0B于P,连接AP,过D作DNL0A于N,

则此时PA+PC的值最小，

,/DP=PA,

.,.PA+PC=PD+PC=CD,

VB（6,273）,

，AB=2畲，0A=6,NB=60°,由勾股定理得：08=443,

由三角形面积公式得：IXOAXABJXOBXAM,

22

/.AM=3,

/.AD=2X3=6,

,,,ZAMB=90°,ZB=60°,

/.ZBAM=30°

,/ZBA0=90°

/.N0AM=60°

,.'DNXOA,

/.NNDA=30°

.,.AN=1AD=3,由勾股定理得：DN=3A/3,

2

VC(1,0),

/.CN=6-1-3=2,

在Rt^DNC中，由勾股定理得：DC=j22+（