2024-2025版高中数学第一章解三角形1.1.1正弦定理学案新人教A版必修5

PAGE第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理必备学问·自主学习1.正弦定理(1)定理的内容.条件三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c文字语言在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等符号语言QUOTE=QUOTE=QUOTE(2)本质:正弦定理反映的是三角形边角之间的数量关系.该比值是此三角形外接圆的直径.(3)作用:①求三角形的边和角;②实现三角形边角之间的互化;③求三角形外接圆的半径.正弦定理QUOTE=QUOTE=QUOTE只适用于锐角三角形吗?提示:正弦定理QUOTE=QUOTE=QUOTE适用于随意三角形.2.三角形中的元素与解三角形(1)三角形中的元素:指的是三角形的三个角及其对边.(2)解三角形:已知三角形的几个元素求其他元素的过程.已知三角形的哪几个元素,可以用正弦定理解相应三角形?提示:①已知三角形的随意两角和一边,求其他两边和另一角.②已知三角形的随意两边和其中一边的对角,求另一边及另两角.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)在△ABC中,已知C=60°,a=1,b=3,可用正弦定理解此三角形. ()(2)对于随意△ABC总有bsinA=asinB. ()(3)在△ABC中,若sinA>sinB,则A>B;反之,若A>B,则sinA>sinB. ()(4)在△ABC中,若A=30°,a=2,b=2QUOTE,则B=60°. ()提示:(1)×.已知三角形的两边和这两条边的夹角,无法用正弦定理解此三角形.(2)√.由正弦定理知QUOTE=QUOTE,即bsinA=asinB.(3)√.在△ABC中,sinA>sinB⇔a>b⇔A>B.(4)×.由正弦定理知QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,所以sinB=QUOTE,则B=60°或120°,又因为b>a,所以B>A,故B=60°或120°.2.(教材二次开发:练习改编)在△ABC中,a=8,B=60°,C=75°,则b= ()A.4QUOTE B.4QUOTE C.4QUOTE D.QUOTE【解析】选C.在△ABC中,A=180°-(B+C)=45°,由正弦定理QUOTE=QUOTE得b=QUOTE=QUOTE=4QUOTE.3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sinA=QUOTE,a=3,b=1,则sinB= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.由正弦定理得sinB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.关键实力·合作学习类型一已知两角及一边解三角形(数学运算)1.(2024·石家庄高一检测)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2,B=45°,C=120°,则边c= ()A.QUOTE B.QUOTE C.2 D.QUOTE2.在△ABC中,若tanA=QUOTE,C=150°,BC=1,则AB等于.

3.在△ABC中,已知a=2QUOTE,A=30°,B=45°,解三角形.【解析】1.选D.因为b=2,B=45°,C=120°,由正弦定理QUOTE=QUOTE,可得QUOTE=QUOTE,解得c=QUOTE.2.因为tanA=QUOTE,0°<A<180°,所以sinA=QUOTE.由正弦定理知QUOTE=QUOTE,所以AB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE3.因为QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以b=QUOTE=QUOTE=QUOTE=4.因为C=180°-(A+B)=180°-(30°+45°)=105°,所以c=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2+2QUOTE.已知两角及一边解三角形的一般步骤【补偿训练】已知一个三角形的两个内角分别是45°,60°,它们所夹边的长是1,求最小边长.【解析】设在△ABC中,A=45°,B=60°,则C=180°-(A+B)=75°.因为C>B>A,所以最小边为a.又因为c=1,由正弦定理得,a=QUOTE=QUOTE=QUOTE-1,所以最小边长为QUOTE-1.类型二已知两边及一边的对角解三角形(数学运算)【典例】在△ABC中,已知B=30°,b=QUOTE,c=2,解三角形.四步内容理解题意条件:B=30°,b=QUOTE,c=2,结论:求角A、角C和边a思路探求依据题目条件及正弦定理可得sinC=QUOTE,求出角C,进而可以计算A,a.书写表达由正弦定理得sinC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因为c>b,0°<C<180°,所以C=45°或135°.②(1)当C=45°时,A=105°,a=QUOTE=QUOTE=QUOTE+1,(2)当C=135°时,A=15°,a=QUOTE=QUOTE=QUOTE-1.留意书写的规范性:①③④处正确应用正弦定理的变形是解题的关键;②处依据三角函数值求角时,要留意结合角的范围.题后反思利用正弦定理求角时,一方面要留意由正弦值求角有可能出现两解的状况,另一方面要留意三角形内角和定理的应用已知两边及一边的对角解三角形的步骤(2024·深圳高一检测)在△ABC中,A=60°,AC=QUOTE,BC=QUOTE,则C= ()A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】选D.设A,B,C的对边分别为a,b,c.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以sinB=QUOTE,又因为a>b,所以A>B,且0°<B<180°,所以B=30°,所以C=180°-A-B=90°.【拓展延长】在△ABC中,已知a,b和A,以点C为圆心,以边长a为半径画弧,此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数.解的个数见下表:A为锐角A为钝角或直角图形关系式①a=bsinA且a<b②a≥bbsinA<a<ba<bsinAa>ba≤b解的个数一解两解无解一解无解【拓展训练】依据下列条件,推断△ABC有没有解?若有解,推断解的个数.(1)a=5,b=4,A=120°.(2)a=5,b=4,A=90°.(3)a=10QUOTE,b=20QUOTE,A=45°.(4)a=20QUOTE,b=20QUOTE,A=45°.(5)a=4,b=QUOTE,A=60°.【解析】(1)(2)中因为a>b,所以只有一解.(3)中bsinA=20QUOTEsin45°=10QUOTE,所以a=bsinA,所以只有一解.(4)中bsinA=20QUOTEsin45°=10QUOTE,所以bsinA<a<b,所以有两解.(5)中bsinA=QUOTEsin60°=5,所以a<bsinA,所以无解.【补偿训练】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=QUOTE,b=2,sinB+cosB=QUOTE,则角A的大小为.

【解析】由sinB+cosB=QUOTE,得sinQUOTE=1,由B∈(0,π),得B=QUOTE,由正弦定理,QUOTE=QUOTE,得sinA=QUOTE=QUOTE,又a<b,所以A=QUOTE.答案:QUOTE类型三用正弦定理进行边角互化(逻辑推理、数学运算)角度1运算求解问题

【典例】(2024·驻马店高二检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知4bcosBsinC=QUOTEc,则B= ()A.QUOTE或QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE或QUOTE【思路导引】利用正弦定理化边为角,建立关于角B的三角方程.【解析】选D.由4bcosBsinC=QUOTEc,得4sinBcosBsinC=QUOTEsinC,所以sin2B=QUOTE,又因为B为△ABC的内角,所以2B=QUOTE或QUOTE,所以B=QUOTE或QUOTE.将本例条件“4bcosBsinC=QUOTEc”改为“2asinB=QUOTEb”,求角A.【解析】因为2asinB=QUOTEb,由正弦定理可得,2sinAsinB=QUOTEsinB,又sinB≠0,所以sinA=QUOTE,所以A=QUOTE或QUOTEπ.角度2化简证明问题

【典例】在随意△ABC中,求证:a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)=0.【思路导引】方法一:边化角,即由正弦定理,令a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(其中R是△ABC外接圆的半径).代入等式左边进行化简;方法二:角化边,即由正弦定理,令sinA=QUOTE,sinB=QUOTE,sinC=QUOTE.代入等式左边进行化简.【证明】方法一:由正弦定理,令a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.代入得:左边=2R(sinAsinB-sinAsinC+sinBsinC-sinBsinA+sinCsinA-sinCsinB)=0=右边,所以等式成立.方法二:由正弦定理,令sinA=QUOTE,sinB=QUOTE,sinC=QUOTE.代入得:左边=aQUOTE+bQUOTE+cQUOTE=QUOTE(ab-ac+bc-ba+ca-cb)=0=右边,所以等式成立.角度3推断三角形的形态

【典例】(2024·濮阳高二检测)在△ABC中,QUOTE=QUOTE=QUOTE,则△ABC肯定是 ()A.直角三角形 B.钝角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形【思路导引】由QUOTE=QUOTE=QUOTE,利用正弦定理可得tanA=tanB=tanC,即可得出.【解析】选D.由正弦定理可得:QUOTE=QUOTE=QUOTE,又QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以tanA=tanB=tanC,又A,B,C∈(0,π),所以A=B=C=QUOTE,所以△ABC是等边三角形.1.用正弦定理进行边角互化的两种方法2.推断三角形形态的两种途径(1)利用正弦定理把已知条件转化为边的关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而推断三角形的形态.(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形得出内角的关系,从而推断出三角形的形态,此时要留意应用A+B+C=π这个结论.在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.1.△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinAsinB+bcos2A=QUOTEa,则QUOTE= ()A.2QUOTE B.2QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.由正弦定理得sin2AsinB+sinBcos2A=QUOTEsinA,即sinB·(sin2A+cos2A)=QUOTEsinA.所以sinB=QUOTEsinA.所以QUOTE=QUOTE=QUOTE.2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知QUOTE=absinC.求证tanC=sinAsinB.【证明】因为QUOTE=absinC,所以c2=absinCcosC,由正弦定理得,sin2C因为C∈QUOTE,所以sinC>0,所以sinC=sinAsinBcosC,由题意知cosC≠0,所以tanC=sinAsinB.3.在△ABC中,若acosA=bcosB,试推断△ABC的形态.【解析】由正弦定理得,a=2RsinA,b=2RsinB,由acosA=bcosB得,sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.因为2A,2B∈(0,2π),所以2A=2B或2A+2B=π.即A=B或A+B=QUOTE,所以△ABC为等腰或直角三角形.【补偿训练】1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若3a=2b,则QUOTE的值为 ()A.QUOTEB.QUOTEC.1D.QUOTE【解析】选D.因为QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE.因为3a=2b,所以QUOTE=QUOTE.所以QUOTE=QUOTE.所以QUOTE=2QUOTE-1=2×QUOTE-1=QUOTE-1=QUOTE.2.在△ABC中,已知2a=b+c,sin2A【解析】由sin2A=sinBsinC和正弦定理,得a2=bc.因为2a=b+c,所以a=QUOTE,所以QUOTE=bc,整理得(b-c)2=0,所以b=c.从而a=QUOTE=b=c,故△ABC是等边三角形.课堂检测·素养达标1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列等式正确的是 ()A.a∶b=A∶B B.asinA=bsinBC.a∶b=sinB∶sinA D.a∶b=sinA∶sinB【解析】选D.由QUOTE=QUOTE可得,只有D成立.2.一个三角形的两个角分别等于