数学学案：第一讲一平行线等分线段定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精一平行线等分线段定理1．理解并掌握平行线等分线段定理及其推论,认识它的变式图形．2．能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段，能运用推论进行简单的证明或计算．3．会用三角形中位线定理解决问题．1．平行线等分线段定理文字语言如果一组______在一条直线上截得的线段____,那么在其他直线上截得的____也相等符号语言已知a∥b∥c，直线m，n分别与a，b，c交于点A,B，C和A′，B′,C′，且AB＝BC,则A′B′＝____图形语言变式图形作用证明同一直线上的线段相等(1)平行线等分线段定理的条件是a，b，c互相平行，构成一组平行线,m与n可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a，b，c相交,即被平行线a,b,c所截．（2)平行线的条数还可以更多，可以推广．（3)平行线等分线段定理的逆命题是：如果一组直线截另一组直线成相等的线段，那么这组直线平行．可以证明这一命题是错误的．(如图)【做一做1】如图所示，l1∥l2∥l3，直线a分别与l1，l2，l3相交于A,B，C，且AB＝BC,直线b分别与l1，l2，l3相交于A1，B1，C1，则有（)A．A1B1＝B1C1B．A1B1＞B1C1C．A1B1＜B1C1D．A1B1与B1C1的大小不确定2．推论1文字语言经过三角形一边的____与另一边平行的直线必____第三边符号语言在△ABC中，D为AB的中点，过D作DE∥BC，交AC于E，则E平分____图形语言作用证明线段相等，求线段的长度三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边长的一半．【做一做2】如图所示,DE是△ABC的中位线，F是BC上任一点，AF交DE于G，则有()A．AG＞GFB．AG＝GFC．AG＜GFD．AG与GF的大小不确定3．推论2文字语言经过梯形一腰的____，且与底边____的直线平分另一腰符号语言在梯形ABCD中，AD∥BC，E为AD的中点，过E作EF∥BC，交CD于F，则F平分____图形语言作用证明线段相等，求线段的长度梯形中位线的性质：梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底边长和的一半．【做一做3】如图，在梯形ABCD中,AD∥BC,AD＋BC＝10cm，E为AB的中点,点F在DC上，且EF∥AD，则EF的长为()A．5cmB．10cmC．20cmD．不确定答案:1．平行线相等线段B′C′【做一做1】A∵l1∥l2∥l3，AB＝BC，∴A1B1＝B1C1。2．中点平分AC【做一做2】B∵DE是△ABC的中位线，∴在△ABF中，DG∥BF，又∵AD＝DB，∴G平分AF，即AG＝GF.3．中点平行CD【做一做3】A由推论2知，EF是梯形ABCD的中位线，则EF＝eq\f（1，2）(AD＋BC)＝eq\f(1,2）×10＝5(cm）．平行线等分线段定理的两个推论的证明剖析：(1）推论1：如图①,在△ABC中,B′为AB的中点,过B′作B′C′∥BC交AC于点C′,求证：C′是AC的中点．证明：如图②，过A作直线a∥BC，∵BC∥B′C′，∴a∥BC∥B′C′.又∵AB′＝BB′，∴AC′＝CC′，即C′是AC的中点．(2）推论2：如图③，已知在梯形ACC′A′中，AA′∥CC′，B是AC的中点，过B作BB′∥CC′交A′C′于点B′，求证:B′是A′C′的中点．证明：如图④,∵AA′∥CC′，BB′∥CC′,∴AA′∥BB′∥CC′.又∵AB＝BC，∴A′B′＝B′C′,即B′是A′C′的中点．题型一任意等分已知线段【例题1】如图所示，已知线段AB，求作线段AB的五等分点,并予以证明．分析：利用平行线等分线段定理来作图．反思：将已知线段AB分成n等份的步骤:（1）作射线AC（与AB不共线）；(2）在射线AC上以任意取定的长度顺次截取AD1＝D1D2＝D2D3＝…＝Dn－1Dn；(3）连接DnB；（4）分别过点D1，D2，D3,…，Dn－2，Dn－1作DnB的平行线，分别交AB于点A1,A2,…，An－2,An－1，则点A1，A2,…，An－2,An－1将线段AB分成n等份．题型二证明线段相等【例题2】如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，O是CD的中点,求证：OA＝OB．分析：由于线段OA和OB有共同端点，则转化为证明△OAB是等腰三角形即可．反思：平行线等分线段定理及其推论应在有线段的中点时应用，在没有线段的中点时要先构造线段的中点．题型三三角形中位线性质的应用【例题3】如图，梯形ABCD中，AB∥DC，E为AD的中点，EF∥BC，求证：BC＝2EF。分析：由于EF∥BC，联系所证明的结果是BC＝2EF，由此想到三角形中位线定理，过A作BC的平行线即可实现．反思：(1）如果已知条件中出现中点，那么往往利用三角形中位线的性质来解决有关问题．(2)本题也可用平行线等分线段定理来证明，过E作DC的平行线即可．答案：【例题1】作法:(1)作射线AC；（2）在射线AC上以任意取定的长度顺次截取AD1＝D1D2＝D2D3＝D3D4＝D4D5；（3）连接D5B；(4)分别过D1，D2，D3，D4作D5B的平行线D1A1，D2A2,D3A3，D4A4，分别交AB于点A1，A2，A3，A4。则点A1，A2，A3，A4将线段AB五等分．证明:过点A作MN∥D5B.则MN∥D4A4∥D3A3∥D2A2∥D1A1∥D5B，∵AD1＝D1D2＝D2D3＝D3D4＝D4D5，∴AA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4B.∴点A1，A2，A3，A4就是所求的线段AB的五等分点．【例题2】证明：过O作AB的垂线，垂足为E，如图所示．∵AC⊥AB,DB⊥AB，∴OE∥AC∥DB.又∵O为CD的中点，∴E为AB的中点，又OE⊥AB，∴△OAB是等腰三角形，∴OA＝OB.【例题3】证明：如图所示，过A作BC的平行线AG，交DC于点G.又AB∥DC,∴四边形ABCG是平行四边形．∴AG＝BC，AG∥BC.又EF∥BC，∴EF∥AG。∵E为AD的中点，∴F是DG的中点．∴EF＝eq\f（1，2）AG。∴EF＝eq\f（1,2)BC,即BC＝2EF。1如图，在△ABC中，D，E三等分AB，DF∥BC，EG∥BC,分别交AC于F，G，若AC＝15cm，则FC＝________cm。2如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝6，E,F分别为对角线BD,AC的中点，则EF＝__________.3如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC,∠ABC＝90°，M是CD的中点,求证：AM＝BM.4如图所示，已知线段AB，求作AB的三等分点．5如图所示，AC⊥AB，BD⊥AB，AD与BC交于点E，EG⊥AB，AE＝eq\f(1，2）ED，F是ED的中点,求证：FG＝FB．答案:1．10∵DF∥BC，EG∥BC，∴DF∥EG∥BC。由已知，得AD＝DE＝EB,∴AF＝FG＝GC.又∵AC＝15cm，∴FG＝GC＝eq\f(1，3)AC＝5cm.∴FC＝FG＋GC＝10cm.2．2如图所示，过E作GE∥BC交BA于G.∵E是DB的中点，∴G是AB的中点．又F是AC的中点，∴GF∥BC，∴G，E,F三点共线,∴GE＝AD＝1，GF＝BC＝3。∴EF＝GF－GE＝3－1＝2.3．证明：过点M作ME∥BC交AB于点E，∵AD∥BC，∴AD∥EM∥BC。又∵M是CD的中点，∴E是AB的中点．∵∠ABC＝90°，∴ME垂直平分AB.∴MA＝MB.4．作法：如图所示,（1）作射线AC；（2）在射线AC上以任意取定的长度顺次截取AD1＝D1D2＝D2D3;（3）连接D3B；(4)分别过D1，D2作D3