北师大版九年级数学下册《1.5三角函数的应用》同步测试题（附答案）

第第页北师大版九年级数学下册《1.5三角函数的应用》同步测试题（附答案）一、解答题1．（1）sin2（2）1−2tan2．计算tan1°•tan2°•tan3°•…•tan88°•tan89°的值．3．（1）计算：2sin230°−6（2）已知a、b是一元二次方程x2+2x−3=0的两个实根，求4．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，BD与AE，AF分别相交于点G，H，AG=AH．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AG=2，EG=1．①求sin∠BAE②求▱ABCD的面积．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是BC上一点，过点C作CE⊥AD，垂足为E．连接BE并延长交AC于点F

(1)求证：CD(2)若D为BC的中点，ACBC=26．如图，一座古塔坐落在小山上(塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B)，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成45°，点A，B，C，O在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，∠AOC=75°，求小李到古塔的水平距离即BC的长．7．在综合实践课中，小明同学利用无人机测量小山AB的高度．如图，CD是小明同学，无人机飞到小山AB的右上方时，测得山顶A的俯角为37°,AP=10米，测得小明同学头顶C的俯角为53.5°,PC=80米．已知小明的身高CD为1.8米，求小山AB的高度．（已知AB,CD分别与水平线BD垂直且在同一平面内，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin53.5°≈0.80，8．某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为53°，小强站凤栖堂门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC为0.45m，已知凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3．（参考数据：sin53°≈45，(1)计算台阶DE的高度；(2)求孔子雕像AB的高度．9．如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B，D两港运送物资，最后到达A港正东方向的C港装运新的物资，甲货轮沿A港的东北方向航行40海里到达D港，再沿东南方向航行一定距离到达C港．乙货轮沿A港的南偏东60°方向航行后到达B港，再沿北偏西15°方向航行一定距离到达C港．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，(1)求B，C两港之间的距离；(2)若甲货轮的速度为20海里/小时，乙货轮的速度为30海里/小时（停靠B，D两港的时间相同），哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明．10．冬季是滑雪的最佳时节，亚布力滑雪场有初、中、高级各类滑雪道．如图，其中的两条初级滑雪道的线路为：①A→B→C→D；②A→E→D．点A是雪道起点，点D是雪道终点，点B、C、E是三个休息区．经勘测，点B在点A的南偏东30°方向1800米处，点C在点B的正南方向2000米处，点D在C的西南方向，点E在点A的西南方向1300米处，点E在点D的正北方向．（参考数据：2≈1.414，3(1)求CD的长度；（精确到1米）(2)小外一家周末去亚布力滑雪，小外沿滑雪道线路①全程以5米/秒的速度滑雪，且在途经的每个休息区都各休息了5分钟；小外的爸爸比小外晚出发2分钟，以3米/秒的速度沿滑雪道线路②滑完全程，且中途没有休息．请计算说明小外和爸爸谁先到达终点D．11．某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：

(1)探究原理：制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G测量时，使支杆OM、量角器90∘刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图②），此时目标P的仰角是图②中的∠_____．目标P(2)拓展应用：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E、F，E、F、H在同一直线上，分别测得点P的仰角a=45∘、β=30∘，测得E、F间的距离2米，点O1、O2到地面的距离12．如图，Rt△ABO中，∠ABO=90°，AB=2，反比例函数y=−8x(1)求点A的坐标．(2)直线CD垂直平分AO，交AO于点C，交y轴于点D，交x轴于点E，求线段OE的长．13．随着南海局势的升级，中国政府决定在黄岩岛填海造陆，修建机场，设立雷达塔．某日，在雷达塔A处侦测到东北方向上的点B处有一艘菲律宾渔船进入我方侦测区域，且以30海里/时的速度往正南方向航行，我方与其进行多次无线电沟通无果后，这艘渔船行驶了1小时10分到达点A南偏东53°方向的C处，与此同时我方立即通知（通知时间忽略不计）与A、C在一条直线上的中国海警船往正西方向对该渔船进行侦测拦截，其中海警船位于与A相距100海里的D处．(1)求AC的距离和点D到直线BC的距离；(2)若海警船航行速度为40海里/时，可侦测半径为25海里，当海警船航行1小时时，是否可以侦测到菲律宾渔船，为什么？（参考数据：sin53°≈45，cos14．综合实践活动中，某小组利用直角尺和皮尺测量建筑物AB和CD的高，因为这两栋建筑物高度相同，于是这个小组设计出一种简捷的方案，如图所示：（1）把直角尺的顶点E放在两栋建筑物之间的地面上，调整位置使直角尺的两边EM，EN所在直线分别经过建筑物外立面的的顶部A和C；（2）用皮尺度量BE和DE的长度；（3）通过计算得到建筑物的高度．若示意图中点A，B，C，D，E，M，N均在同一平面内．测得BE=9m，DE=3615．图1所示是屹立在于都县纪念广场的中央红军长征出发纪念碑，它是由呈双帆造型的碑身与方形底座两部分组成的，底座下方是台阶，台阶的横截面如图2所示．已知台阶的坡面DE的坡度i=1:3，坡面DE的长为2.4(1)计算坡面DE的铅直高度；(2)如图3，为了测量纪念碑的高度，亮亮站在纪念碑正前方广场上的点G处用高1.64m的测角仪GH，测得纪念碑碑身顶端A的仰角是35°，继续向纪念碑前进8.1m到达点K处，此时测得纪念碑顶端45°，求纪念碑的实际高度AC．（结果精确到0.01，参考数据：16．如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为5cm，两个车轮的圆心的连线AB与地面平行，测得支架AC=BC=60cm，AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°，(1)求扶手前端D到地面的距离；(2)手推车内装有简易宝宝椅，EF为小坐板，打开后，椅子的支点H到点C的距离为10cm，DF=20cm，EF∥AB，17．千厮门大桥是重庆最具特色的斜拉桥之一，也是重庆的“网红打卡地”之一，某校数学兴趣小组的同学们欲测量千厮门大桥桥塔的高度，如图2，他们在桥下水平地面上架设测角仪CM（测角仪垂直于地面放置），此时测得桥塔最高点A的∠ACE=30∘，然后将测角仪沿MB向前水平移动132米达到点N处，并测得桥塔最高点A的∠ADE=45∘，测角仪高度CM=DN=1.6米．（点M，N，B在同一水平线上，AB⊥BM）（结果保留整数，参考数据：(1)求桥塔的高度AB约为多少米？(2)如图3，在（1）的条件下，小语同学在洪崖洞的某地Q处测得千厮门大桥桥塔最高点A的∠AQG=30∘，最低点B的∠BQG=60∘，则小语同学所在地18．嘉嘉在某次作业中得到如下结果：sin2sin2sin29°+sin37°+sin2据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角α，β，若α+β=90°，均有sin2(1)当α=30°，β=60°时，验证sin2(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示Rt△ABC给予证明，其中∠A所对的边为a，∠B所对的边为b，斜边为c(3)利用上面的证明方法，直接写出tanα与sinα，19．阅读与思考阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，过C作CE⊥AB于E（如图1），则sinB=CEa，sinA=CEb，即CE=asinB，CE=bsinA，于是运用上述结论和有关定理，在锐角三角形中，已知三个元素（至少有一条边），就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题：(1)如图1，在△ABC中，∠A=60°，∠C=45°，BC=30，则AB=______；(2)如图2，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔的距离为______海里；（结果保留根号）(3)在（2）的条件下，试求75°的正弦值．（结果保留根号）20．如图1，正方形ABCD中，P是边AD上任意一点，Q是对角线AC上的点，且满足∠PBQ=45°．(1)①求证：△PDB∽②DPCQ=(2)如图2，矩形ABCD中，AB=12，AD=5，P、Q分别是边AD和对角线AC上的点，∠PBQ=∠ACB，DP=3，求CQ的长；(3)如图3，菱形ABCD中，DH⊥BA交BA的延长线于点H．若DC=5，对角线AC=6，P、Q分别是线段DH和AC上的点，tan∠PBQ=34，PH=参考答案：1．解：（1）sin==1+2×=2+=2；（2）1−2====−1．2．解：tan1°•tan2°•tan3°•…•tan88°•tan89°＝（tan1°•tan89°）（tan2°•tan88°）…（tan44°•tan46°）•tan45°＝1．3．（1）解：2====−107（2）解：∵a、b是一元二次方程x2∴x+3x−1解得a=−3，b=1或b=−3，a=1，当a=−3，b=1时，则a==−26+20当b=−3，a=1时，则a==−26+44．（1）证明：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∴∠BAG＝90°−∠ABE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABE＝∴∠BAG＝∵AG＝∴∠AGH＝∴∠AGB＝∴在△ABG和△ADH中∠AGB∴△ABG≌∴AB＝∴▱ABCD是菱形；（2）①解：∵AD∥∴△ADG∽△EBG，∴ADBE∵AG=2,GE=1，∴ADBE∵在菱形ABCD中，AB=AD，∴BEAB∵AE⊥BC，∴sin∠BAE=②∵sin∠BAE=∴∠BAE=30°，∴cos∠BAE=∴AB=23∴S▱5．（1）证明：∵CE⊥AD，∠ACB=90°，∴∠CED=∠ACB=90°，∵∠CDE+∠DCE=90°,∠DCE+∠ACE=90°，∴∠ACE=∠CDE，∴△CDE∽∴CD∴CD（2）解：∵D为BC的中点，∴BD=CD，∵CD∴BD∴BD∵∠ADB=∠ADB，∴△ABD∽∴∠ABD=∠BED，∴∠AEF=∠BED=∠ABD，∵∠AEF+∠CEF=90°，∴sin∵∠ACB=90°，ACBC设AC=2k,BC=3k，∴AB=A∴cos∠ABD=∴sin6．解：过点O作OD⊥BC，交BC的延长线于点D，过点O作OE⊥AB，垂足为E，如图所示：由题意得：AO=8×5=40米，OC=4×5=20米，OE=BD，OE∥BD，∴∠EOC=∠OCD=45°，∵∠AOC=75°，∴∠AOE=∠AOC−∠EOC=30°，在Rt△OCD中，CD=OC⋅在Rt△AOE中，OE=AO⋅∴OE=BD=203∴BC=BD−CD=203∴小李到古塔的水平距离即BC的长为2037．解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，过点P作PF⊥CE于点F，过点A作AG⊥PF于点G，则四边形BECD和四边形AEFG都是矩形，∴AE=FG，BE=CD.在Rt△APG中，由题意知∠PAG=37°,AP=10∴PG=sin在Rt△PCF中，由题意知∠PCF=53.5°,PC=80∴PF=sin∴AB=AE+BE=FG+CD=PF−PG+CD=64−6+1.8=59.8（米）．答：小山AB的高度约为59.8米．8．（1）解：∵凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3，EC为0.45m∴DEEC∴DE=EC即台阶DE的高度为0.15m（2）解：如图所示，设AB的对边为MN，作DF⊥MN于F，∴由题意得，四边形NFDE是矩形，∴FN=DE=0.15m，DF=NE设MN=xm，则MF=在Rt△MFD中，∠MDF=45°∴FD=MF=x−0.15∴NC=NE−EC=x−0.15∴tan53°=MNNC解得x=2.4，经检验，x=2.4是原方程的解，答：孔子雕像AB的高度约2.4m9．（1）解：过点C作CM⊥AB于点M，∵甲货轮沿A港的东北方向航行40海里到达D港，再沿东南方向航行一定距离到达C港，∴∠ADC=90°，∠DAC=∠DCA=45°，AD=40海里，∴AD=CD=40海里，∴AC=A∵乙货轮沿A港的南偏东60°方向航行后到达B港，再沿北偏西15°方向航行一定距离到达C港．∴∠CAM=∠ABN=30°，∠CBN=90°−15°=75°，∴∠ABC=∠CBN−∠ABN=45°，在Rt△ACM中，∠CAM=30°∴CM=12AC=40在Rt△BCM中，∠ABC=45°∴CB=CMsin45°∴B，C两港之间的距离约为40海里；（2）解：乙货轮先到达C港，理由如下：∵甲货轮航行的路程=AD+DC=40+40=80（海里），∴甲货轮航行的时间=80∵乙货轮航行的路程=AB+BC=206∴乙货轮航行的时间=20∵3.91<4，∴乙货轮先到达C港．10．（1）解：过B作BL⊥DE于L交AN于N，过作EK⊥AN于K，过C作CM⊥DE于M，∵点E在点A的西南方向，∴∠EAK=45°，∴△AEK是等腰直角三角形，∴EK=AK=2∵∠BAN=30°，∠ANB=90°，∴BN=1∵DE∥BC，CM⊥DE，BL⊥DE，EK⊥AN，∴四边形ELNK，BCML是矩形，∴BC=BL，NL=EK，EL=KN，ML=BC，∵BL=NB+NL=900+919.38=1819.38（米），∴MC=1819.38米，∵∠MCD=45°，∴△MCD是等腰直角三角形，∴CD=2（2）解：滑雪道线路①全程=AB+BC+CD=1800+2000+2572.6=6372.6（米），∴小外滑行的时间是6572.6÷5≈1274.5（秒）≈21.2（分钟），∵小外途经的每个休息区都各休息了5分钟，∴小外在滑雪道线路①共用时21.2+5×2=31.2（分钟），∵AN=3∴NK=AN−AK=1558.8−919.38=639.42（米），∴EL=KN=639.42米，∴ME=ML+EL=2000+639.42=2639.42（米），∵△CDM是等腰直角三角形，∴MD=MC=1819.9米，∴滑雪道线路②全程=AE+ME+MD=1300+2639.42+1819.9=5759.32（米），∴小外的爸爸滑行的时间是5759.32÷3≈1919.8（秒）≈32.0（分钟），∵小外的把爸爸比小外又晚出发2分钟，∴小外先到达终点D．11．解：（1）目标P的仰角是图②中的∠POC

目标P的仰角与图②中的∠NOG相等证明∵∠COG=90∘，∴∠POC+∠CON=∠GON+∠CON，∴∠POC=∠GON；（2）解：由题意可得，O1O2由图可得，tanβ=PDO∴O2D=∵O∴2=PD∴PD=2∴PH=PD+DH=2tan故PH的值为5212．（1）解：∵AB=2，∴点A的横坐标为−2，∵A点在反比例函数y=−8∴y=−8∴A(−2,4)．（2）解：∵A(−2,4)∴AB=2，BO=4，∴AO=2∵CD垂直平分AO，∴OC=12AO=∵∠DOE=90°，∴∠1+∠3=90°=∠2+∠3，∴∠1=∠2，∴sin∠1=∴OCOE=AB解得：OE=5．13．（1）解：作DE⊥BC于E，AF⊥BC于F，由题意得，BC=30×76=35∵∠BAF=45°,∠ACF=53°，∴BF=AF=x，∴x+3解得，x=20，∴34∴AC=A∴CD=AD−AC=75，∴DE=CD⋅sin答：AC的距离为25海里，点D到直线BC的距离为60海里；（2）能，理由如下：设1小时后，海警船到达点G，菲律宾渔船到达点H，则DG=40，CH=30，由（1）知CE=CD⋅cos∴HE=CE−CH=15，GE=DE−DG=20，由勾股定理，得：GH=故可以侦测到菲律宾渔船．14．解：如图，由题意得，AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠BEA+∠BAE=90°，∠ECD+∠DEC=90°，∵∠MEN=90°，∴∠BEA+∠DEC=90°，∴∠BAE=∠DEC，∴tan即BEAB设AB=CD=x，可得，9x解得x=18，经检验，x=18是原方程的解，答：两栋楼的高度为18m15．（1）解：如图所示：过点D作DH⊥FE于点H，∵i=DH∴设DH=xm，EH=∵∠DHE=90°,DE=2.4m∴DH∴x2解得：x=±1.2，（负值舍去），∴CF=DH=1.2m∴坡面DE的铅直高度为1.2m（2）设AM=ym∵∠AMI=90°,∠AIM=45°，∴∠MAI=45°，∴∠MAI=∠AIM，∴MI=AM=ym∵∠AHM=35°，∴tan35°=∴yMH∴MH≈y∵MH−MI=8.1，∴y0.7∴y=18.9，∴AM=18.9m∴AF=AM+MF=18.9+1.64=20.54m∴AC=AF−CF=20.54−1.2=19.34m∴纪念碑的实际高度AC为19.34m16．（1）解：如图2，过C作CM⊥AB，垂足为M，又过D作DN⊥AB，垂足为N，过C作CG⊥DN，垂足为G，则∠DCG=60°．则四边形CMNG为矩形，CM=NG，∵AC=BC=60cm，AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°∴∠A=∠B=30°，则在Rt△AMC中，CM=∵在Rt△CGD中，sin∠DCG=DG∴DG=CD⋅sin又GN=CM=30cm，前后车轮半径均为5∴扶手前端D到地面的距离为DG+GN+5=253（2）解：∵EF∥CG∥AB，∴∠EFH=∠DCG=60°，∵CD=50cm，椅子的支点H到点C的距离为10cm，∴FH=20cm如图2，过E作EQ⊥FH，垂足为Q，设FQ=x，在Rt△EQF中，∠EFH=60°∴EF=2FQ=2x，EQ=3在Rt△EQH中，∠EHD=45°∴HQ=EQ=3∵HQ+FQ=FH=20cm∴3解得x=103∴EF=210答：坐板EF的宽度为20317．（1）解：如图所示，延长CD，交AB于点F，由题意得：CD=MN=132，DF=BN，∠AFD=90°，CM=DN=BF=1.6，设DF=x，则CF=x+132，在Rt△ADF中，∠ADF=45°∴AF=x，在Rt△ACF中，∠ACE=30°，tan∴x≈182，经检验x≈182是原方程的解且符合题意，∴AB=AF+BF=182+1.6≈184米∴桥塔的高度约为184米（2）解：延长QG交AB于点M，由题意可知QM⊥AB，AB=184∵∠AQG=30°，∠BQG=60°，∠A=60°，∠B=30°，设AM=y，则BM=184−y，tan∠A=tan∠B=tan30°解得：y≈46.2∴QM=AM·故Q处与AB的水平距离约为80米18．（1）解：∵sin30°=12∴sin2（2）解：成立．理由如下：在Rt△ABC中，sinα=ac，∴sin2（3）解：tanα=在Rt△ABC中，sinα=ac，∴tanα=∴tanα=19．（1）解：由题意可知：asin∵∠A=60°，∠C=45°，BC=30，∴BCsin60°=∴