高中数学竞赛试题及解题答案

浙江省高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1.集合}，且,则实数取值范围为（....）A.B..C.或D.2.若则是的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知等比数列{}：且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是（.....）A.B....C..D.4.已知复数为虚数单位），且，则（）A.B..C.或D.或5.已知直线与抛物线交于两点，为的中点，为抛物线上一个动点，若满足，则下列一定成立的是（）。A.B.其中是抛物线过的切线C.D.6.某程序框图如下，当E0.96时，则输出的K=（）A.20B.22...C..D.25,开始开始K=1，S=0S=S+1/（K(K+1)）S>=E？输出KK=K+1是否7.若三位数被7整除，且成公差非零的等差数列，则这样的整数共有（）个。A.4B.6...C.7.D88.已知一个立体图形的三视图如下，则该立体的体积为（）。A.B....C..D.112正视图：上下两个正方形12侧视图1俯视图：边长为2的正三角形9.设函数，则函数的极大值点为（）A.B..C..D.10.已知为一次函数，若对实数满足，则的表达式为（）。A.B..C.D.二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）11.若，则________________。12.已知，若当时恒大于零，则的取值范围为_____________。13.数列，则数列中最大项的值为______________。14.若，满足，则_______,________。15.设直线与曲线有三个不同的交点,且,则直线的方程为_________。16.若则______________________。17.某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动（含第一象限轴上的整点），其运动规律为或。若该动点从原点出发，经过6步运动到（6,2）点，则有__________________种不同的运动轨迹。三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分）18.已知抛物线，过轴上一点的直线与抛物线交于点两点。证明，存在唯一一点，使得为常数，并确定点的坐标。19.设二次函数在[3,4]上至少有一个零点，求的最小值。20.设满足数列是公差为，首项的等差数列；数列是公比为首项的等比数列，求证：。四、附加题：（本大题共有2小题，每题25分，共50分。）21.设证明。22.从0,1,2，…，10中挑选若干个不同的数字填满图中每一个圆圈称为一种“填法”，若各条线段相连的两个圆圈内的数字之差的绝对值各不相同，则称这样的填法为“完美填法”。(图2)A2A(图2)A2A11071079651（图1）AA3AA4AA5AA7A8A8A6浙江省高中数学竞赛答案一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1.答案C要使，则或。解得或。2.答案D若。当，但。3.答案B计算得。4.答案D5.答案B。6.答案C7.答案D设三位数为由。所以，所有的三位数为8.答案D从图中可知，立体是由两个三棱柱组成。9.答案B由图象可知为函数极大值点，是极小值点，不是极值点。10.答案C。二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）11.解答：由，所以。12.解答由等号在取得，即。13.解答为极大值点，所以数列最大项为第三项，其值为。14.解答把等式看成关于的一元二次方程。15.解答曲线关于（0,1）点对称，设直线方程为，则。所求直线方程为。16.解答，所以。17.解答.三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分）18.解答设（），过点直线方程为，交抛物线于联立方程组…5分……7分，……………………12分令。…………17分19.解法1由已知得，设为二次函数在[3,4]上的零点，则有，变形，……5分于是，……………12分因为是减函数，上述式子在时取等号，故的最小值为。………………17分解法2把等式看成关于的直线方程，利用直线上一点（）到原点的距离大于原点到直线的距离，即（以下同上）。20.解：首先，，-----------------2分。-----------------4分…………6分用归纳法证明。由于，即i=1成立。……8分假设成立，则。…14分所以，。归纳证明，首先，假设成立，则。……17分故命题成立。四、附加题：（本大题共有2小题，每题25分，共50分。）21.解答原命题等价于，………………10分又…………………20分故只需要证明成立。…………………25分利用已知条件，这是显然的。22.解答对图1，上述填法即为完美（答案不唯一）。………………10分对于图2不存在完美填法。因为图中一共有10条连线，因此各连线上两数之差的绝对值恰好为，1,2,3，……，1