专题11二元二次方程组的列方程（组）解应用题（5大考点5种题型）（原卷版）

专题11二元二次方程组的、列方程（组）解应用题（5大考点+5种题型）思维导图核心考点与题型分类聚焦考点一：二元二次方程考点二：二元二次方程组考点三：二元二次方程组的解法考点四：一元二次方程的应用考点五：分式方程的应用考点一：二元二次方程考点二：二元二次方程组考点三：二元二次方程组的解法(1)解二元二次方程组的基本思想：是消元和降次.(2)题型一：解方程组即方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组.方法：代入消元法；一般步骤：①将方程组中二元一次方程的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②将这个未知数所表示的代数式代入二元二次方程中，得到关于另一个未知数的一元二次方程；③解这个一元二次方程；④将求得的两个解分别代入二元一次方程，求相应的另一个未知数的值；⑤把相应的两组解写出来，即是原方程组的解.(3)题型二：解方程组（其中一个方程可以分解为两个一次因式积等于零的形式）方法：因式分解法；解法：把原方程组化为两个分别由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组，然后分别求解.考点四：一元二次方程的应用1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．6．答：写出答案．考点五：分式方程的应用1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．题型一：二元二次方程【例1】．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）写出一个二元二次方程_______________，使得该方程有一个解是．【变式1】．（2022秋·上海·八年级校考期中）二元二次方程可以化为两个一次方程，它们是______．题型二：二元二次方程组【例2】．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）下列方程组中是二元二次方程组的是（

）A． B． C． D．【变式1】．（2022秋·上海浦东新·八年级校考期中）方程组的解的情况是（

）A．有两组相同的实数解 B．有两组不同的实数解C．没有实数解 D．不能确定【变式2】．（2022春·上海静安·八年级新中初级中学校考期末）写出一个由二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组___________，使它的解是和．【变式3】．（2022秋·上海浦东新·八年级校考期中）方程组的解只有一组，则的取值范围是______．题型三：二元二次方程组的解法【例3】．（2022秋·上海·八年级期中）解方程组.【变式1】．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期末）解方程组：【变式2】．（2022秋·上海浦东新·八年级校考期中）解方程组：．【变式3】．（2022秋·上海·八年级校考期中）解方程组：【变式4】．（2022秋·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考阶段练习）解方程组：【变式5】．（2022秋·上海·八年级上海市市西初级中学校考期中）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”：②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．(1)判断分式方程与无理方程是否是“相似方程”，并说明理由；(2)已知关于x，y的方程：和，它们是“相似方程”吗？如果是，请写出它们的公共解；如果不是，请说明理由；(3)已知关于x，y的二元一次方程：和（其中k为常数）是“相伴方程”，求k的值.题型四：．一元二次方程的应用【例4】．（2023秋•黄浦区期末）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．问当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？【变式1】．（2023春•长宁区校级月考）某商店以每件20元的价格购进一批文具盒，然后以每只30元的价格出售，结果每周可以售出400只，后来经过市场调查发现：当单价每提高0.5元，每周销售量会少10只，如果某一周销售这种文具盒的总利润是4500元，那么这周每只文具盒的售价为多少元？【变式2】．（2021春•浦东新区期中）联华超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件，设二、三这两个月月平均增长率不变．（1）求二、三这两个月的月平均增长率．（2）从四月份起，联华超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，销售单价与月平均销售的关系如下表：销售单价（元34353637383940月平均销售量（件430425420415410405400若要使利润达到4250元，且尽可能多的提升月平均销售量，则销售单价应定为多少元？【变式3】．（2021春•浦东新区月考）阿里巴巴电商扶贫对某贫困地区一种特色农产品进行网上销售，按原价每件300元出售，一个月可卖出100件，通过市场调查发现，售价每件每降低10元，月销售件数增加20件．已知该农产品的成本是每件200元，在保持月利润不变的情况下，尽快销售完毕，则售价应定为多少元？题型五：分式方程的应用【例5】．（2023春•杨浦区期末）近年来，我国逐步完善养老金保险制度．甲、乙两人计划分别缴纳养老保险金12万元和8万元，虽然甲计划每年比乙计划每年多缴纳养老保险金0.1万元，但是甲计划缴纳养老保险金的年数还是比乙要多4年，已知甲、乙两人计划缴纳养老保险金的年数都不超过20年，求甲计划每年缴纳养老保险金多少万元？【变式1】．（2023春•松江区期末）松江区于4月22日，举办“”上海余山半程马拉松比赛．主办方打算为参赛选手定制一批护膝，并交由厂家完成．已知厂家要在规定的天数内生产3600对护膝，但由于参赛选手临时增加，不但要求厂家在原计划基础上增加的总量，而且还要比原计划提前3天完成．经预测，要完成新计划，平均每天的生产总量要比原计划多20对，求原计划每天生产多少对护膝．【变式2】．（2022春•静安区校级期中）甲、乙两城间的铁路路程为1600千米，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加了20千米时，列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有条件下安全行驶速度不得超过140千米时，请你用学过的知识说明在这条铁路的现有条件下列车是否还可以再次提速．【变式3】．（2023春•浦东新区校级期末）甲、乙两位同学同时从学校出发，骑自行车前往距离学校10千米的郊野公园．已知甲同学比乙同学平均每小时多骑行2千米，甲同学在路上因事耽搁了15分钟，结果两人同时到达公园．问：甲、乙两位同学平均每小时各骑行多少千米？一、单选题1．（2023下·上海·八年级专题练习）下列方程组中是二元二次方程组的是（

）A．B． C． D．2．（2023下·上海宝山·八年级统考期末）上海市16个区共约1326条健身步进和绿道，甲、乙两人沿着总长度为9千米的“健身步道”行走，甲的速度是乙的1.5倍，甲比乙提前15分钟走完全程，如果设乙的速度为x千米/时，那么下列方程中正确的是（

）A． B． C． D．3．（2023下·八年级单元测试）方程组的解是（）A． B． C． D．4．（2023下·上海·八年级专题练习）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积x万平方米，则下面所列方程中正确的是（）A． B．C． D．5．（2023下·上海·八年级专题练习）二元二次方程组的解的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2023下·上海浦东新·八年级上海市进才中学北校校考阶段练习）方程组有实数解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题7．（2023下·八年级单元测试）已知方程组，消去y，化简后所得到的方程是．8．（2023下·上海·八年级上海民办南模中学校考阶段练习）写出一个二元二次方程组，使它的的解是和．9．（2023下·上海浦东新·八年级统考期末）写出二元二次方程的一对整数解是．10．（2023下·八年级单元测试）把方程组，化成两个二元二次方程组是．11．（2023下·八年级单元测试）方程组的解只有一组，则的取值范围是．12．（2023下·八年级单元测试）把方程化为两个二元一次方程，它们是和．13．（2023下·上海·八年级专题练习）已知二元二次方程组有一组解是，写出一个符合上述条件的二元二次方程组为．14．（2023下·上海·八年级专题练习）甲乙两人加工一批零件，甲先加工了一半，然后乙加工了剩下部分，前后共用了10天完成，如果甲乙两人一起加工，6天可加工完，如设甲、乙两人单独加工完成这批零件各需x天．y天可列方程组为．15．（2023下·上海·八年级期中）某工人要完成个零件，起初机器出现故障，每分钟比原计划少加工个零件，加工个零件后，换了一台新机器，每分钟比原计划多加工个零件．已知用新机器加工零件的时间比前面用旧机器加工零件的时间少分钟，设原计划每分钟加工个零件，则可列方程为：．三、解答题16．（2023下·上海黄浦·八年级统考期末）解方程组：17．（2023下·上海虹口·八年级上外附中校考期末）．18．（2023下·上海虹口·八年级上外附中校考期末）．19．（2023下·上海浦东新·八年级校考期末）．20．（2023下·上海杨浦·八年级统考期末）解方程组：21．（2023下·上海静安·八年级上海市回民中学校考期中）甲、乙两家便利店到批发站采购一批饮料，共25箱，由于两店所处的地理位置不同，因此甲店的销售价格比乙店的销售价格每箱多10元．当两店将所进的饮料全部售完后，甲店的营业额为1000元，比乙店少350元，求甲、乙两店各进货多少箱饮料？22．（2023下·上海杨浦·八年级统考期末）近年来，我国逐步完善养老金保险制度．甲，乙两人计划分别缴纳养老保险金12万元和8万元，虽然甲计划每年比乙计划每年多缴纳养老保险金0.1万元，但是甲计划缴纳养老保险金的年数还是比乙要多4年，已知甲、乙两人计划缴纳养老保险金的年数都不超过20年，求甲计划每年缴纳养老保险金多少万元？23．（2023下·上海杨浦·八年级校考期中）小正同学带着48元钱去水果店买水果，看到水果店里的苹果比梨每千克贵2元，数学能手小正同学发现：如果将48元全部买苹果就比将48元全部买梨少4千克，最后，小正同学用42元买了这两种水果，且两者的千克数相同．(1)这家水果店的苹果和梨每千克的价格各是多少元？(2)小正同学最终买了多少千克的水果？24．（2023下·上海虹口·八年级统考期末）已知甲、乙两地相距千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发前往乙地，轿车比货车晚出发2小时，轿车每小时比货车多行驶30千米，最后同时到达．

(1)求货车的速度；(2)设货车行驶时间为x小时，离甲地的距离是y千米，如图，线段分别表示货车、轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系，那么点A的坐标是；线段对应的函数解析式为．（不需要写出定义域）25．（2023下·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考阶段练习）某厂家接到定制5400套防护服任务，可以