高考文科数学一轮复习练习第七篇第3节　空间点直线平面之间的位置关系

第3节空间点、直线、平面之间的位置关系【选题明细表】知识点、方法题号平面的基本性质3,8点、线、面的位置关系1,2,4,6,9,10,12异面直线所成的角5,7,11,12,13基础巩固(时间:30分钟)1.已知命题p:a,b为异面直线,命题q:直线a,b不相交,则p是q的(A)(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:由a,b为异面直线,可得到a,b不相交,但a,b不相交不能得到a,b异面,所以p是q的充分不必要条件,故选A.2.设A,B,C,D是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是(D)(A)若AC与BD共面,则AD与BC共面(B)若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线(C)若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BC(D)若AB=AC,DB=DC,则AD=BC解析:ABCD可能为平面四边形,也可能为空间四边形,A,B,C均正确,D不正确.故选D.3.下列命题中,真命题的个数为(B)①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点,那么这两个平面重合;②两条直线可以确定一个平面;③空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内;④若M∈α,M∈β,α∩β=l,则M∈l.(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:①是真命题;两条异面直线不能确定一个平面,②假;在空间,相交于同一点的三条直线不一定共面,③假;④是真命题.故选B.4.设a,b是互不垂直的两条异面直线,则下列命题成立的是(C)(A)存在唯一直线l,使得l⊥a,且l⊥b(B)存在唯一直线l,使得l∥a,且l⊥b(C)存在唯一平面α,使得a⊂α,且b∥α(D)存在唯一平面α,使得a⊂α,且b⊥α解析:符合A的l有无数条,A不正确;由l∥a,且l⊥b,可得a⊥b,与题设矛盾,B不正确;由a⊂α,且b⊥α,可得a⊥b,与题设矛盾,D不正确.故选C.5.空间四边形两对角线的长分别为6和8,所成的角为45°,连接各边中点所得四边形的面积是(A)(A)62 (B)12 (C)122 (D)242解析:设连接各中点的四边形EFGH,则四边形EFGH为平行四边形,相邻边为3,4,且有一角45°,故S四边形EFGH=3×4·sin45°=62,故选A.6.已知m,n是两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,有下列四个命题:①若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;②若m∥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;③若m⊥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;④若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n.其中所有正确的命题是(A)(A)①④ (B)②④ (C)① (D)④解析:借助于长方体模型来解决本题,对于①,可以得到平面α,β互相垂直,如图(1)所示,故①正确;对于②,平面α,β可能垂直,如图(2)所示,故②不正确;对于③,平面α,β可能垂直,如图(3)所示,故③不正确;对于④,由m⊥α,α∥β可得m⊥β,因为n∥β,所以过n作平面γ,且γ∩β=g,如图(4)所示,所以n与交线g平行,因为m⊥g,所以m⊥n,故④正确.故选A.7.在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(D)(A)15 (B)25 (C)3解析:连接BC1,易证BC1∥AD1,则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角.连接A1C1,由AB=1,AA1=2,则A1C1=2,A1B=BC1=5,故cos∠A1BC5+5-22×5×5=48.若平面α,β相交,在α,β内各取两点,这四点都不在交线上,这四点能确定个平面.

解析:如果这四点在同一平面内,那么确定一个平面;如果这四点不共面,则任意三点可确定一个平面,所以可确定四个.答案:1或49.(2017·福建六校联考)设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题:①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a⊥b,b⊥c,则a∥c;③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;④若a⊂平面α,b⊂平面β,则a,b一定是异面直线.上述命题中正确的命题是(写出所有正确命题的序号).

解析:①正确;当a⊥b,b⊥c时,a与c可以相交、平行或异面,故②错;当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故③错;a⊂α,b⊂β,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故④错.答案:①能力提升(时间:15分钟)10.已知a,b,c为三条不同的直线,且a⊂平面α,b⊂平面β,α∩β=c.①若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交;②若a不垂直于c,则a与b一定不垂直;③若a∥b,则必有a∥c;④若a⊥b,a⊥c,则必有α⊥β.其中正确的命题的个数是(C)(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①正确;②中平面α⊥平面β时,若b⊥c,则b⊥平面α,此时不论a,c是否垂直,均有a⊥b,故②错误;③中当a∥b时,则a∥平面β,由线面平行的性质定理可得a∥c,故③正确;④中若b∥c,则a⊥b,a⊥c时,a与平面β不一定垂直,此时平面α与平面β也不一定垂直,故④错误.故选C.11.直三棱柱ABCA1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1(A)110 (B)(C)3010解析:如图,取BC的中点D,连接MN,ND,AD,由于MN12B1C1因此有NDBM,则ND与NA所成角即为异面直线BM与AN所成角.设BC=2,则BM=ND=6,AN=5,AD=5,因此cos∠AND=ND2+12.如图所示,是正方体的平面展开图,在这个正方体中,①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;③CN与BM成60°角;④DM与BN垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是.

解析:如图所示,把正方体的平面展开图还原成原来的正方体,显然BM与ED为异面直线,故命题①不成立;而CN与BE平行,故命题②不成立;因为BE∥CN,所以CN与BM所成角为∠MBE,因为∠MBE=60°,故③正确;因为BC⊥平面CDNM,所以BC⊥DM,又因为DM⊥NC,所以DM⊥平面BCN,所以DM⊥BN,故④正确.故填③④.答案:③④13.如图所示,三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E是PC的中点.(1)求证:AE与PB是异面直线;(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值;(3)求三棱锥AEBC的体积.(1)证明:假设AE与PB共面,设平面为α,因为A∈α,B∈α,E∈α,所以平面α即为平面ABE,所以P∈平面ABE,这与P∉平面ABE矛盾,所以AE与PB是异面直线.(2)解:取BC的中点F,连接EF,AF,则EF∥PB,所以∠AEF或其补角就