海南省海口市2023-2024学年高一下学期期末考试数学

机密★启用前海口市2023～2024学年第二学期高一年级期末考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若集合，，则（）A B. C. D.2.复数z=(其中i是虚数单位)，则z共轭复数=（）A. B. C. D.3.已知向量，，若与共线，则（）A.3 B. C. D.4.已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（）A. B. C. D.5.陀螺是中国民间较早娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，为圆锥的顶点，，分别为圆柱上、下底面圆的圆心，若圆锥的底面周长为，高为3，圆柱的母线长为4，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.6.已知，，则（）A. B. C. D.7.若函数，（，）图象的相邻两个对称中心之间的距离为，且恒成立，则（）A. B. C. D.8.中，角，，的对边分别为，，，，，边上的中线为，则的面积为（）A. B. C.3 D.4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.“绿水青山就是金山银山”.海口市始终坚持生态优先，绿色低碳发展，空气质量长期领“鲜”全国.数据显示，2023年海口市空气质量创历史最高水平，位居全国168个重点城市之首.生活中常用空气质量指数（AQI）描述空气质量，AQI越小，表示空气质量越好.下表为2024年3月18日～3月24日一周内海口市和同为空气质量排行榜前十的“某市”的空气质量指数（AQI），这组数据中，以下表述正确的是（）A.海口市这一周AQI的平均数为22B.“某市”这一周AQI的中位数为40C.两市这一周AQI指数的方差或标准差可以反映出两市空气质量变化的稳定情况D.海口市这一周AQI指数的方差大于“某市”这一周AQI指数的方差10.设函数，，下列关于和的性质，正确的是（）A.对任意的，，B.对任意的，且，C.函数是定义域为的奇函数D.函数在定义域上是增函数11.如图，棱长为1正方体中，点，，分别为棱，，的中点，点为棱上的动点，点为侧面内动点，与侧面成角为，则下列说法中正确的是（）A.动点所在轨迹长为B.平面平面C.平面截正方体所得的截面图形始终是四边形D.点和点到平面的距离相等三、填空题：本题共3小题，每小题5分，第14题第一问2分，第二问3分，共15分.12.复数（）在复平面上对应的点在第四象限，，则______.13.平面向量，为单位向量，且，则______.14.已知三棱锥的顶点都在球的表面上，平面，与底面所成的角为，，，的面积为，所在的平面与球的交线长为______，球的表面积为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.为贯彻落实中央和省委相关部署要求，海口市大力开展人才引进工作.现组织公开招聘，共有100名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在内，将笔试成绩按照，，…，分组，得到如图所示频率分布直方图.（1）求全体应聘者笔试成绩的第75百分位数和平均数（每组数据以区间中点值代表）；（2）若计划面试60人，请估计参加面试的最低分数线（四舍五入取整数）.16.已知函数（），直线是函数的图象的一条对称轴.（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）若，求函数的值域.17.已知函数，的最小值为.（1）求的值；（2）求的解集；（3）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，求周长的取值范围.18.如图，有一块形如四棱锥的木料，平面，底面为菱形，，分别为和的中点.（1）要经过点，和将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（在答题卡的图中作出辅助线即可）指出与平面的位置关系，并证明；（2）若，，，求二面角的大小；（3）试求切割开的两部分木料的体积之比.19.函数称为高斯函数，其中“”表示不超过实数的最大整数，又称“的整数部分”.高斯函数在数论、函数绘图和计算机等领域有广泛的应用，我们记.（1）设方程的两个不同实数解为与，且，求的值；（2）请确认是否存在函数：，满足对，都有：①；②同时成立.（3）求证：对，，.机密★启用前海口市2023～2024学年第二学期高一年级期末考试（数学）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出集合，再根据交集的定义计算可得.【详解】由，则，所以，又，所以.故选：C2.复数z=(其中i是虚数单位)，则z的共轭复数=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合复数的除法运算可得，再由共轭复数的概念即可得解.【详解】，故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算及共轭复数的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.3.已知向量，，若与共线，则（）A.3 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量共线的坐标表示，列方程即可求解.【详解】因为向量，，与共线，所以，解得，故选：D.4.已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角函数的定义求出，，再由诱导公式计算可得.【详解】因为角的终边经过点，所以，，所以.故选：C5.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，为圆锥的顶点，，分别为圆柱上、下底面圆的圆心，若圆锥的底面周长为，高为3，圆柱的母线长为4，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设圆锥（圆柱）的底面圆的半径为，圆锥的母线为，根据圆锥的底面周长求出，再由勾股定理求出，最后由表面积公式计算可得.【详解】设圆锥（圆柱）的底面圆的半径为，圆锥的母线为，依题意可得，解得，所以，所以该几何体的表面积.故选：A6.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用切化弦的思想和两角和差公式即可求解【详解】因为，所以，即，所以，又，所以.故选：C.7.若函数，（，）图象的相邻两个对称中心之间的距离为，且恒成立，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据周期求出，再根据为最大值求出.【详解】因为图象的相邻两个对称中心之间的距离为，所以，即，又，所以，解得，所以，又恒成立，所以，解得，又，所以.故选：B8.中，角，，的对边分别为，，，，，边上的中线为，则的面积为（）A. B. C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出，再用向量的方法表示中线，再由余弦定理可得的值，进而求出该三角形的面积．【详解】因为，由正弦定理可得，由余弦定理可得，可得，而，可得，由余弦定理可得，即，①因为边上的中线为，设中线为，则，两边平方可得，即，②②①可得，即，所以．故选：A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.“绿水青山就是金山银山”.海口市始终坚持生态优先，绿色低碳发展，空气质量长期领“鲜”全国.数据显示，2023年海口市空气质量创历史最高水平，位居全国168个重点城市之首.生活中常用空气质量指数（AQI）描述空气质量，AQI越小，表示空气质量越好.下表为2024年3月18日～3月24日一周内海口市和同为空气质量排行榜前十的“某市”的空气质量指数（AQI），这组数据中，以下表述正确的是（）A.海口市这一周AQI的平均数为22B.“某市”这一周AQI的中位数为40C.两市这一周AQI指数的方差或标准差可以反映出两市空气质量变化的稳定情况D.海口市这一周AQI指数的方差大于“某市”这一周AQI指数的方差【答案】AB【解析】【分析】由散点图计算平均数和中位数判断A、B;根据方差的意义和散点图分析数值波动程度可判定C、D.【详解】对于A，根据散点图分析可知，海口市这一周AQI的平均数为，A正确对于B，观察散点图“某市”这一周AQI有，可知中位数为40，B正确；对于C，两市这一周AQI指数的方差或标准差不能完全反映出两市空气质量变化的稳定情况，C错误；对于D.根据散点图观察海口市这一周AQI指数的波动小于“某市”这一周AQI指数的波动，所以海口市这一周AQI指数方差小于“某市”这一周AQI指数的方差，D错误；故选:AB.10.设函数，，下列关于和的性质，正确的是（）A.对任意的，，B.对任意的，且，C.函数是定义域为的奇函数D.函数在定义域上是增函数【答案】AC【解析】【分析】根据对数的运算性质分析A，由基本不等式分析B，由函数奇偶性的判断方法分析C，由复合函数单调性的判断方法分析D．【详解】对于A：对任意的，，，故A正确；对于B：对任意的，且，，，由基本不等式，由于，且，，即，故B错误；对于C，，必有，解可得，即函数的定义域为，又由，即函数是定义域为的奇函数，故C正确；对于D，，设，易得在区间上为减函数，而在其定义域上为增函数，故函数在定义域上是减函数，故D错误．故选：AC．11.如图，棱长为1的正方体中，点，，分别为棱，，的中点，点为棱上的动点，点为侧面内动点，与侧面成角为，则下列说法中正确的是（）A.动点所在轨迹长为B.平面平面C.平面截正方体所得的截面图形始终是四边形D.点和点到平面的距离相等【答案】ABD【解析】【分析】对于A：得出点在以为圆心，1为半径的圆弧上，即可求解；对于B：通过条件证出平面，即可得证；对于C：通过条件得出平面截正方体的图形还可以是五边形，即可判断；对于D：根据为中点，得到点和到平面的距离相等，即可判断．【详解】对于A，因为平面，连接，则即为与侧面成角，所以，则，所以点在以为圆心，为半径的圆弧上，圆弧长为，故A正确；对于B，在正方形内，，，又，所以，所以，又平面，平面，所以，，平面，，所以平面，平面，所以平面平面，故B正确；对于C，取的中点，当与重合时，连接，则有，，，，四点共面，即平面截正方体的图形是四边形，如下图：当点在线段上时，在平面内作直线，交的延长线于，交于，连接，因为，所以，，，四点共面，平面，，即平面截正方体的图形是五边形，故C错误；对于D：因为为中点，所以点和到平面的距离相等，故D正确．故选：ABD．【点睛】关键点点睛：对于A关键是确定线面角，从而确定动点的轨迹长度，对于C，关键是分类讨论要全面.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，第14题第一问2分，第二问3分，共15分.12.复数（）在复平面上对应的点在第四象限，，则______.【答案】【解析】【分析】根据复数几何意义得到，再根据复数的模计算可得.【详解】复数（）在复平面上对应的点在第四象限，所以，又，解得（舍去）或.故答案为：13.平面向量，为单位向量，且，则______.【答案】【解析】【分析】根据平面向量数量积运算法则和性质即可求解.【详解】因为平面向量，为单位向量，所以因为，所以，所以；所以；即.故答案为：.14.已知三棱锥的顶点都在球的表面上，平面，与底面所成的角为，，，的面积为，所在的平面与球的交线长为______，球的表面积为______.【答案】①.②.【解析】【分析】根据已知条件结合正弦定理得出三角形外接圆半径为，再利用勾股定理求出球半径，即可求解．【详解】平面，平面，所以，又与底面所成的角为，即，，，，又因为，取的中点，连接，因为，所以，所以，即，解得，所以，所以，所以，设三角形外接圆半径为，则，解得，所以所在平面与球的交线长即为外接圆周长，即，设球到平面的距离为，则有，解得，从而球半径为，所以球的表面积为．故答案为：；．【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.为贯彻落实中央和省委相关部署要求，海口市大力开展人才引进工作.现组织公开招聘，共有100名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在内，将笔试成绩按照，，…，分组，得到如图所示频率分布直方图.（1）求全体应聘者笔试成绩的第75百分位数和平均数（每组数据以区间中点值代表）；（2）若计划面试60人，请估计参加面试的最低分数线（四舍五入取整数）.【答案】（1）第百分位数为，平均数为（2）【解析】【分析】（1）根据百分位数及平均数计算规则计算可得；（2）设最低分数线定为，首先判断，从而得到方程，解得即可.【小问1详解】因为，，所以第百分位数位于，设为，则，解得，所以第百分位数为，平均数；【小问2详解】设最低分数线定为，由频率分布直方图可得，分数在的人数为人；分数在的人数为人；所以，则，解得，所以可估计参加面试最低分数线分.16.已知函数（），直线是函数的图象的一条对称轴.（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）若，求函数的值域.【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为（2）【解析】【分析】（1）根据对称性求出，即可求出函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）根据的取值范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得.【小问1详解】因为直线是函数的图象的一条对称轴，所以，解得，又，所以，所以，所以函数的最小正周期，令，解得，所以函数的单调递增区间为.【小问2详解】因为，所以，所以，所以，即在上的值域为.17.已知函数，的最小值为.（1）求的值；（2）求的解集；（3）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，求周长的取值范围.【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）化简，求出最小值，建立关于的方程，解方程得解；（2）解三角函数方程可得或，最后写成集合形式得解；（3）求周长范围转化为求的范围，然后利用正弦定理边化角，利用三角函数知识即可求得取值范围.【小问1详解】因为的最小值为，所以当时，，所以.【小问2详解】由（1）知，，则，即，所以或，解得或，，的解集为：或.【小问3详解】因为在锐角中，，，，所以，即所以，所以，设的外接圆半径为R，则有所以所以又所以，所以，所以周长的取值范围为18.如图，有一块形如四棱锥的木料，平面，底面为菱形，，分别为和的中点.（1）要经过点，和将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（在答题卡的图中作出辅助线即可）指出与平面的位置关系，并证明；（2）若，，，求二面角的大小；（3）试求切割开的两部分木料的体积之比.【答案】（1）作图见解析，平面，证明见解析（2）（3）（或）【解析】【分析】（1）取的中点，连接、、，再证明四边形为平行四边形，从而得到，即可证明平面；（2）首先证明平面，过点作，连接，则为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得；（3）依题意可得，不妨设，则，连接，求出，即可得解.【小问1详解】取的中点，连接、、，作图