第02讲空间向量基本定理（秋季讲义）（人教A版2019选择性）（原卷版）

第02讲空间向量基本定理【人教A版2019】模块一模块一空间向量基本定理1．空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．2．用基底表示向量的步骤:(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．(3)下结论：利用空间的一个基底{，，}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，，，不能含有其他形式的向量．3．空间向量的正交分解(1)单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．(2)向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．【题型1用空间基底表示向量】【例1.1】（2324高一下·安徽·阶段练习）在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC,△ABC重心为点G，棱B1C1A．−13aC．16a−【例1.2】（2324高二上·安徽宣城·期末）在三棱柱ABC−A1B1C1中，E,F分别是BC,CCA．13AB−C．−23AB【变式1.1】（2324高二上·陕西宝鸡·期末）如图，在四面体OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M、N分别在线段OA、BC上，且2OM=MA，A．−13aC．13a−【变式1.2】（2324高三上·山东临沂·期末）正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点．记AB1=a，A．14a+C．14a+【题型2由空间向量基本定理求参数】【例2.1】（2324高二上·河南南阳·期末）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，A1A．1 B．43 C．32 【例2.2】（2324高二下·甘肃兰州·期末）已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点，PA⊥平面ABCD，点M,N满足PM=12PC，PN=23A．−1 B．1 C．−12 【变式2.1】（2324高二上·广东江门·阶段练习）如图，在三棱锥O−ABC中，点G为底面△ABC的重心，点M是线段OG上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱OA，OB，OC于点D，E，F，若OD=kOA，OE=mOB，OF=nA．133 B．23 C．32【变式2.2】（2324高二下·江苏南通·期末）已知P是△ABC所在平面外一点，M是BC的中点，若AM=xPA+yA．x+y+z=0 B．x+y+z=1C．x−y−z=1 D．x−y−z=−1【题型3正交分解】【例3.1】（2324高二上·河北·期中）已知BD⊥平面ABC，AB⊥BC，BD=1，AB=2，BC=3，则空间的一个单位正交基底可以为（

）A．13BC,C．BC,BD,【例3.2】（2324高二上·河南洛阳·阶段练习）已知a,b,c是空间的一个单位正交基底，向量p=a+2b+3A．32,−12,3 B．−3【变式3.1】（2324高二上·江西抚州·期末）已知a,b,c是空间的一个基底，a+b,a−b,c是空间的另一个基底，一向量A．4,0,3 B．3,1,3 C．1,2,3 D．2,1,3【变式3.2】（2324高二上·湖北武汉·阶段练习）已知a,b,c是空间的一组单位正交基底，若向量p在基底a,b,c下用有序实数组表示为A．34623,C．31414,模块二模块二用空间向量基本定理解决相关的几何问题1．证明平行、共线、共面问题(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.2．求夹角、证明垂直问题(1)θ为a，b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.3．求距离(长度)问题eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路:(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题；(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围；(3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得．【注】用已知向量表示某一向量的三个关键点：(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.【题型4证明平行、共线、共面问题】【例4.1】（2324高二上·上海·课后作业）四棱柱ABCD−A′B′C′D′的六个面都是平行四边形，点M在对角线A′(1)设向量AB=a，AD=b，AA′=c，用a、(2)求证：M、N、D′【例4.2】（2324高二上·福建厦门·阶段练习）已知a,b,c是空间的一个基底，且OA=3(1)求证：A，B，C，D四点共面；(2)OA,OB,【变式4.1】（2324高二上·湖北武汉·阶段练习）在正四棱锥P−ABCD中，点M,N,S分别是棱PA,PB,PC上的点，且PM=xPA,(1)若x=1,y=12，且PD//平面MNS(2)若x=23,y=12，且点D∈【变式4.2】（2324高二·全国·课后作业）已知e1,e2,e3为空间的一个基底，且OP(1)判断P,A,B,C四点是否共面；(2)能否以OA,OB,【题型5几何中的求夹角、证明垂直问题】【例5.1】（2324高二下·江苏常州·阶段练习）如图所示，平行六面体ABCD−A1B(1)用向量AB,AD,AA(2)求cosB【例5.2】（2324高二·全国·随堂练习）已知在空间四边形ABCD中，DA⊥BC，DB⊥AC，求证：DC⊥AB．【变式5.1】（2324高二上·山东聊城·阶段练习）如图，在棱长为1的正四面体OABC中，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG=2GN，设OA=a，OB=(1)试用向量a，b，c表示向量OG；(2)求cos<【变式5.2】（2324高二下·江苏常州·阶段练习）如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，

(1)求证：D，(2)当AA1AB(3)若AB=AA1=1，且A【题型6几何中的求距离(长度)问题】【例6.1】（2324高二上·山东·阶段练习）如图，空间四边形OABC中，OA=2，OB=3，OC=4，且OA,OB,OC任意两个之间的夹角均为60°，OM=2MA，

A．693 B．753 C．2【例6.2】（2324高二上·吉林·阶段练习）在三棱台ABC−A1B1C1中，AA1=AB=AC=2A1B1=2，cos∠BAA1=cosA．1794 B．1784 C．1798【变式6.1】（2324高二上·上海·期末）如图所示，在四棱锥M−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AM的长为2，且AM和AB,AD的夹角都是60°，N是CM的中点，设a=AB，b=AD，c=AM，试以a，b，【变式6.2】（2324高二上·浙江·期中）如图，空间四边形OABC中，OA=OB=OC=2，∠AOC=∠BOC=π2，∠AOB=π3，点M,N分别在OA,BC上，且

(1)以OA,OB,(2)求MN的长度.【题型7空间向量基本定理与其他知识综合】【例7.1】（2324高二上·江西·阶段练习）中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“刍童”的几何体，该几何体是上下两个底面平行，且均为矩形的六面体.现有一“刍童”ABCD−A1B1C1D1，如图所示.AB=AA1=4，A1B1=AD=2，AA．82+5 B．18 C．8【例7.2】（2324高三下·湖南长沙·阶段练习）如图，已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1的体积为V，四边形ABCD是平行四边形，点E在平面ACCA．V28 B．V21 C．3V28【变式7.1】（2324高二上·江西新余·期末）已知点D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，正实数x，y满足OD=3OC−xOA−yA．1+2 B．32+2 C．【变式7.2】（2425高二上·上海·课后作业）已知空间向量OA、OB、OC都是单位向量，且OA⊥OB，OA⊥OC，OB与OC的夹角为60°，若P为空间任意一点，且OP=1一、单选题1．（2324高一下·陕西西安·阶段练习）已知a,b,A．a+b,C．2a+b2．（2324高一下·重庆·期末）如图，在三棱锥P−ABC中，PM=2MC,N为BC的中点，设AB=a,ACA．13a+C．12a−3．（2324高二下·辽宁·阶段练习）下列选项中，不正确的命题是（

）A．若两条不同直线l，m的方向向量为v1，v2B．若OA,OB,OC是空间向量的一组基底，且OD=13OA+C．若a,b,D．若空间向量a，b，c共面，则存在不全为0的实数x，y，z使x4．（2324高二下·江苏常州·期中）如图，在平行六面体ABCD−A'B'C'D'中，A．98+562 B．C．89+562 D．5．（2324高二上·贵州黔东南·期末）如图，在三棱锥P−ABC中，点D满足PB=4PD,CD=xA．12 B．32 C．2 6．（2324高二下·江苏宿迁·期中）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，侧面A1ADD1是正方形，且∠A1AB=120°，∠DAB=60°A．3714 B．64 C．77．（2425高二上·上海·课后作业）如图，在四面体OABC中，BM=12BC，MN=12NO，AP=34A．23 B．32 C．438．（2324高二上·湖北·开学考试）在四面体ABCD中（如图），平面ABD⊥平面ACD，△ABD是等边三角形，AD=CD，AD⊥CD，M为AB的中点，N在侧面BCD上（包含边界），若MN=xAB+yAC+z

A．若x=12，则MN∥平面ACD B．若z=0C．当MN最小时，x=14 D．当MN二、多选题9．（2324高二下·甘肃兰州·期中）已知空间向量a，b，c不共面，则以下每组向量能做基底的是（

）A．a，b−a，a+b B．aC．a，b−c，a+c D．c10．（2024·山东淄博·二模）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是π3，M为A1C1与B1D1的交点．若AB=a，ADA．CM=−12C．BD1=11．（2324高二上·安徽滁州·期中）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=2，∠DAB=∠A．若点Q在平面A1B1C1D1C．当p=12时，三棱锥Q−ABD的体积为928 D．当m+n=1三、填空题12．（2425高二上·上海·单元测试）如图，在三棱锥S−ABC中，点E、F分别是SA、BC的中点，点G在EF上，且满足EGGF=12，若SA=a，SB

13．（2024高二·全国·专题练习）平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1，∠BAD=∠BA14．（2324高一下·吉林通化·期末）如图，在正四面体ABCD中，AB=3,E,F分别在棱AD,BC上，且BF=2CF,AD=3AE，若EF=xAB+yAC+zAD，则x+y+z=

四、解答题15．（2324高二下·甘肃兰州·期中）如图所示，平行六面体ABCD−A1B(1)用向量AB,AD,AA(2)求直线BD1与直线16．（2324高二下·甘肃兰州·期中）已知正四面体OABC的棱长为2，点G是△OBC的重心，点M是线段AG的中点，设OA=a，OB=(1)用a，b，c表示OM，并求出OM；(2)求证：OM⊥BC.17．（2324高二下·江苏宿迁·阶段练习）如图，三棱锥的棱长都相等，记OA=a，OB=b，OC=c，点E(1)若D是棱AB的三等分点（靠近点A），