【湖南卷】湖南省郴州市2025届高三第一次教学质量监测（郴州一模）（10.23-10.24）数学试卷（解析版）

郴州市2025届高三第一次教学质量监测试卷2【答案】D【解析】【分析】根据集合解不等式求出取值范围，再根据交集求公共部分求得结果.2}，故选：D.2.设复数的共轭复数z在复平面内对应点的坐标为()C.(-1,0)D.(0,-1)【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用复数的乘法及除法运算求出z，再求出其共轭复数对应点的坐标.【详解】依题意=-i，所以z=i在复平面内对应点的坐标为(0,1).故选：AA.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B第2页/共19页【解析】【分析】利用是否推出关系来判断充要关系即可.2-4=0，解得x=±2，故不是必要条故选：B.4.已知sinα+cosβ=，cosα=sA.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】sinα+cosβ=与cosα-sinβ=0分别平方相加，得到答案.sinα+cosβ=两边平方得sin2α+2sinαcosβ+cos2β=又cosα=sinβ,故cosα-sinβ=0，两边平方得cos2α-2cosαsinβ+sin2β=0②,式子①+②得，2+2(sinαcosβ-cosαsinβ)=故选：C5.函数f的图象大致为()第3页/共19页A.C.B.D.【答案】C【解析】【分析】利用定义判断函数奇偶性，并判断在(0,+∞)上函数值符号，即可得确定图象.【详解】由解析式，知f(x)的定义域为(-∞,0)u(0,+∞)，所以f(x)为奇函数，所以，在(0,+∞)上f(x)<0，结合各项函数图象，知：C选项满足要求.故选：CA.(-∞,0]B.[-1,0]【答案】D【解析】第4页/共19页【分析】分段函数单调递减，需满足每一段函数均单调递减，且分段处左端点函数值大于等于右端点函数值，从而得到不等式，求出答案.显然y=上单调递减，故选：D7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F满足则平面AEF截正方体ABCD-A1B1C1D1形成的截面图形为()A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形【答案】B【解析】【分析】由题意，点E是线段BB1上靠近B1的三等分点，点F是线段C1D1上靠近D1的三等分点，作出截面图形可得结论.【详解】如图，点E是线段BB1上靠近B1的三等分点，点F是线段C1D1上靠近D1的三等分点，延长AE,A1B1与交于点G，连接FG交B1C1于H，延长GF,A1D1交于点K，连接AK交DD1于I，连接IF,HE，第5页/共19页则五边形AEHFI为所求截面图形.故选：B.8.已知f(x)=memx-lnx(m≥0)，若f(x)有两个零点，则实数m的取值范围为()A.B.D.【答案】A【解析】【分析】由同构的思想可知，若f(x)有两个零点，则mxemx-xlnx=0(x>0)有两个解，即mx=lnx有两解，分离变量求导即可【详解】解：由题意可知，若f(x)有两个零点，则f(x)=memx-lnx=0有两个解，等价于mxemx-xlnx=0(x>0)有两令g(t)=tlnt，原式等价于g(mx)=g(lnx)有两个解，mx=x有两个大于零的解.所以hx在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减图像如图：所以当0<m<时，有两个交点，即f(x)有两个零点.故选：A【点睛】方法点睛：当两个函数可以构造成相同的形式时，常用同构的思想，构造函数，将两个函数看成自变量不同时的同一函数，若函数有交点，转化为自变量有交点求解.第6页/共19页9.下列命题中正确的是()A.已知随机变量B.已知随机变量D.样本甲中有m件样品，其方差为s，样本乙中有n件样品，其方差为s，则由甲乙组成的总体样本的方差为【答案】ABC【解析】【分析】利用二项分布的期望公式及期望性质可判断A，利用正态曲线的对称性可判断B，根据百分位数的求法可判断C，利用两组数据方差的特征可判断D.对于A，因为X~B所以所以E(2X+1)=2E(X)+1=4，故A正确；对于B，因为随机变量，所以f，故B正确； 对于D，记样本甲，乙的平均数分别为x,y，由甲乙组成的总体样本的平均数为w，则甲乙组成的总体样本的方差为故D不正确.故选：ABC.10.已知曲线C:x2cosθ+y2sinθ=1，θ∈(0,π)，则下列说法正确的是()A.若cosθ=0，则曲线C表示两条直线B.若cosθ>0，则曲线C是椭圆C.若cosθ<0，则曲线C是双曲线D.若cosθ=-sinθ,则曲线C的离心率为·第7页/共19页【答案】ACD【解析】【分析】根据cosθ、sinθ的取值范围，将曲线化为标准方程，进而进行判断即可.【详解】由题意，曲线C:x2cosθ+y2sinθ=1，θ∈(0,π)，若cosθ=0，则sinθ=1，此时曲线C:y=±1，表示两条直线，故A正确；若cosθ>0，又θ∈(0,π)，则sinθ>0，曲线C:x2cosθ+y2sinθ=1，可化为，cosθsinθ当cosθ=sinθ时，则曲线C表示圆，当cosθ≠sinθ时，则曲线C表示椭圆，故B错误；若cosθ<0，又θ∈(0,π)，则sinθ>0，则曲线C表示双曲线，故C正确；若cosθ=-sinθ,又θ∈(0,π)，22 则曲线C为等轴双曲线，离心率为·2，故D正确.故选：ACD.11.在正三棱台ABC-DEF中，AB=6，DE=2，且等腰梯形所在的侧面与底面ABC所成夹角的正切值均为2，则下列结论正确的有() A.正三棱台ABC-DEF的高为43B.正三棱台ABC-DEF的体积为C.AD与平面ABC所成角的正切值为1D.正三棱台ABC-DEF外接球的表面积为【答案】BCD【解析】【分析】将正棱台补全为一个正棱锥P-ABC，结合正棱台、正棱锥的结构特征求台体的高、体积及侧棱第8页/共19页与底面夹角正切值，由确定棱台外接球球心位置，建立等量关系求半径，进而求外接球表面积.【详解】将正棱台补全为一个正棱锥P-ABC，如下图示，其中O1,O2分别为上下底面的中心，G,H为EF,BC的中点，易知PH丄BC,AH丄BC，则上PHA为等腰梯形所在的侧面与底面ABC所成夹角，所以OA2=+12=故外接球表面积为，D对.故选：BCD【答案】48第9页/共19页【解析】【分析】由等差数列前n项和的性质以及基本量的运算转化S3+S7，再用a1,d表示19a3+a11，借助于两者之间的关系计算结果.故答案为：4813.从数字1，2，3，4中随机取一个数字，第一次取到的数字为i(i=1,2,3,4)，再从数字1，ⅆ,i中随机取一个数字，则第二次取到数字为3的概率是.【答案】【解析】【分析】利用互斥事件加法公式和全概率公式求解即可.事件B为“第二次取到的数字为3”，由题意知A1,A2,A3,A4是两两互斥的事件，且A1UA2UA3UA4=Ω（样本空间+P(A4)P(BA4)故答案为：. 14.已知抛物线y2=4x，从抛物线内一点A(2,·2)发出平行于x轴的光线经过扡物线上点B反射后交抛物线于点C，则VABC的面积为. 【答案】【解析】【分析】根据抛物线求出交点横坐标，再结合面积公式与抛物线的焦点弦的性质求解即可.【详解】由抛物线的光学性质知，直线BC与x轴的交点为抛物线的焦点，y2=4x的焦点为(1,0)，故BC与x轴的交点横坐标为1，第10页/共19页根据题意，画出草图，如下图所示，所以BC方程为：y-0=∴VABC的AB边上的高为，故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，充分了解抛物线的光学性质，从而得解.15.若锐角VABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且VABC的面积为（1）求B；（2）求的取值范围.【解析】【分析】（1）由余弦定理结合三角形面积公式可得答案；（2）由题可得后由正弦定理可得后由正切函数单调性可得答案.【小问1详解】由余弦定理，a2+c2-b2=2accosB，又三角形面积为acsinB，a2+c2-b2)=.2accosB=acsinB→tanB=，又由题则【小问2详解】由（1A+C=-A，又VABC为锐角三角形，由正弦定理的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC.第12页/共19页（1）证明：PQ//平面BCD；【答案】（1）证明见解析【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证AD丄平面BCD，即可建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可证明；（2）由二面角的向量求法，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】2所以AD2+CD2=AC2，即AD丄CD，又AD丄DB，且BD∩CD=D，BD,CD平面BCD，所以AD丄平面 以D为原点，分别以为x,y,z轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系，又M是AD的中点，P是BM的中点第13页/共19页则PQ//平面BCD.【小问2详解】设平面PCM的法向量为=(a,b,C)，，设二面角APCM为θ,显然θ为锐角，则cosθ=cos,所以二面角A一PCM20 17.已知椭圆E的离心率为，椭圆E上一点P到左焦点的距离的最小值为V2一1.（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知直线l与椭圆E交于M、N两点，且OM丄ON，求△OMN面积的取值范围.第14页/共19页【解析】【分析】（1）设出椭圆E的标准方程，由离心率及最小距离求出a,b,c即可.（2）按直线OM是否垂直于坐标轴分类，求出|OM|,|ON|，进而表示出三角形面积，再借助二次函数求出范围即可.【小问1详解】依题意，设椭圆E的标准方程为半焦距为c，所以椭圆E的标准方程为+y2=1.【小问2详解】当直线OM不垂直于坐标轴时，直线OM的斜率存在且不为0，设其方程为y=kx(k≠0)，第15页/共19页所以△OMN面积的取值范围是.18.已知函数=2alnx+x，其中a为常数.（1）当a>0时，试讨论f(x)的单调性；（2）若函数f(x)有两个不相等的零点x1，x2，（i）求a的取值范围；【解析】【分析】（1）利用导数并讨论参数a的范围研究导数的符号，即可判断单调性；（2i）结合（1）的单调性判断f(2)、f(a)的符号，排除a≥0，再在a<0的情况下研究f(x)的单调性和最值，根据零点的个数求参数范围；2，分析法将问题化为证明f(4x1)<f(x1)，进而构造h(x)=f(4x)f(x)并利用导数研究其符号，即可证结论.【小问1详解】当0<a<2时，在(0,a)上f,(x)>0，在(a,2)上f,(x)<0，在(2,+∞)上f,(x)>0，第16页/共19页所以，在(0,a)、(2,+∞)上f(x)单调递增，在(a,2)上f(x)单调递减；当a=2时，在(0,+∞)上f(x)≥0恒成立，故f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a>2时，在(0,2)上f(x)>0，在(2,a)上f(x)<0，在(a,+∞)上f(x)>0，所以，在(0,2)、(a,+∞)上f(x)单调递增，在(2,a)上f(x)单调递减.【小问2详解】若a>0时，f(a)=2alna+所以f(a)<0，结合（1）中f(x)的单调性，易知a>0不可能出现两个不相等的零点，又a=0时，f(x)=x2一2x在(0,+∞)上只有一个零点，不满足，所以a<0，此时，在(0,2)上f(x)<0，在(2,+∞)上f(x)>0，故在(0,2)上f(x)单调递减，在(2,+∞)上f(x)单调递增，则f(x)min=f(2)=2(aln2一a一1)，又x趋向于0或负无穷时，f(x)趋向正无穷，只需g(a)=a(ln2一1)一1<0成立，（ii）由（i在ln1<a<0时，f(x)存在两个不相等的零点x1,x2，由（i）知：在(2,+∞)上f(x)单调递增，只需证f(4一x1)<f(x2)=f(x1)=0，第17页/共19页则hx=2a(x24x2anx.所以h(x)<h(2)=2aln22aln24a+4a=0，即f(4x1)<f(x1)=f(x2)成立，【点睛】关键点点睛：第二问，首先利用第一问及其零点个数将参数范围限定在a<0，进而利用导数研究其最值求范围，再令0<x1<2<x2，将问题转化为证f(4—x1)<f(x1)是关键.都有akak1=2或3，则称An为H数列（1）列出所有H数列A5的情形；（2）写出一个满足a5k=5k(k=1,2,…,405)的H数列A2025的通项公式；（3）在H数列A2025中