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文档简介
2022年江苏省南京市江宁高级中学高考数学适应性试卷
一、单选题(本大题共8小题,共40.0分)
1.设集合4={加-2<%<2},8={处/-4光30},则408=()
A.(-2,4]B.(-2,4)C.(0,2)D.[0,2)
2.已知复数z满足z+3=4』+53则在复平面内复数z对应的点在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.已知(1+2x)n的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等,则(1+2》尸的展开式
的各项系数之和为()
A.26B.28C.36D.38
4.我国于2021年5月成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的量子计算原型
机“祖冲之号”,操控的超导量子比特为62个.已知1个超导量子比特共有“|0>,
|1>”2种叠加态,2个超导量子比特共有“|00>,|01>,|10>,种叠
加态,3个超导量子比特共有“|000>,|001>,|010>>|011>,|100>,|101>,
|110>>|111>”8种叠加态,…只要增加1个超导量子比特,其叠加态的种数就呈
指数级增长.设62个超导量子比特共有N种叠加态,则N是一个()位的数(参考数据:
lg2a0.3010)
A.18B.19C.62D.63
5.若日=(2,1),b=(-1,1).(2五+B)〃位+m3),则m的值为()
A.;B.2C.—2D.—:
22
6.已知角a的顶点在坐标原点。,始边与x轴的非负半轴重合,将角a的终边绕。点顺
时针旋转]后,经过点(一3,4),则sina=()
3^3+4B4—3\/3c3V3-44+3\/3
・101010,10
7,已知椭圆Q:2+《=l(a>b>0)与圆C2:x2+y2=^,过椭圆Q的顶点作圆
的两条切线,若两切线互相垂直,则椭圆G的离心率是()
A.遗B.立C.在D.经
3422
8.已知Q=e0,-1,b=sinO.l,c=/nl.l,贝!]()
A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a
二、多选题(本大题共4小题,共20.0分)
9.有一组样本甲的数据/(i=1,2,3,4,5,6),由这组数据得到新样本乙的数据2项+
10=1,2,3,4,5,6),其中/0=1,2,3,4,5,6)为不全相等的正实数.下列说法正确的是
()
A.样本甲的极差一定小于样本乙的极差
B.样本甲的方差一定大于样本乙的方差
C.若m为样本甲的中位数,则样本乙的中位数为2zn+1
D.若m为样本甲的平均数,则样本乙的平均数为2m+1
10.已知函数/'(X)=asinx-cosx(x6R)关于%,对称,则下列结论正确的是()
A.
3
B.〃尤)在[冶,勺上单调递增
C.函数f(x+»是偶函数
D.把f(x)的图象向左平移卷个单位长度,得到的图象关于点(午,0)对称
11.两个等差数列{an}和{%},其公差分别为由和dz,其前n项和分别为右和〃,则下
列命题中正确的是()
A.若{店}为等差数列,则引=2%
B.若{Sn+〃}为等差数列,则刈+d2=0
C.若{即砥}为等差数列,则%=d2=0
D.若以6N*,则8加}也为等差数列,且公差为心+弓2
12.在棱长为1的正方体ABCD—4/传1。1中,M为底面ABCC的中心,瓦0=4原,
AG(0,1),N为线段4Q的中点,则下列命题中正确的是()
A.CN与QM共面
B.三棱锥A-DMN的体积跟;I的取值有关
C.当a=:时,过4Q,M三点的平面截正方体所得截面的周长为空竽亘
D.2=:时,AM1QM
三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13.已知实数Q,b满足伍a+)b=ln(a+4b),则ab的最小值是.
14.某次演出有5个节目,若甲、乙、丙3个节目间的先后顺序已确定,则不同的排法有
__种.
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15.若函数/(%)=2%3-g2+i(aeR)在(0,+8)内有且只有一个零点,贝犷⑴在
上的最大值与最小值的和为.
16.祖胞是我国南北朝时期伟大的科学家,他于5世纪末提/
出了“塞势既同,则积不容异”的体积计算原理,即
“夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这
两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面,
积总相等,那么这两个几何体的体积相等”.现已知直
线y=±2与双曲线"-y2=1及其渐近线围成的平面图形G如图所示.若将图形G
被直线y=t(-2<t<2)所截得的两条线段绕y轴旋转一周,则形成的旋转面的面
积5=;若将图形G绕y轴旋转一周,则形成的旋转体的体积/=.
四、解答题(本大题共6小题,共72.0分)
17.已知数列{即}满足/=-1,an+1=|1-an|+2an+1,n£N*.
(1)求的值并求数列{即}的通项公式;
(2)若%=log3a3+log3a4+…+log3即+2,求数列《•}的前n项和.
°n
18.从①4为锐角且s讥B-cosC=著;@b=2asin(:C+》这两个条件中任选一个,
填入横线上并完成解答.在三角形4BC中,已知角48,C的对边分别为a,b,c,
(1)求角4
(2)若b=3c且BC边上的高4。为2b,求CD的长.
4
19.如图,在四棱台4BCD-41B1GD1中,底面为矩形,平面/必久。_1■平面CG5。,
且CG=CD=DD[==1.
(1)证明:4。1平面CCi/D;
(2)若&C与平面CC也。所成角为g,求二面角C-4公-。的余弦值.
A
20.过抛物线/=4y的焦点F的直线,交抛物线于4和B两点,过4和B两点分别作抛物线
的切线,两切线交于点E.
(1)求证:EF14B;
(2)若而=4而,;le扇2],求△4BE的面积的取值范围.
21.2022年2月6日,中国女足在两球落后的情况下,以3比2逆转击败韩国女足,成功
夺得亚洲杯冠军,在之前的半决赛中,中国女足通过点球大战6:5惊险战胜日本女
足,其中门将朱钮两度扑出日本队员的点球,表现神勇.
(1)扑点球的难度一般比较大,假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、
中、右三个方向射门,门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑
点球,而且门将即使方向判断正确也有号的可能性扑不到球.不考虑其它因素,在
一次点球大战中,求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和期望;
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练,甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接
球的训练中,球从甲脚下开始,等可能地随机传向另外3人中的1人,接球者接到球
后再等可能地随机传向另外3人中的1人,如此不停地传下去,假设传出的球都能接
住.记第n次传球之前球在甲脚下的概率为Pn,易知小=1,p2=0.
①试证明伊"-?为等比数列;
②设第律次传球之前球在乙脚下的概率为册,比较Pio与qio的大小.
设函数/(%)=e”+asin2x+b.
(1)当QW[0,+8)时,f(%)20恒成立,求b的范围;
(2)若/(%)在K=0处的切线为%-y-1=0,且/(%)>ln(%+zn)-2,求整数m的最大
值.
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答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了并集运算,区间,解不含参的一元二次不等式,属于基础题.
先解一元二次不等式求出集合B,然后进行并集运算即可.
【解答】
解:A=(-2,2),B=[0,4],
・•・AUB=(-2,4].
故选:4.
2.【答案】A
【解析】解:设z=a+bi(Q,b£R),则2=0-6,
•・•z+3=4z+53.•・Q+bi+3=4(a—bi)+5i=4Q+(5—4fe)i,
北+广黑,解得2=;,
3=5—4b3=1
二在复平面内复数z对应的点(1,1)在第一象限.
故选:A.
根据已知条件,结合共轨复数的概念,以及复数的几何意义,即可求解.
本题主要考查共甄复数的概念,以及复数的几何意义,属于基础题.
3.【答案】C
【解析】解:由已知可得鬣=第,所以n=2+4=6,
令x=l,则展开式的各项系数和为(1+2)6=36,
故选:C.
利用二项式系数的性质建立方程求出九的值,再令x=l,即可求解.
本题考查了二项式定理的应用,考查了学生的运算能力,属于基础题.
4.【答案】B
【解析】
【分析】
根据n个超导量子比特共有2n种叠加态,得到N=262,然后两边同时取常用对数,
由此进行分析求解即可.
本题考查了数学文化,对数的运算,考查了知识的迁移与应用,属于中档题.
【解答】
解:由题意,设n个超导量子比特共有2”种叠加态,
所以62个超导量子比特共有N=262种叠加态,
两边同时取常用对数,则IgN=lg262=621g2»62x0.3010=18.662,
所以N=1018.662=100.662义1Q18,
因为10°<io0-662<IO1,
故N是一个19位数.
故选:B.
5.【答案】A
【解析】解:a=(2,1),K=(-1,1),
2a+b=(3,3),a+mb=(2—m,l+m)>
v(2a+b)//(a+mb)<
2-m1+m
・•・---=----,
33
解得m=
故选:A.
先求出2五+3=(3,3),a+mb=(2-m,l+m).再由(23+石)〃@+mE),能求出m
的值.
本题考查向量的运算,考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识,考查运算
求解能力,是基础题.
6.【答案】B
【解析】解:••・角a的终边按顺时针方向旋转三后得到的角为a-g,由三角函数的定义:
可得cos(a*)=谒升=—|,sin(a-5=7=X==l,
"sina=sin(a-g+$=sin(a-)cos;+cos(a-》sin^=^x|+(-|)Xy=
4-3V3
10
故选:B.
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直接利用三角函数的定义和角的变换的应用求出结果.
本题考查的知识要点:三角函数的定义,三角函数的角的变换,主要考查学生的运算能
力和转换能力及思维能力,属于基础题.
7.【答案】B
【解析】解:由题意顶点显然不在短轴端
点,
因为两切线互相垂直,即NAPB=90。,
所以乙APO=45°,
所以sinZ_4P。=—=—=
POa2
所以b=^a,
4
所以c=yja2—b2=—a,
4
所以e=£=虫.
a4
故选:B.
由已知结合椭圆的性质可得a,b,c的关系,进而可求椭圆离心率.
本题主要考查了椭圆性质在求解椭圆离心率中的应用,属于基础题.
8.【答案】D
【解析】解:令/(%)=e*-%-1,则/=
当x€(0,+8)时,f(%)>0,
故f(X)在(0,+8)上是增函数,
故f(0.l)>f(0),
即?。1一0・1-1>0,
故a=e01—1>0.1,
令=sinx-%,则g'(x)=cosx-1<。在(0,1)上恒成立,
故g(x)=sinx-%在(0,1)上单调递减,
故g(0.1)Vg(0),
即si九0.1—0.1<0,
即b=sinO,l<0,1,
令h(x)=ln(x+1)—sinx,贝(]九’(%)=———cosx=廿
令m(x)=1—(%+l)cos%,则nf(%)=—cosx+(x+l)smx,
易知巾'(x)在(0*)上是增函数,
且也空)=_匹+(1+巴'=也』<0,
故m'(x)<0在(05)上恒成立,
故m(x)在(0,斜上是减函数,
又m(0)=1—1=0,
故zn(x)<0在(0,方上恒成立,
故九'(X)<0在(05)上恒成立,
故九。)在(01)上是减函数,
故/i(0.1)</i(0)=0,
HP/nl.l-sinO.l<0,
即c<b,
故c<b<a,
故选:D.
分别构造函数f(x)=ex—x-1,g(x)=sinx-x,h(x)=ln(x+1)-sinx,利用导数
判断函数的单调性,从而比较大小.
本题考查了导数的综合应用及构造法应用,属于难题.
9.【答案】ACD
【解析】解:对于4样本甲的极差是乙极差的一半,小于样本乙的极差,故A正确,
对于B,设样本甲的方差为a,
则样本乙的方差为4a,二者可能相等,故8错误,
对于C,若zn为样本甲的中位数,
则由中位数的定义可得,样本乙的中位数为26+1,故C正确,
对于D,若m为样本甲的平均数,
则由平均数定义可得,样本乙的平均数为2m+1,故。正确.
故选:ACD.
根据已知条件,结合极差,方差,中位数,平均数的定义,即可求解.
本题主要考查极差,方差,中位数,平均数的定义,属于基础题.
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10.【答案】AC
【解析】解:由题意知,/(》=:a=土点E,化简得3a2+26a+1=0,解
得。=一直,即选项A正确;
3
所以/(%)=--ysinx—cosx=—竽sin(x+g),
令%+;£[2kji+2fczr+手],kEZ,则%6[2/CTT+2/CTT+~^\,kWZ,
所以f(%)的单调递增区间为[2/nr+也2/CTT+争,keZ,
而区间[一M勺并不是[2时+12时+为,k€Z的子集,即选项8错误;
31ZoO
因为/(%+巴)=—2sin(x+工+巴)=-2cosx,所以是偶函数,即选项C正
63633。
确;
把f(x)的图象向左平移2个单位长度,得到函数y=—竽sinQ+^+g=
2遍.(5九、
--sin(x+-),
当%=午时,y=_手sing+居)=—誓sin^=^H0,即选项。错误.
故选:AC.
由//)=土可求得a的值,进而知f(x)的解析式,再根据三角函数的单调性、
奇偶性和对称性逐一分析选项88,即可.
本题考查三角函数的图象与性质,熟练掌握正弦函数的图象与性质,函数图象的平移变
换法则是解题的关键,考查逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.
11.【答案】AB
【解析】解:对于4:因为{腐}为等差数列,所以2店=店+疝,
即2,%+Ct2=7%+yjCL]+%+,3'
所以2,201+届=+d3al+3d)
化简得®i-2%)2=0,所以心=2%,故4正确;
对于B:因为{Sn+〃}为等差数列,
所以2。2+R)=Si+7;+S3+73,
所以2(2%+di+2bl+d2)=%+瓦+3al4-3dl+3bl+3d2,
所以£+42=0,故3正确;
对于C因为{anbn}为等差数列,
所以2a2b2=%瓦+a3b3,
所以2(%+%)血+d2)=a1b1+(%+2心)(瓦+2d2)>
化简得=0,所以%=0或弓2=0,故C不正确;
对于。:因为an=%+(n—l)d1,且bneN*,
所%=%+(n-1)%=%+[瓦+(n-l)d2-l]dlt
a
所以%+i-bn=ai+(瓦-1)岂+nd^一的一(瓦一l)di-(n-1相@=d1d2,
所以{的“}也为等差数列,且公差为壮屈2,故。不正确.
故选:AB.
对于4利用2疝=同+店,化简即可得出答案.
对于B:利用2。2+72)=S1+T1+S3+T3,化简即可得出答案.
对于C:利用2a2b2=%&+a3b3,化简即可得出答案.
对于D:根据ag+1-的„=4屈2,即可得出答案.
本题考查等差数列的定义以及等差中项求解是解题关键.
12.【答案】ABC
【解析】解:在A4CQ中,:M,N为AC,4Q的中
点,MN//CQ,
二CN与QM共面,故A正确;
由匕-DMN=力又N到平面48。。的距离为
定值土
且△4DM的面积为定值;,
4
•••三棱锥4-DMN的体积跟;I的取值无关,故B正确;
当;1=1时,过4Q,M三点的正方体的截面4CEQ是等腰梯形,
••・平面截正方体所得截面的周长为,=或+立+2X审=4后2A,故c正确;
3793
当2=[时,可得4“2=泉加2=1+看=得,QM2=@2+(分2+12=.,
则4"2+MQ2>AQ2,...AM_LQM不成立,故。错误.
故选:ABC.
由M,N为AC,4Q的中点,得到MN〃CQ,可判定A正确;由N到平面ABCD的距离为
定值也且440M的面积为定值;,根据匕“MN=VN_ADM,可得判定B正确:由4=,时,
得到4,Q,M三点的正方体的截面ACEQ是等腰梯形,可判定C正确;当;1=;时,根据
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AM2+MQ2>AQ2,可判定。错误.
本题主要考查锥体体积的计算,几何体截面的相关问题等知识,属于中等题.
13.【答案】16
【解析】解:由题意对数的运算性质因为,na+=ln(a+4b),则可得a>0,b>0,
ab=a+4b,
则由基本不等式有ab=a+4Z?>274ab=4Vab>即VHK>4,
当且仅当a=4b时取等,
ab>16,
则ab的最小值是16,
故答案为:16.
根据对数运算得ab=a+4b,利用基本不等式依次判断各项正误.
本题考查基本不等式,考查学生的运算能力,属于中档题.
14.【答案】20
【解析】解:根据题意,设5个节目中除甲、乙、丙之外的2个节目为a,b;
分2步进行分析:①,将甲乙丙三个节目按给定顺序排好,②,排好后有4个空位,将a
安排到空位中,有4种情况,排好后有5个空位,将匕安排到空位中,有5种情况,则不
同的排法有4x5=20种;
故答案为:20.
根据题意,设5个节目中除甲、乙、丙之外的2个节目为a,b,分2步进行分析:先将甲
乙丙三个节目按给定顺序排好,再将a,b依次插入到空位之中,由分步计数原理计算可
得答案.
本题考查排列组合之插空法,属于基础题.
15.【答案】-3
【解析】
【分析】
解:f'(x)=2x(3x-a),x£(0,+oo),
①当a<0时,—2x(3x—a)>0,
函数/(x)在(0,+8)上单调递增,/(0)=1,
f(x)在(0,+s)上没有零点,舍去;
②当a>0时,f(x)=2x(3x-a)>0的解为x>^,
•••/(%)在(05)上递减,在©,+8)递增,
又/(x)只有一个零点,
/(|)=-||+1=0,解得a=3,
则/(*)=2*3—3x2+1,f'(x)=6x(x—1),xG[—1,1],
f'(x)>o的解集为(-1,0),
f(x)在(-1,0)上递增,在(0,1)上递减,
/(-I)=-4,f(0)=1,/(I)=0,
•••fMmin=/(-I)=-4,fMmax=/(0)=1,
•••/(X)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为:
f(x)max+/Wmin=-4+1=-3.
【解答】
本题考查函数的单调性、最值,导数的运算及其应用,同时考查逻辑思维能力和综合应
用能力,是中档题.
推导出/'(%)=2x(3%—a),xG(0,+oo),当a<0时,f'(x)=2x(3%—a)>0,
/(O)=1,f(x)在(0,+8)上没有零点;当a>0时,「(X)=2x(3x-a)>0的
解为x>T,/(x)在(0*)上递减,在尊+8)递增,由/(X)只有一个零点,解
得a=3,从而/(x)=2x3-3x2+1,/'(x)=6x(x—1),xE[—1,1],利用导
数性质能求出f(x)在上的最大值与最小值的和.
16.【答案】TC4兀
【解析】解:如图所示,双曲线/一步=1,
其中一条渐近线方程为丫=",
由直线y=t,其中一2WtS2,
联立方程组《二:,解得
联立方程组}=1,解得/五不笆5),
所以截面圆环的面积为S=兀(,!不笆)2-
nt2=n,即旋转面的面积为兀,
根据“幕势既同,则积不容异”,
可得该几何体的体积与底面面积为兀,高为4的圆柱的体积相同,
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所以该几何体的体积为,=7rx4=47r.
故答案为:7T;47r.
由直线y=3其中一2WtW2,分步联立方程组::和产二V=1,求得A,B的坐
标,进而求得圆环的面积,再结合题意得到该几何体的体积与底面面积为兀,高为4的圆
柱的体积相同,利用圆柱的体积公式,即可求解.
本题考查了几何体体积的计算,属于中档题.
17.【答案】解:(1)因为&+i=|l-0n|+20n+1,又如=-1,
所以=|1—。11+2al+1=1,03=|1-Q2I+2a2+1=3,。4=|1—%1+2a3+
1=9;
当几>2时,an+1>2an+1>a2=1»所以册>1,
则Qn+i=|1一。九|+2%+1=a九一1+2%+1=3an,
n
所以0n=3-2(n>2),
又因为%=—1,不满足上式,
;
所以即=[3n-2)n>2
(2)bn=log3a3+log3a4+…+1咤3%+2,
•••bn=log|+logF+…+logf=1+2+3+…+n=
1
.—=2_2(!_\
bnn(n+l),rin+1,'
・,・数列{£}的前n项和为:2Kl-|)+G—3)+…+(;-全)]=2(1-W)=猾,
2a
【解析】(1)根据已知等式求得。4,去绝对值后得到。九+1=|1-CLn\+n+1=。九一
l+2an+l=3an,分段即可求解;(2)利用裂项相消求和即可求解.
本题考查了数列的递推式和裂项相消求和,属于中档题.
22
18.【答案】解:(1)若选①4为锐角且si7iB-cosC=3^-,
则2absinB—labcosC=c2—a2,由余弦定理得c?—a2=b2—2abeosC,
2
・•・2absinB—2abcosC=b-2abcosCf:•2asinB=b,
山正弦定理得2s讥AsinB=sinB,sinBH0,
AsinA=vA6(0^),->1=7.
226
若选②b=2asin(C+£),
6
则sinB=2sinA(^-sicC4-jcosC),
AsinB=y/3sinAsicC+sinAcosCf
vsinB=sin(?l+C)=sinAcosC+cosAsinC,
・•・VSsinAsicC=cosAsinC,sinCW0,・•.y/3sinA=cosAf
・•.tanA=—».:AG・,."=
326
(2)・・・b=fc,
・,・由余弦定理得M=b2+c2—2bccosA=—c2+c2—2x—cxcx—=—c2,
164216
_V7
CL=C,
4
vBC边上的高4。为2巡,
•••S^ABC=1X2\/3X^C=1x^CXCx1,
:・c-4夕,b=—x4A/7=V21,
4
•••CD=V21-12=3.
【解析1(1)若选①,利用余弦定理和正弦定理化简,结合4为锐角,可得sin4=:,进
而可得4的值,
若选②,由两角和的正弦公式化简得到tanA=手,结合A为锐角,进而可得A的值.
(2)利用余弦定理求出a=^c,再利用三角形的面积公式求出c,b,最后利用勾股定理
4
求解即可.
本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面积公式在求解三角形中的应用,考查
了计算能力和转化思想,属于中档题.
19.【答案】解:(1)证明:在梯形CQDi。中,因为CG=CD=DDi=:CiDi=l,
所以功。£=今连结。Ci,由余弦定理可求得DC】=6,
因为。仃+。母=5仁,所以Z?Ci_LDDi,
因为平面44山1。_L平面CC15。且交于所以DC]_L平面4①。山,
因为4。<=平面4412。,所以ADIDCi,因为4。_LDC,DC(\DCr=D,
所以AD_L平面CGDiD;
(2)解:连结力iG,由(1)可知,_L平面CC/iD,
以义为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示,
第14页,共18页
因为451平面CGDiD,所以&C在平面CCWiD内的射影为D】C,
所以4C与平面CGDiD所成的角为4&CD1,即乙4传。1=*
在RtA&CDi中,因为CDI=6,所以久久=3,
则5(0,0,0),4(3,0,0),。(0彳,日),C(0,|,y)-6(0,2,0).
所以取=(03片),瓯=(3,0,0),而=(-3,2,0),=(一3,|,务
设平面的法向量为记=(x,y,z),
则有隹至7。,即伊+%=。,
(m-Di&=0=0
令y=3,则x=0,z=—V3»故沆=(0,3,—b),
设平面441GC的法向量为日=(a,b,c),
元4G=0f—3a+2b=0
则有即,Q,3,V3_
I—3QH—bH--c=O'
n-A^C=0i22
令Q=2,则b=3,c=V3,故运=(2,3,b),
所以|cos<访员>|=嘉=晟
由图可知,二面角C-力4—。锐二面角,故二面角C—力4-0的余弦值为它.
4
【解析】本题考查了线面垂直的判定定理
的应用以及二面角的求解,在求解有关空
间角问题的时候,一般会建立合适的空间
直角坐标系,将空间角问题转化为空间向
量问题进行研究,属于中档题.
(1)在梯形CC也D中,求出NDDiG=g,连结。G,由余弦定理求得DG=百,由勾股
定理可证DG_LDDi,再由面面垂直的性质定理证明DG工平面44D1D,从而得到4D1
DC.,结合an1DC,由线面垂直的判断定理证明即可;
(2)利用线面角的定义确定①C与平面CCi/D所成的角为乙4也以,由此求解线段的长度,
建立合适的空间直角坐标系,求出所需点的坐标和向量的坐标,利用待定系数法求出两
个平面的法向量,然后由向量的夹角公式求解即可.
20.【答案】解:(1)证明:由题意知当直线/斜率不存在时不符合题意,
设1:y=kx+1,4(%I,9,B(X2,9,联立{%J:;I消去y得:x2—4kx-4=0,
p=16k24-16>0
则,xr+x2=4fc,
.XiX2=-4
设E4:y=^x-^,EB:y=^x-建,联立直线瓦4与直线EB的方程可解得
/24J24
E(警,竽),即E(2k,-1),
当k=0时,EFlx轴,4Bly轴,EF14B成立,
当卜。0时,kEF=-i,EFJ.AB也成立,
综上,EFA.AB;
(2)由刀=4而,得与=一M2,则竺好迂=包+这+2=-,一:+2=-4必,
由入W[~/2],得44-16[2,|],
乙AZ
•••/e[0,1],
•••SABE=\\AB\x\EF\=iVlTFlXi-Xzlx2V1TF=4(1+k2^e[4,yV2].
【解析】(1)显然直线1的斜率存在,设出直线/的方程并与抛物线方程联立,再由宜线E4
及直线EB的方程得到E(2k,-1),由此分k=。及k丰0讨论即可得出EF1AB;
(2)由题意可得到妙G[0,i],而SMBE=4(1+fc2)t由此即可求得△ABE面积的取值范
围.
本题考查直线与抛物线的综合运用,考查平面向量的运用以及三角形的面积公式,考查
逻辑推理能力及运算求解能力,属于中档题.
21.【答案】解:(1)由题意可得,门将每次可以扑出点球的概率p=;x;x3x:=g
33Zo
X〜8(3,4
O
门将在前三次扑出点球的个数X可能的取值为0,1,2,3,
P(X=k)=或©)<|)3-勺k=0,1,2,3,
故X的分布列为:
X0123
1252551
P
2167272五
故E(X)=3x|=i
OZ
(2)证明:①第n次传球之前
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